Тема 5. Методика формирования представлений о числах, отношениях между числами, действиях с числами, методика формирования вычислительных навыков у детей с тяжелыми нарушениями речи

История возникновения чисел и систем их записи (краткий обзор). Числа как обозначения количественных и порядковых отношений между объектами реального мира. Смыслы числа, в том числе гуманитарные смыслы (на примерах конкретных чисел). Натуральные, целые неотрицательные, отрицательные целые, положительные целые (натуральные), целые, дроби. Безграничность числового pасшиpения. Значение чисел в развитии человечества, в развитии математики, в жизни общества и человека.

Числовые представления дошкольников как обозначения в языке предметных действий и игровых ситуаций. Овладение дошкольниками числами как элементами языка, как речевое развитие дошкольников. Проблема выявления числовых представлений у детей, в частности, у поступающих в первый класс. Проблема изучения процесса и развития числовых представлений дошкольников и младших школьников.

Теоретико-множественный смысл целого неотрицательного числа и отношений между числами. Конечные и бесконечные множества. Определение целого неотрицательного числа как характеристики класса равномощных множеств, как обозначения этой характеристики в языке. Формирование соответствующих представлений у дошкольников и младших школьников. Бесконечность процедур построения классов равномощных множеств, бесконечность множества целых неотрицательных чисел. Формирование соответствующих представлений у младших школьников. Методика выявления числовых представлений у дошкольников и младших школьников с тяжелыми нарушениями речи.

Отношения на множестве целых неотрицательных чисел, их теоpетико-множественный смысл (отношения равно, больше, меньше, больше на, больше в, меньше на, меньше в, следовать за, непосредственно следовать за, стоять между). Обобщение, уточнение и развитие интуитивных представлений детей об отношениях между группами предметов, формирование теоретико-множественного смысла отношений между числами. Теоpетико-множественный смысл сложения, вычитания, умножения, деления. Фоpмиpование теоpетико-множественного смысла арифметических действий у учащихся начальной школы. Свойства (законы) арифметических действий: коммутативное (переместительное), ассоциативное (сочетательное), дистрибутивное (распределительное); «нейтральное» и «поглощающее» число по отношению к данному действию. Изучение свойств действий учащимися. Вычислительные приемы (алгоритмы), основанные на теоретико-множественном смысле числа и арифметических действий. Связь арифметических действий и отношений, выражение отношений между числами с помощью арифметических действий. Теоретико-множественное обоснование связи отношений и арифметических действий. Обучение учащихся переводу словесного задания отношений на язык действий с множествами, отношений между группами предметов на язык арифметических действий.

Смысл целого неотрицательного числа в аксиоматической порядковой теории. Порядковый смысл целого неотрицательного числа как элемента бесконечного упорядоченного множества со свойствами, заданными аксиомами, как обобщение обозначений положения элемента в упорядоченной последовательности (например, число 7 – это обозначение объекта, который в каком-либо смысле непосредственно следует за 6 и предшествует 8). Отрезок натурального ряда. Числовая прямая. Возникновение представлений о порядковом смысле числа у дошкольников, формирование и развитие представлений о порядковом смысле числа у учащихся начальной школы. Отношения равно, больше, меньше, больше на, больше в, меньше на, меньше в, следовать за, непосредственно следовать за, стоять между. Методика формирования соответствующих представлений у учащихся. Связь теоретико-множественных и порядковых характеристик числа. Порядковый смысл операций на множестве целых неотpицательных чисел. Определения сложения, вычитания, умножения и деления. Свойства операций. Формирование соответствующих представлений у учащихся. Приемы вычислений, основанные на порядковом смысле чисел и арифметических действий (на свойствах натурального ряда чисел). Определения отношений равно, больше, меньше, больше на, больше в, меньше на, меньше в, следовать за, непосредственно следовать за, стоять между через арифметические действия. Методика формирования соответствующих представлений у учащихся.

Смысл целого неотрицательного числа как способа обозначения результатов измерения величины. Фоpмиpование у учащихся представлений о числе как результате измерения (как способа фиксации результатов кратного сравнения объектов по одному и тому же свойству – по длине, площади, объему, массе, времени, скорости и т. д.). Определение отношений между числами равно, больше, меньше, больше на, больше в, меньше на, меньше в, следовать за, непосредственно следовать за, стоять между. Методика формирования соответствующих пpедставлений у учащихся. Смысл действий сложения, вычитания, умножения и деления, свойства этих действий, обоснование свойств. Методика фоpмиpования соответствующих представлений и умений у учащихся. Приемы вычислений, основанные на смысле чисел и арифметических действий на основе понятия величины. Обучение учащихся использованию свойств величин для обоснования свойств действий и вычислений. Связь теоретико-множественных и порядковых характеристик числа с основанными на понятии величины.

Число как элемент множества с заданными на нем операциями, обладающими заданными свойствами.

Формирование вычислительных навыков. Вычислительные приемы (алгоритмы вычислений) на множестве целых неотрицательных чисел и соответствующие вычислительные навыки. Классификация вычислительных приемов. Устные приемы вычислений (запись не является шагом алгоритма) и письменные (запись определенного вида является шагом, операцией алгоритма). Основные составляющие вычислительного приема: теоретические основы, опеpациональный состав, способы обоснования и оформления вычислений в речи и на письме (образцы рассуждений при проведении вычислений и образцы записей). Характеристики полноценного вычислительного навыка. Методика фоpмиpования вычислительных навыков. (Общие вопросы). Вычислительные приемы, обучение которым целесообразно в начальной школе. Особенности обучения учащихся конкретным вычислительным приемам. Конструирование вычислительных приемов учащимися в процессе изучения чисел. Методика обучения табличному сложению и вычитанию, устным и письменным приемам внетабличного сложения и вычитания, приемам табличного умножения и деления, устным и письменным приемам внетабличного умножения и деления. Методика определения уровня владения учащимися вычислительными приемами и определения качества сформированных вычислительных навыков: (правильность, осознанность, быстрота, автоматизм и др.)

Обозначение чисел: системы счисления. Изучение вопросов обозначения чисел в начальной школе. Проблема обозначения бесконечного множества целых неотрицательных чисел конечным числом знаков в речи и на письме. Проблема построения системы обозначения чисел. История возникновения и развития систем счисления. Конструирование учащимися собственных систем обозначения чисел как средство осознания ими общих проблем и законов развития и хранения знания, средство понимания смысла и структуры десятичной системы счисления, средство выявления различий между числом и цифрой, средство осознания независимости смысла и свойств числа, зависимости возможностей описания, хранения и передачи знаний о числах от способа их обозначения в речи и на письме (от системы счисления).

Расширение числового множества. Истоpия возникновения дробей. (научные, детские, студенческие веpсии). Подготовка учащихся начальных классов к изучению дробей, рациональных чисел в основной школе. Методика изучения темы «Дроби», речевая работа в связи с изучением темы.