3.3 Динамические свойства измерительных устройств
Если входная величина х(t) меняется со временем, то выходная величина может содержать искажения, обусловленные инерционными свойствами измерительного устройства. Эти искажения принято называть динамической ошибкой, которая является дополнительной к статической ошибке, характеризующей ошибку измерения в стационарных условиях. Сумма двух ошибок дает полную ошибку. По определению полная ошибка равна:
e(t) = y(t) − yиcm = y(t) − yиcm + ycm/t − ycm/t = |
(3.14) |
|
= y(t) − ycm/t +(ycm/t − yиcm )= eдин + ecm , |
||
|
где уст/t – выходной сигнал в стационарных условиях, отнесенный к моменту регистрации сигнала t; един=у(t)–yст/t – динамическая ошибка;
ест=уст/t – уист – статическая ошибка.
Передаточные характеристики ИУ в принципе можно рассчитать, зная характеристики всех элементов, однако только непосредственная экспериментальная проверка позволяет учесть все факторы, которые могут исказить входной сигнал. Для этого входная величина изменяется по заданному закону, а выходная регистрируется с достаточно большим разрешением по времени. Зависимости х(t), используемые для контроля ПХ прибора, называют контрольными функциями, а результирующие зависимости у(t) на выходе – функциями отклика. Наиболее важными контрольными функциями являются ступенчатая, единичная импульсная (δ – функция) и синусоидальная функции.
3.3.1 Передача непериодического сигнала
На рис. 22 показаны характеристики системы 1-го порядка (такая система описывается дифференциальным уравнением 1-го порядка), на вход которой подается сигнал (рис. 22) в форме ступени (скачкообразная функция или функция Хевисайда). Функция отклика на скачкообразный сигнал (рис. 22), описывающая сигнал на выходе, экспоненциально стремится к постоянному значению у0=Кх0:
y(t) = Kx |
|
|
− exp |
|
− |
t − t0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
(3.15) |
|||
|
||||||||
|
|
|
|
T |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
для t≥t0, где Т – постоянная времени.
В момент t0+Т выходной сигнал составляет ≈63% нового стационарного значения, а через 5Т – 99% стационарного значения.
Для сравнения различных систем функцию отклика на скачкообразный сигнал на входе делят на величину ступени х0 входного сигнала:
h(t) = |
y(t) |
= K |
|
|
|
t − t |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
− exp |
− |
|
|
|
. |
(3.16) |
|||
|
|
|
|||||||||
|
x 0 (t) |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эту нормированную функцию отклика называют переходной функцией (рис.22). Она полностью определяет динамические свойства системы.
х(t)
a)
x0
t
t0
y(t)
б)
y0
t t0 t0+T
h(t)
в)
K
t
t0 t0+T
Рис.22в Зависимость входного и выходного сигналов от времени для системы 1-го порядка.
Наряду с этим на практике используют частные характеристики: время установления Ту и время нарастания Тн. Временем установления называют промежуток времени, в конце которого выходной сигнал у(t) отличается от стационарного значения Кх0 на 5%; 1% или 0,1%. Время нарастания – это время, за которое функция отклика h(t) нарастает от 0,1К до 0,9К.
К сожалению, большинство систем описывается дифференциальным уравнением 2-го порядка и более высоких порядков (системы 2-го и более высоких порядков). Поэтому переходная функция достигает стационарного значения не экспоненциально, а по более сложному закону. Функция отклика может стремиться к К плавно или с затухающими колебаниями возле К. Плавное изменение обычно более предпочтительно. Соответствующие примеры показаны на рис.23.
R(t) |
|
|
|
един |
|
K |
|
|
0,9K |
|
|
0,1K |
t |
|
|
||
|
ti |
|
|
TH |
|
|
Tу |
|
R(t) |
|
|
K |
един |
|
|
||
0,9K |
|
|
0,1K |
t |
|
TH |
||
ti |
||
Tу |
|
|
Рис. 23. Переходные функции систем 2-го и более высокого порядка. |
||
В случае колебаний временем установления называют время, после которого функция отклика не выходит за пределы определенной полосы возле К (на рис. 23 показана полоса шириной ±5%). В системах с плавным изменением функции отклика время установления Т определяется так же как в системах 1-го порядка. Определим динамическую ошибку. В соответствии с (3.14) для системы 1-го порядка:
|
|
|
|
|
|
|
t − t |
0 |
|
|
e |
= y(t) − y |
cm/t |
= −Kx |
0 |
exp |
− |
|
. |
(3.17) |
|
|
|
|||||||||
дин |
|
|
|
|
T |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (3.17) следует, что она максимальна (по модулю) при t=t0 и стремится к 0 при t→∞. Динамическая ошибка уменьшается (по модулю) по мере приближения функции отклика к стационарному значению К. Очевидно поэтому, что момент измерения нужно выбирать большим, чем время установления, чтобы динамическая ошибка не превышала 5%; 1% или 0,1%. Этот вывод справедлив для систем любого порядка. На рис. 22
отмечены значения един при t=t0 и t=t0+T, а на рис. 23 при t=ti (они получаются нормированными на величину х0).
Использование ступенчатой функции в качестве контрольной оправдано, если переходные процессы в ИУ растянуты по времени. В других случаях удобно описывать передаточные характеристики с помощью единичной импульсной функции. Например, в ФЭУ электрон, вылетевший с фотокатода вызывает на аноде импульс тока, ширина и форма которого определяется разбросом времен свободного пробега в ФЭУ. Другой пример – это импульс света, возникающий в сцинтилляторе, когда туда попадает квант излучения или частица. Важно, что во всех этих случаях изучаемые процессы имеют малую длительность.
Единичная импульсная функция х(t) представляет собой короткий импульс прямоугольной формы, продолжительностью t с амплитудой х0. При этом t должно быть настолько малым, чтобы за этот промежуток времени не возникало сигнала y(t) на выходе ИУ. В пределе t→0 единичная импульсная функция описывается δ-функцией Дирака:
x(t) = x 0 δ(t) |
(3.18) |
∞ |
|
причем ∫x(t) dt = x 0 |
(3.19) |
−∞
Функцию отклика на единичный импульс у(t) обычно нормируют на х0, т.е. на площадь под кривой х(t). В этом случае ее называют реакцией на единичный импульс или весовой функцией:
g(t) = y(t) . x 0
(3.20)
Тогда для любого сигнала x(τ) ≠ 0 при t ≥ 0 можно представить функцию отклика как интеграл Дюамеля от произведения функции x(τ) на весовую функцию:
t |
|
y(t) = ∫x(τ) g(t − τ) dτ , |
(3.21) |
0
т. е. , функция отклика равна среднему взвешенному входного сигнала, причем в качестве весов выступают значения весовой функции (отсюда и ее название). Так как δ-функция является производной от функции Хевисайда, то единичная импульсная функция получается при дифференцировании ступенчатой функции. Поэтому отклик системы на единичную импульсную функцию связан с откликом на ступенчатый входной сигнал соотношением:
= dh(t)
g(t) (3.22) dt
Если задана переходная функция, то (3.21) интегрированием по частям приводится к виду:
t |
dh(t |
−τ) |
t |
dx(τ) |
|
|
||
y(t) = ∫x(τ) |
dτ = ∫ |
* h(t − τ) dτ . |
(3.23) |
|||||
dτ |
|
dτ |
||||||
0 |
|
0 |
|
|
||||
Если требуется |
|
восстановить |
по выходному |
сигналу форму |
||||
входного, то это можно сделать, используя интеграл Дюамеля (3.21). Для этого с помощью преобразования Лапласа получают функциюизображение для входного сигнала. Тогда, используя обратное
преобразование Лапласса, имеем: |
|
|||||||||
L |
{ |
} |
= L |
{ |
} |
L |
{ |
} |
, |
(3.24) |
|
y(t) |
|
x(t) |
|
g(t) |
|||||
где преобразование Лапласа: F(S) = L[f (t)]= ∞∫ f (t)e−st dt .
0
Из (3.24) видно, что функция-изображение, полученная с помощью преобразования Лапласа для весовой функции, полностью определяет передаточные свойства системы. Поэтому ее называют передаточной функцией системы. В общем виде она определяется выражением:
H (S ) = LL{{xy((tt))}} = L{g(t)}, (3.25)