dec04023

f (x) =

1

exp(−

(x −θ )2

),

x

∞<,

<− ∞

2π

2

найти оценк у мак си мального правдоподоби я парам етра θ и

провери тьее на

эф ф ек ти вность.

8. П о вы борк е Х =(Х 1,

Х 2, ...Х n)

и з генеральной

совок у пности ,

и мею щей

плотностьраспределени я вероя тностей

)fx(=

1

exp(−

− θ)2 (x

∞<.,

<−x∞

),

2π

2

9. В резу льтате и спы тани я

датч и к а слу ч айны х ч и сел полу ч ено 1000 ч и словы х

знач ени й.

И нтервалы

0.0÷0.2

0.2÷0.4

0.4÷0.6

0.6÷0.8

0.8÷1.0

знач ени й

Чи сло знач ени й

204

190

211

189

206

ви нтервале

П ровери ть с помощью

к ри тери я

χ2-

П и рсона

ги потезу

о равномерном в

и нтервале [0;1]

зак оне распределени я

слу ч айной вели ч и ны , генери ру емой

датч и к ом . П ри ня тьу ровеньзнач и мости α=0,05.

две

девоч к и ,

в 1017

сем ья х

мальч и к и

девоч к а.

М ожно ли при

у ровне

знач и мости 0,01 сч и тать, ч то к оли ч ество м альч и к оввсемье с дву м я

детьми -

слу ч айная

вели ч и на, распределенная

поби ном и альном у зак ону спарам етрами

(2, ½ )?

14.

З а да чик гос экза м ену, в ечер нее отдел ение, 2001/2002 уч. год

1.

Д и ск ретная

слу ч айная

вели ч и на

ξ

задана

ф у нк ци ей распределени я

вероя тностей

ì

x £

,,5 0

0,

ï

< x £

, 2

,5 0

, 02,

ï

ï

< x £

, 3

2

0,,5

Fξ (x) = í

ï

< x £

, 5, 3

3

, 07,

ï

ï

x >

. 5, 3

1,

î

Н айти : 1)

зак он распределени я вероя тностей данной слу ч айной вели ч и ны ;

2) Mξ , Dξ ;

3) P ξ ³

P

ξ

<

}2; 4) моду{ {,(}5,Mo2) и меди ану ( Me ).

22

2.

Задана

ф у нк ци я

распределени я

вероя тностей

непреры вной

слу ч айной

вели ч и ны ξ

ì

x £ - , 1

0,

Fξ (x) =

ï

2

x £ ,<2 -,c+ 1bx+

ax

í

ï

>

= const .

x

c b, a,

, 2

1,

î

Н айти

ξ

Dξ , Mм еди,x ануf ),-acMeb(

. П,острои,

тьграф и к и

ф у нк ци й

ξ

fξ (x) , Fξ (x) .

3. Слу ч айны е вели ч и ны ξ и η незави си м ы и

R

ξ

за кон

йN

σ 2

- раηвном ерны за кон.

-

н

Н айти Mγ и Dγ , если

γ = (ξ +1)(ξη −1).

4. Слу ч айная

вели ч и на

ξ

распределена по зак ону

К ош и ,

определя емом у

ф у нк ци ей распределени я вероя тностей

ξ (

)

1

arctg

x

aF,

x

, -;const .x¥<

<b a¥-

×=

+

π

b

Н айти

ξ

ξ

Dξ, Mм оду,x и fм),едиa bану( .,

,

5. П о

резу льтатам

подбрасы вани я

и гральной

к ости

составлено

стати сти ч еск ое распределени е

xi

1

2

3

4

5

6

ni

5

11

15

7

7

9

где xi

- ч и слооч к ов, вы павш и х на соответству ю щей грани к у би к а;

ni

- ч и словы падени й соответству ю щей грани .

И спользу я

к ри тери й согласи я χ 2 -П и рсона при у ровня х знач и мости α = 0,01

и

α = 0,025,

провери ть

ги потезу

о

ди ск ретном

равномерном

зак оне

распределени я вероя тностей ч и сла вы павш

и х оч к ов.

15.

З а да чик экза м ену на с теп ень ба ка л а в р а , 2002/2003 уч. год

1. Слу ч айная вели ч и на x задана плотностью распределени я вероя тностей

f (x) =

ì

× +

x Î[-a x], 2, 1

( ), 1

í

x Ï[-

]. 2, 1

0,

î

ì

x ≤ − , 1

0,

ï

x £- ,<0

1

5,0,

F(x) =

ï

í

p

+

x £ ,<1

0

,

0,5

ï

ï

x > . 1

1,

î

Н айти к онстанту p, Mx , Mh и Dh, где h=|x| - 1.

3. Слу ч айная вели ч и на

x задана плотностью распределени я вероя тностей

1

2

)fx(=

exp(-

- )1 (x

x

¥<.

<),- ¥

2

8

2p

Ф у нк ци я распределени я слу ч айной вели ч и ны h и м еетви д:

ì

y £

, 0

0,

ï

× y,

0,5

£0y <

, 2

F( y) = í

ï

y >

. 2

1,

î

К оэф ф и ци ентк орреля ци и

ρξη=1/2. Н айти М γ, Dγ, если γ=ξ –η + 2.

ì

x £

, 0

0,

ï

x

× x £ ,<2

0 , 0,5

F(x) = í

ï

x >

. 2

1,

î

f (x) =

2

exp(-

2 × x

x ³ 0,

),

θ

θ

ì

x ≤

, 0

0,

ï

2

× x £ ,<A2 x , 0

F(x) = í

ï

x >

. 2

1,

î

ì

x ≤ − , 1

0,

ï

x £- ,<0

1

, 02,

ï

F(x) = í

< x £ , 1

0

0,,5

ï

ï

x > . 1

1,

î

ξ

=

x [

], 1; 0f x

, 1( )

η

x ³ .y0

-,=) f2×

y

exp(

2( )

Н айти (ξ+η), М

(ξη), D(ξ+η), D(ξη).

4. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью

распределени я вероя тностей

f (x) = exp(-x),

x ³ 0,

слу ч айная вели ч и на η задана ф у нк ци ей распределени я

ì

y ≤

, 0

0,

ï

< y £ , 2

0

,/ 2

Fη ( y) = íy

ï

y >

. 2

1,

î

К оэф ф и ци ентк орреля ци и между эти ми вели ч и нам и ρ

=

3

.

ξη

3

Н айти Mγ, Dγ, если γ=ξ−η+1.

5. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ря дом распределени я

xi

-1

0

1

pi

0,3

q

0,2

Н айти q, F(x), Mη и Dη, если η=|ξ|+1.

6. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ря дом распределени я

xi

1

2

3

pi

0,2

0,3

0,5

Н айти F (x) и к оэф ф и ци ентк орреля ци и м ежду ξ и ξ2.

ξ

7. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью

распределени я вероя тностей

f (x) =

ì

× +

x Î

a , ]x2; 0[

1,

í

x Ï

. ] 2; 0[

0,

î

Н айти к онстанту “а”, F(x), P(ξ>1), Mη и Dη, если η=2ξ2+1.

8. Н и же при водя тся

данны е о ф ак ти ч еск и х объ емах сбы та проду к ци и

(

в

у словны х еди ни цах) впя ти районах города

Район

1

2

3

4

5

О бъ ем сбы та

210

220

180

190

200

Согласу ю тся

ли

эти

резу льтаты

с предположени ем

о том ,

ч то сбы т

проду к ци и

в районах осу ществля ется

с равны м и

вероя тностя м и . П ри ня ть

у ровеньзнач и мости α=0,1.

17. З а да чик гос экза м ену, в ечер нее отдел ение, 2002/2003 уч. год

1. В у рне находя тся

7 ш аров, и з к оторы х 4 к расного цвета. И з у рны нау дач у

и звлек аю т 3

ш ара.

Н айти

зак он распределени я

вероя тностей

слу ч айной

вели ч и ны ξ , равной ч и слу к расны х ш аровввы борк е. Запи сатьанали ти ч еск ое

вы ражени е

и

построи ть

граф и к

ф у нк ци и

распределени я

вероя тностей

слу ч айной вели ч и ны ξ .

2. Н а ри су нк е

4

при веден граф и к

плотности

распределени я

вероя тностей

fξ ( x ) слу ч айной вели ч и ны

ξ . Н айти анали ти ч еск ое вы ражени е для ф у нк ци и

распределени я

Fξ (x) , построи тьграф и к ф у нк ци и Fξ (x) . В ы ч и сли тьMξ, Dξ;

P{−1 < ξ ≤ 2}.

fξ (x)

( ξ

=

£ - x ³ .)3 x , 1f x

, 0( )

a

-1

0

3

x

Ри с. 4

3. Я вля ется

ли

(

и

поч ем у ? )

плотностью

распределени я

вероя тностей

слу ч айной вели ч и ны к аждая и з следу ю щи х ф у нк ци й:

ì

x Ï -

, ] 1, 1

(

2).

0,

ì

x Ï

, ]01,

(

0,

1). f (x) = í

x Î -

;] 1, 1

(

f (x) =

í

-

x Î

x

;]01,

(

, ) (1

î

1,

î

26

ì

x Ï -

, ] 1, 1 (

0,

3). f (x) =

ï

4). f (x) =

x

,

x ¥< ? <- ¥

í3 x2

x Î -

+ x

2

ï

,;] 1, 1 (

1

î 2

4.

Д ана ф унк ци я

ì

x £ -

π

,

ï0,

2

ï

π

Fξ

ï

x ,

(x) = í

cos x-£ 0,<

ï

2

. 0

1,

ï

x >

ï

î

П ок азать, ч тоэта ф унк ци я я вля ется ф у нк ци ей распределени я нек оторой

слу ч айной вели ч и ны ξ . Н айти

Mξ и

P{ π

ξ -£

0<.}

3

5.

П о

резу льтатам

подбрасы вани я

и гральной

к ости

составлено

стати сти ч еск ое распределени е

xi

1

2

3

4

5

6

ni

4

12

16

7

6

9

где xi

- ч и слооч к ов, вы павш и х на соответству ю щей грани к у би к а;

ni

- ч и словы падени й соответству ю щей грани .

И спользу я

к ри тери й согласи я χ 2 -П и рсона при у ровне знач и м ости α = 0,05

и α = 0,01,

провери ть ги потезу

о равном ерном

зак оне

распределени я

вероя тностей ч и сла вы павш и х оч к ов.

18.

З а да чик экза м ену на с теп ень ба ка л а в р а , 2003/2004 уч. год

1. Слу ч айная вели ч и на ξ задана плотностью распределени я вероя тностей

ì

×x a [-x, Î ], 2; 2

f (x) = í

x Ï[- ]. 2; 2

0,

î

Н айти к онстанту « а», Fξ(x), а так же Mη и Dη, если η=2ξ+1.

2. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я

ì

x ≤

, 1

0,

ï

x £ ,<3C × x -1( , )1

F(x) = í

ï

x >

. 3

1,

î

xi

-1

0

1

2

pi

0,2

q

0,4

0,1

ì

4

× x a[-,xÎ ], 1; 1

ï

f (x) = í

x Ï[- ]. 1; 1

ï

0,

î

Н айти к онстанту « а», Fξ(x) Mh и Dh.

8. Слу ч айная вели ч и на x задана ф у нк ци ей распределени я

ì

x ≤

, 0

0,

ï

F(x) = í

−2x

ï

x

>A . 0 e × , -)

(1

î

Н айти к онстанту А , P(x³2), Mg, Dg, если g=x+1.

9. П о вы борк е Х =(Х 1, Х 2,

...Х n) и з

генеральной

совок у пности ,

и мею щей

плотностьраспределени я вероя тностей

f (x) =

1

exp(−

(x −θ )2

),

x ∞<,

<− ∞

2π

2

найти оценк у мак си мального правдоподоби я парам етра q и

провери тьее на

эф ф ек ти вность.

10. Н айти

м етодом м ом ентов оценк у

параметра q распределени я

слу ч айной

вели ч и ны ,

плотность распределени я вероя тностей

к оторой

f(x) =

1

exp(-

x

)

q

q

30

знач и мости 0,05 сч и тать, ч то к оли ч ество м альч и к оввсемье с дву м я детьм и -

слу ч айная

вели ч и на, распределенная поби ном и альном у зак ону спарам етрам и

(2, ½ )?

20.

З а да чик гос экза м ену, в ечер нее отдел ение, 2003/2004 уч. год

1. Н а отрезк е [0; 2] нау дач у вы браны два ч и сла х и у . Н айти

вероя тностьтого,

ч тоэти ч и сла у довлетворя ю тнеравенствам х2 ≤ 4у ≤ 4х.

2. В ероя тность того, ч то собы ти е поя ви тся хотя бы

оди н раз в трех

одном и спы тани и

(

предполагается ,

ч то во всех

и спы тани я х вероя тность

поя влени я собы ти я одна и та же ).

3. Н айти

ф у нк ци ю

распределени я F(x)

слу ч айной

вели ч и ны ξ ,

плотность

распределени я вероя тностей к оторой определена ф у нк ци ей

ì

приx ≤

и0 x >

, 2

0

ï

при

<0 x £ , 1

f (x) = íx

ï

x

при-

x 2£

.<2

1

î

П острои тьграф и к и ф у нк ци й f (x)

и

F(x).

4. Слу ч айная вели ч и на ξ задана ф у нк ци ей распределени я

ì

0

при x £

, 0

ï

при

<0 x £ , 1

F(x) = í x2

ï

1 при x >

. 1

î

Н айти нач альны е

и

центральны е

моменты

первы х

трех

поря дк ов

слу ч айной вели ч и ны

ξ .

5. Д и ск ретная слу ч айная вели ч и на ξ и меетзак онраспределени я