Министерство образования Российской Федерации

Воронежский государственный университет

Математический факультет

Кафедра математического моделирования

Численное

интегрирование и дифференцирование

Учебно-методическое пособие

по курсу «Методы вычислений»

для студентов IV-V курсов

всех форм обучения

Составитель В.П.Трофимов

Воронеж

2002 г.

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для выполнения лабораторных работ «Численное интегрирование» и «Численное дифференцирование» по курсу «Методы вычислений» студентами IV-V курсов дневного и вечернего отделений математического факультета. Разработка может быть использована для самостоятельной работы студентов и при подготовке к экзамену.

Разработка представляет собой существенно переработанный и дополненный вариант методических указаний [6].

Литература

1. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие / Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков; Под ред. В.А.Садовничего. – М.: Высшая школа, 2000. – 190 с.

2. Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов / А.И.Плис, Н.А.Сливина. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1994. – 416 с.

3. Крылов В.И. Справочная книга по численному интегрированию/ В.И.Крылов, Л.Т.Шульгина. – М.: Наука, 1966. – 372 с.

4. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. – М.: Высшая школа, 1982. – 328 с.

5. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов / Г.М.Вайникко. – Тарту.: Тартусский гос. ун-т, 1976. – 162 с.

6. Методические указания по методам вычислений и вычислительной практике. Часть II/ Сост. Г.С.Аброськина, В.П.Трофимов. - Воронеж.: Воронеж. гос. ун-т, 1988. – 19 с.

Обозначения

R- множество вещественных чисел;

N – множество натуральных чисел;

С – множество комплексных чисел;

- банахово пространство функций непрерывных наR;

- пространство функций, имеющих на непрерывные производные до порядкавключительно;

- пространство алгебраических многочленов;

- пространство алгебраических многочленов степени не выше.

I. Численное интегрирование

1.1. Постановка задачи

Пусть функция определена и непрерывна на отрезкеR , и требуется вычислить определенный интеграл (интеграл Римана)

Задачу вычисления интеграла (1) принято называть квадратурой.

Если интеграл является табличным или приводится к табличному (например, с помощью замены переменного), то он вычисляется с помощью формулы Ньютона-Лейбница

,

где - первообразная дляна.

На практике в редких случаях можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Через элементарные функции выражаются первообразные только для специальных классов функций. Например, в элементарных функциях не выражаются интегралы и. Кроме того, функцияможет быть задана таблично. В этом случае формула Ньютона-Лейбница вообще не применима. Поэтому приходится интеграл вычислять приближенно, используя формулы численного интегрирования.