2. Совместная обработка количественных и качественных данных

Задача совместной обработки количественных и качественных данных возникает при оценке интегральных свойств, зависящих от ряда факторов (например, оценка качества, диагностирование и т.п.).

Сформируем задачу в следующем виде. Пусть имеется свойство (характеристика состояния), определяемое по n критериям (факторам), каждый из которых представлен двумя оценками: числовой (количественной) a, выражающей объективную информацию, полученную измерением, и словесной (качественной) b, отражающей субъективное мнение экспертов. Например, для фактора «температура»: a=37,3°С; b=«повышенная температура».

Требуется определить общую (интегральную) оценку данного свойства с учетом как количественной, так и качественной информации. Рассмотрим несколько случаев.

1.Предположим, что оценки являются статистическими и находятся опросом m экспертов. Тогда возможный способ решения задачи состоит в переводе всех оценок в порядковую (ранговую) шкалу.

Обозначим: j – номер критерия (1≤j≤n); i – номер эксперта (1≤i≤m); aij – количественная оценка критерия j для эксперта i, приведенная к

десятибалльной шкале (1–10); bij – качественная оценка критерия j для эксперта i по шкале (1–10); rj – коэффициент корреляции между aij и bij; pij – относительный вес j-го критерия для эксперта i. Для агрегирования данной информации можно использовать одну из сверток, например, аддитивную или по наихудшему критерию. При использовании аддитивной свертки расчеты выполняются по следующей схеме:

bj = 1 ∑m pijbij

m i =1

Общая оценка равна:

c€= 1 ∑n c j , n j =1

где c j = 12 rj (a j + bj ); rj – коэффициент ранговой корреляции Спирмена,

определяемый из соотношения [18]:

Если ранжировки содержат совпадающие ранги, то выражение для коэффициента корреляции усложняется, так как должно учитывать число повторений рангов в ранжировках [18]. Степень согласия между экспертами проверяется дополнительно по коэффициенту конкордации Кендалла [18].

Наряду с коэффициентом r могут использоваться и другие коэффициенты связи: коэффициент Юла (Q), коэффициент коллигации (Y), коэффициент абсолютной связи (V) [9].

где α – число оценок (aj, bj); β – число оценок (aj,не – bj); γ – (не – aj, bj);

δ – (не – aj, не – bj).

Коэффициенты Q и Y эквиваленты друг другу и связаны соотношением:

Q =1 +2YY 2 .

Коэффициент Q равен нулю, если оценки aij, bij (объективная и субъективная) независимы, и принимает значение +1 в случае полной связанности (все оценки aij одновременно являются bij либо наоборот), а значение –1 в случае отрицательной связанности (все оценки aij не являются bij).

Он равен нулю, когда =0, и принимает значение +1 только, когда все aij одновременно являются bij и все bij одновременно являются aij.

При использовании свертки по наихудшему критерию:

где c€L ,c€u – нижняя и верхняя граница соответственно.

В этом случае имеем интервальную оценку: c€=[c€L ,c€u ],

причем нижняя граница соответствует стратегии пессимизма, а верхняя – оптимизма.

2.Рассмотрим случай, когда количественные оценки представлены в виде интервалов, а качественные – в виде (возможно усредненных по

экспертам) словесных оценок, например: at=(37,2±0,1)°C; bt=«повышенная температура». Применим для построения общей оценки нечеткие модели, тогда at и bt имеют вид нечеткого числа и

Рис. 1. Нечеткое число (а) и нечеткий интервал (б).

Для нечеткого числа граничные значения получаются как центральное значение плюс (минус) размах, т. е. 37,2±0,2. Для нечеткого интервала граничные значения могут быть несимметричны относительно центра интервала.

Определим индекс (степень) согласования оценок ajbj в виде [19]:

где F – свертка определяемая выбранной стратегией принятия решения, R – отношение согласования. Например, если R задается операцией

частности, если R задается операцией типа min, а F = supα , то имеем:

Достоверность оценки αjab определяется соотношением [19]:

α jab >νR

либо

Если R задается операцией пересечения со сверткой типа min, то имеем:

где c€L , c€u – нижняя и верхняя граница интервала соответственно.

Нижняя граница соответствует противоречивым факторам, а верхняя – взаимодополнительным.

3.Рассмотрим теперь случай, когда количественная и качественная оценки относятся к разным критериям (факторам) например,

at=(39,1±0,1)°C; bt=«повышенное содержание лейкоцитов».

Применим нечеткие модели. В этом случае оценки aj, bj суммируются непосредственно, и мы имеем:

При определении типа операции свертки (min, sum, max и т.д.) следует учитывать дополнительную априорную информацию о семантике

взаимосвязи оценок ~ (~ ), ~ (~ )и интегральной оценки, и в зависимости a j bj ak bk

от характера взаимосвязи того или иного фактора с другими выбирается тип свертки. Для обоснованного выбора свертки кроме индекса α jab

целесообразно также рассчитывать и другие индексы [19], в частности,

α jab =1− F(α((a jα Rbjα ) (a jα R(a jα Rbjα ))≠ ));

α jaa = F (α(a jα Rbjα )R(a jα Rbjα )≠ ).

В зависимости от соотношения четырех индексов уточняется вид операции свертки.

4.Рассмотрим решение задачи при тех же условиях, что и в п. 3, используя нечеткую логику. Пусть ai набор количественных оценок, bj

с, * – связка «и» («или»), → – операция импликации.

Агрегирование количественных и качественных оценок проводится раздельно. Перепишем набор правил, вводя функции принадлежности:

где * – операция min, max или sum.

Итоговая оценка получается расчетом индекса согласования оценок С~1 и С~2 , например в виде (см. выше):

Достоверность оценки проверяется сравнением с индексом нечеткости отношения согласования нечетких множеств С~1 и С~2 .

Предложенный подход целсообразно применять при обработке разнородной информации. При этом ошибка измерения отдельных характеристик возрастает из-за перехода к порядковой (нечеткой) шкале, однако ошибка модели (предсказания, вывода, концепции) уменьшается за счет того, что отдельные части информации согласуются друг с другом.