- •Введение
- •Глава 1. Основные положения теории измерений
- •1.1 Взаимосвязь понятий измерения и числа
- •1.2. Физические величины и их единицы
- •1.3. Измерительные шкалы
- •Глава 2. Обработка результатов измерений
- •2.1. Классификация ошибок
- •2.2. Основы теории ошибок
- •2.2.1. Частота, вероятность, среднее значение, дисперсия
- •2.2.2. Распределение вероятностей
- •2.2.2.1. Гауссово, или нормальное, распределение (н.р.)
- •2.2.2.3. Распределение Пуассона
- •2.2.2.4. Другие распределения
- •2.2.3. Доверительный интервал
- •2.2.4. Критерий Пирсона (хи-квадрат)
- •2.2.5. Сложение ошибок
- •2.2.6. Взвешенное среднее значение
- •2.3.1. Линейная регрессия
- •2.3.2. Нелинейная регрессия
- •2.4. Методы оценки числа измерений
- •2.4.2. Оценка числа измерений, необходимого для получения СКО среднего с требуемой точностью
- •2.4.3. Оценка числа измерений для определения допустимых границ
- •Таблица 2
- •2.5. Статистическая проверка гипотез
- •2.5.1. Проверка гипотезы о среднем значении нормально распределенной случайной величины х с известной дисперсией
- •2.5.2. Проверка гипотезы о значении дисперсии нормально распределенной случайной величины х при неизвестном среднем
- •2.5.4. Проверка гипотез о положении (сдвиге), симметрии распределения, однородности данных
- •2.6. Определение вида закона распределения значений измеряемой величины
- •2.6.1. Аналитические методы
- •2.6.1.3. Определение энтропийного коэффициента
- •Таблица 9
- •2.6.2. Графические методы
- •Таблица 10
- •2.6.3. Проверка гипотезы о согласовании эмпирического и теоретического распределения по критериям согласия
- •2.6.4. Оценка истинного значения и ошибки измерения
- •Глава 3. Измерительные устройства
- •3.1. Основные блоки измерительных устройств
- •3.2. Передаточные характеристики
- •3.3 Динамические свойства измерительных устройств
- •3.3.1 Передача непериодического сигнала
- •3.3.2. Передача периодического сигнала
- •3.4. Принцип обратной связи
- •Приложения
- •1. Примеры решения задач
- •2. Совместная обработка количественных и качественных данных
- •3. Таблицы наиболее часто используемых распределений [2,3]
- •3.1. Интегральная функция нормированного нормального распределения
- •3.2. Распределение Стьюдента
- •3.4. F-распределение Фишера
- •Список литературы
- •Оглавление
где S =σ +iω. |
(3.26) |
Такой способ описания передаточной функции имеет преимущество, так как позволяет определять ПХ системы по ПХ ее отдельных элементов. В частности, если ИУ состоит из элементов, соединенных последовательно, то общая передаточная функция устройства равна произведению передаточных функций отдельных элементов:
n |
(3.27) |
H (S) = ∏H i (S) . |
i=1
3.3.2.Передача периодического сигнала
При передаче периодического сигнала в качестве контрольной функции используют синусоидальную функцию. После завершения
переходных процессов входной периодический сигнал вида: |
|
х(t) = x0 · exp(iωt) |
(3.28) |
вызывает на выходе периодический сигнал с такой же угловой частотой ω, но с другой амплитудой у0 и со сдвигом по фазе ϕ, которые зависят от ω:
у(t) = y0(ω) · exp( i (ω t + ϕ(ω))). |
(3.29) |
||||
Зависимость между входным и выходным сигналами называют |
|||||
комплексной частотной характеристикой (КЧХ): |
|
||||
H (ω) = |
y(t) |
= |
y0 (ω) |
exp(iϕ(ω)). |
(3.30) |
x(t) |
|
||||
|
|
x0 |
|
В пределе ω→0 КЧХ переходит в статический коэффициент передачи К, т.е. Н(ω) имеет ту же размерность, что и К: [H]=[K]=[y]/[x].
Функцию Н(ω) можно представить с помощью годографа на комплексной плоскости, однако на практике обычно используют представление КЧХ с помощью диаграммы Боде. Она представляет собой зависимости фазы и логарифма отношения амплитуд от логарифма частоты. На рис. 24 показаны как пример амплитудная частотная характеристика (АЧХ) и фазовая частотная характеристика (ФЧХ) системы 1-го порядка.
Из рис. 24 видно, что при низких частотах амплитуда не зависит от частоты. Начиная с некоторой частоты ωg (граничная частота), выходной сигнал становится все слабее, а разность фаз возрастает. При высоких частотах передаточные характеристики системы ухудшаются, поэтому принято определять так называемую граничную частоту ωg, при которой
амплитуда сигнала падает до 1 2 (≈71%) исходного значения. При
измерениях такие большие искажения не допустимы, поэтому в качестве допустимого отклонения выбирают значения 10%; 5%; 1%, либо
наибольшей допустимой частотой считают частоту, которая в 10 раз ниже граничной:
ω m ≤ |
ω g |
. |
(3.31) |
|
10 |
||||
|
|
|
lg y0 (ω)x0
|
-1 |
0 |
1 |
|
lg{K} |
|
lg |
ω |
|
lg |
{K} |
|
|
ω0 |
|
|
|
||
|
10 |
|
|
|
lg |
{K} |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
ϕ |
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
|
0° |
|
|
ω |
|
|
lg |
|
|
|
|
ω0 |
-90° |
|
|
|
Рис. 24. КЧХ системы 1-го порядка, представленная диаграммой Боде.
На графиках значения частоты обычно нормируют на частоту ω0, в качестве которой используют граничную частоту ωg или частоту собственных колебаний в системе. На рис. 24 представлены характеристики системы, называемой фильтром нижних частот (ФНЧ). Простейшим ФНЧ является RC-цепочка (рис. 25), у которой входной и выходной сигнал имеют одинаковую природу. Ее КЧХ можно представить в виде отношения полных сопротивлений, если RC-цепочка подключена как делитель напряжения:
|
U |
вых |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
H (ω) = |
|
|
=1 |
iω c |
R + |
|
|
= |
1 + iω RC |
. |
(3.32) |
||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Uвх |
|
|
iω c |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uвх |
|
|
|
|
|
uвых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 25. RC-фильтр нижних частот.
Из (3.32) получаем:
H (ω) = |
|
|
1 |
|
|
|
; ϕ = −arctgωRC , |
(3.33) |
||||||||
1 + ω2R 2C 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
граничная частота равна: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
ω g = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.34) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя (3.34) в (3.33), найдем после простых преобразований: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ω |
2 |
|
|
ω |
|
|
||
lg |
H (ω) |
= − |
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||||
2 lg 1 |
ω |
2 |
;ϕ |
= −arctg |
ω |
|
. |
(3.35) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
g |
|
Кривые на рис. 24 соответствуют выражениям (3.35) с точностью до постоянного множителя К на амплитудной характеристике.
Область частот от 0 до ωg называют полосой пропускания, а интервал от 0 до ωg/10 называют полосой пропускания измерительной системы. Решая дифференциальное уравнение, описывающее систему, можно получить постоянную времени для передаточной функции RCцепочки:
ω g = |
1 |
. |
(3.36) |
|
|||
|
T |
|
Выражение (3.36) справедливо для всех систем 1-го порядка. Учитывая (3.16), можно получить выражение для времени нарастания Тн:
Tн = T ln 9 = |
ln 9 |
≈ |
2,2 |
. |
(3.37) |
|
|
||||
|
ω g |
ω g |
|
Для времени установления (на уровне 1% от стационарного значения) имеем:
T у = 2T ln10 = |
2 ln10 |
≈ |
4,6 |
. |
(3.38) |
|
|
||||
|
ω g |
ω g |
|
Аналогичные выражения можно получить и для систем более высоких порядков. На практике и в этих случаях часто пользуются соотношениями (3.37) и (3.38).
Системы со свойствами фильтра верхних частот (ФВЧ) можно использовать только для динамических измерений. Такие системы полностью подавляют низкочастотную составляющую вместе с постоянной составляющей сигнала. На рис. 26 показаны типичные АЧХ и ФЧХ фильтра верхних частот, а на рис. 27 – простейший ФВЧ – CRцепочка (АЧХ на рис.26 описывает свойства CR-цепочки с точностью до постоянного множителя).
Нижняя граничная частота ФВЧ соответствует 1 2 максимального значения амплитуды. Аналогично случаю ФНЧ можно записать:
|
H (ω) = |
U |
вых |
= |
R |
= |
|
iω R C |
|
. |
|
|
(3.39) |
||||||
|
|
|
1 |
1 |
+ ω |
R C |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
U вх |
|
R + iω c |
i |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
lg y0 (ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
0 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
90° |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lg{H m } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg |
|
|
45° |
|
|
|
|
||||
H m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω0 |
|
|
|
|
ω |
|
||
lg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0° |
|
|
ω0 |
|
H m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 26 КЧХ фильтра верхних частот, представленная диаграммой Боде.
С
uвх |
R |
|
uвых |
Рис. 27. CR-фильтр (ФВЧ.).
Амплитудная и фазовая характеристики даются выражениями:
H (ω) = |
ωRC |
|
1 |
(3.40) |
1 +ω2R 2C 2 |
; ϕ(ω) = arctg |
. |
||
|
|
ωRC |
|
Нижняя граничная частота равна:
ω gн = RC1 (3.41)
и, следовательно:
|
|
|
ω |
|
1 |
|
|
|
ω |
2 |
|
, |
(3.42а) |
|
lg |
H (ω) |
= lg |
− |
lg 1 |
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ω |
gН |
|
2 |
|
|
ω 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gН’ |
|
|
ϕ(ω) = arctg |
ω gн |
. |
(3.42б) |
|
ω |
||||
|
|
|
Если в системе могут возникать собственные колебания с частотой ω0 , то на АЧХ появляется характерный максимум возле ω0 . На рис. 28 показан пример для ФНЧ. Комбинация ФВЧ и ФНЧ позволяет получить так называемый полосовой фильтр (рис. 29)
|
|
|
|
|
|
|
|
lg y0 (ω) |
|
|
|
|
|||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
|
|
lg{K} |
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
lg |
|
|
||
lg K |
|
|
|
|
ω0 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
lg |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 28. АЧХ системы, в которой возможны собственные колебания при ω0.
|
R1 |
С2 |
|
uвх |
С1 |
R2 |
uвых |
Рис. 29. Полосовой фильтр.
В этом случае, рассуждая аналогично, получим:
H (ω) = |
|
iωR C |
. |
(3.43) |
|
+ iωR C)2 |
|||
(1 |
|
|
АЧХ и ФЧХ даются выражениями (для простоты сопротивления и емкости в обоих фильтрах приняты одинаковыми, т. е. R1=R2=R и
С1=С2=С):
H (ω) |
|
= |
|
ωR C |
, |
(3.44) |
||
|
|
|||||||
|
|
+ω |
2 |
2 2 |
||||
1 |
|
|
||||||
|
R C |
|
|
ϕ = arctg1 −ω2R 2C 2 . 2ωRC
(3.45)
Вводя граничную частоту
ω g = |
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(3.46) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
H (ω) |
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
ω |
2 |
|
|
||||
lg |
|
|
= lg |
|
|
|
|
|
|
, |
(3.47а) |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ω g |
− lg 1 + |
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω g |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
ω g |
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|||||
ϕ = arctg |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
. |
|
|
|
(3.47б) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ω g |
|
|
|
|
|
В общем случае следует ввести две граничные частоты: верхнюю и нижнюю:
ω gв = |
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
ω gн = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
R C |
1 |
|
|
|
|
R |
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и мы имеем : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
1 |
|
|
ω |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ω |
2 |
|
|||||||||||
lg |
|
H |
|
= lg |
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ω gн |
|
2 |
lg 1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
lg 1 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω gн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω gв |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ω |
|
|
|
ω |
ω |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
gв |
+ |
gн |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ω gв |
ω gн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КЧХ полосового фильтра приведена на рис. 30.
(3.48)
(3.49а)
(3.49б)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg y0 (ω) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
|
lg{H m } |
|
|
|
|
|
ω |
|
|||
|
|
|
|
lg |
|
|
||||
H |
m |
|
|
|
|
|
ω0 |
|
||
lg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0° |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
ω |
|
|
–45° |
||||||||||
lg |
|
|
||||||||
–90° |
|
|
|
|
|
|
ω0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 30. КЧХ полосового фильтра в виде диаграммы Боде.