- •Министерство образования Российской Федерации
- •I. Численное интегрирование
- •1.1. Постановка задачи
- •1.2. Квадратурная формула. Квадратурный процесс
- •Из последнего равенства следует, что последовательность функционалов погрешности не может равномерно сходиться к нулю при.
- •1.3. Интерполяционная квадратурная формула
- •Для любой таблицы узлов :, используя формулу (8), получаем
- •1.4. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона (парабол)
- •Формула трех восьмых
- •1.5. Квадратурные формулы Гаусса
- •1.6. Квадратурные формулы с весом
- •Многочлен Якоби определяется формулой
- •1.7. Локально-интерполяционные (составные) квадратурные формулы
- •Правило трапеций
- •Правило Симпсона (парабол)
- •Варианты заданий
- •II. Численное дифференцирование
- •2.1. Постановка задачи. Применение интерполяционного многочлена Лагранжа
- •2.2. Сходящиеся формулы численного дифференцирования
- •Формула численного дифференцирования (36) называется сходящейся, еслипри для любой функции(в любой точке гладкости функции).
2.2. Сходящиеся формулы численного дифференцирования
Пустьгладкая на некотором интервалеDвещественной прямойR функцияи требуется вычислить производную. Построим сеткуРассмотрим формулу численного дифференцирования
где R, .
Разность
называется погрешностью формулы численного дифференцирования (36).
Формула численного дифференцирования (36) называется сходящейся, еслипри для любой функции(в любой точке гладкости функции).
Будем говорить, что формула (36) аппроксимирует с порядком (имеет - ый порядок точности), если при .
Функцию комплексного переменного С вида
назовем характеристической функцией (символом)формулы численного дифференцирования (36).
Теорема 5. Формула численного дифференцирования (36) является сходящейся тогда и только тогда, когда ее характеристическая функция представима в виде
Замечание 11 . В представлении (38) характеристической функции сходящейся формулы численного дифференцирования множитель
имеет корней; они называются характеристическими числами сходящейся формулы численного дифференцирования (характеристические числа отличны от 1).
Для построения формулы численного дифференцирования, имеющей - ый порядок точности, можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.
Теорема 6.Для того чтобы формула численного дифференцирования (36) аппроксимировала с порядком, необходимо и достаточно, чтобы ее коэффициентыявлялись решением системы линейных уравнений
Система (39) содержит уравнений относительно неизвестных .
Из теоремы 6 следует, что для построения искомой формулы численного дифференцирования (36) нужно найти решение системы (39). Выберем и так, чтобы . В этом случае определитель системы (39) есть определитель Вандермонда и отличен от нуля:
Таким образом, для любых и можно построить формулу численного дифференцирования, аппроксимирующуюс порядком .
2.3. Задание. Для заданных и методом неопределенных коэффициентов построить формулу численного дифференцирования, аппроксимирующуюс порядком .
Составитель Трофимов Валерий Павлович
Редактор Тихомирова О.А.