Глава 1. Основные положения теории измерений

1.1 Взаимосвязь понятий измерения и числа

Одно из основополагающих математических понятий – “число” своим возникновением обязано практической потребности в счете и измерении. По мере развития знаний об окружающем мире понятие числа также развивалось на протяжении нескольких тысячелетий: положительные целые числа (N), целые числа (Q), рациональные числа (Ra), действительные числа (Re), комплексные числа (C), так что каждая последующая система чисел включает предыдущую, являясь ее обобщением. Параллельно развивалось понятие измерения. При этом каждый переход к новой системе чисел сопровождался появлением новых возможностей изучения свойств объектов окружающего мира и установления зависимостей между ними.

Подчеркивая взаимосвязь числа и измерения, греческий мыслитель Филолаос Кратонский (V в. до н. э.) говорил: “Все, что можно узнать, имеет число, без него ничего нельзя понять или осмыслить”. Теория чисел Пифагора была положена им в основу модели мироздания. Неразрывная связь измерения с понятием числа следует из определения, приведенного выше (измерение – представление свойств посредством номеров и чисел). Оба эти понятия олицетворяют два фундаментальных свойства окружающего мира: дискретность и непрерывность. Так система целых чисел – дискретна, система действительных чисел – непрерывна. Математическим образом отдельного дискретного объекта является целое число, а математическим образом совокупности дискретных объектов – сумма целых чисел. Математическим образом непрерывности является линия (пространство, множество). В измерении происходит соединение этих двух противоположных свойств: непрерывное представляется (измеряется) отдельными (дискретными) числами (единицами). Современная практика измерения использует наряду с целыми и действительными числами и другие системы чисел. Например, случайные числа используются при имитационном моделировании и планировании эксперимента, при статистических измерениях.

В последнее время появились и другие обобщения понятия числа, например, нечеткие числа, применяемые для представления, так называемых, качественных свойств (высокий, красивый, богатый, большой и т. д.) в языках инженерии знаний.

1.2. Физические величины и их единицы

Мы вводим понятия, давая названия свойствам объектов и явлений, чтобы проводить различия между этими свойствами. В ряде случаев понятию удается сопоставить физическую величину; при этом соответствующее свойство должно быть таким, чтобы для него можно было определить единицу и прямо или косвенно измерить. Говорят, что величина G измерена, если известно, сколько раз в G содержится некоторая единица, что дает числовое значение {G} величины G. Если обозначить через [G] – единицу величины G (например, единица времени 1 секунда, единица силы тока 1 ампер и т. д.), то получим

Числовое значение является просто числом и не содержит какой-

Условно можно представить измерительную процедуру, задаваемую уравнением (1.2), в виде некоторого “измерительного прибора”, где каждому значению измеряемой величины G соответствует определенная отметка шкалы прибора в принятых единицах. Указание значения (измеряемого значения) величины G влечет за собой, поэтому, необходимость указания соответствующей единицы. Приводящие к неудобству слишком высокие и низкие порядки численных значений (по отношению к 10) сокращенно выражаются с помощью введения новых разрядов единиц, называемых через старые с добавлением приставки (кратной либо дольной). Так получаются новые единицы, например, 1 мм3=1·(10–3 м)3=10–9 м3. Сама физическая величина при этом не меняется, так как имеет место равенство:

Из (1.3) следует, что если единицу уменьшить в k раз, то числовое значение увеличится в k раз, т. е. имеет место инвариантность физической величины относительно выбора единицы.

Физические величины связаны соотношениями в форме математических уравнений, выражающих законы природы. Физические величины можно разделить на классы, каждый из которых описывает определенный круг явлений (например, механические, электрические, термодинамические и т. п.). Для того, чтобы систематизировать обширное

множество величин и единиц, стремятся ограничить его возможно меньшим числом, так называемых базисных, или основных величин и соответствующих им единиц. Базисные величины взаимно независимы и не сводятся одна к другой. Тогда все остальные необходимые величины могут быть найдены и определены на основе базисных как производные. Как правило, построение новых величин происходит путем умножения и деления старых, тем самым исключается, чтобы в качестве базисной величины использовалась, например площадь, так как иначе пришлось бы при образовании величин типа длины прибегать к операции извлечения квадратного корня. Вопросы построения системы физических величин исследованы в работах Флейшмана [7]. Полученные им результаты сводятся к следующему. Обозначим разные типы величин через А, В, С, тогда справедливы утверждения.

1.Из А и В можно построить новый тип величин С=А·В (мультипликативная связь);

2.Существуют неименованные числа, обозначаемые через (1)=(А°), которые при умножении на А не изменяют типа величины: A (1) = A (единичный элемент);

3.Всякому типу величин соответствует обратный тип величин, А–1, для которого А·А–1=(1);

4.Связи между величинами разных типов подчиняются ассоциативности: А·(В·С)=(А·В)·С и коммутативности: А·В=В·А;

5.Для всех А≠(1) и m N|0 справедливо равенство Аm≠ (1);

6.Полное множество, состоящее из бесконечного числа типов величин, обладает конечной производящей системой. Это означает, что имеется конечное число n элементов С1, С2,…, Сn, через которые любой тип

величины Х может быть представлен в виде: X = C1α1 C2α2 … Cnαn при

целочисленных αi. Однозначность такого представления заранее не предполагается.

Утверждения 1–6 образуют полную систему аксиом абелевой группы и справедливы для множества физических величин. Это позволяет воспользоваться теоремой, справедливой для абелевой группы [8]: “Среди n элементов производящей системы С1, С2,…, Сn имеется подмножество l ≤ n элементов В1, В2,…, Вl , обладающее тем свойством, что каждый элемент может быть однозначно представлен в виде

где βi – целые числа. Элементы В1, В2,…, Вl называются базисом группы. Здесь Bi – основные типы величин.

Имеет место теорема: группа, удовлетворяющая аксиомам 1–6, обладает по меньшей мере одним базисом В1, В2,…, Вn, причем в случае, когда n>2, существует бесконечное множество равноценных базисов. Величины входящие в базис называются основными, а все остальные величины – производными. Они определяются уравнениями, в которые входят основные физические величины или их комбинации. Как определить число элементов некоторого базиса? Для этого в данной области физики задается k взаимно независимых уравнений для q типов величин (q>k), тогда n=q–k из них остаются неопределенными и не могут быть выведены из других величин, поэтому являются основными.

Так, в механике наиболее известен базис, состоящий из длины (l), массы (m) и времени (t). Для геометрии достаточно только l, для кинематики l и t, для динамики требуется m, l и t. Следует отметить, что площадь, масса и время базиса не образуют, однако импульс p, энергия W

идействие S образуют базис.

В1960 г. было заключено международное соглашение о выборе основных физических величин. Эти величины, а также производные составляют основу Международной системы единиц СИ (System International). Система СИ использует в механике базис {l, m, t}, учет электромагнетизма добавляет сюда силу электрического тока (I), термодинамика требует включения температуры (T), для фотометрии

нужно добавлять силу света (Iv), наконец, необходимость описывать количественные соотношения в физико-химии привела к добавлению количества вещества (n). Соответствующие единицы обозначают обычно

прописными буквами L (метр), M (килограмм), T (секунда), I (ампер), Θ (кельвин), J (кандела), N (моль).

Систему СИ удобно использовать как в теории так и на практике, и во многих странах она имеет силу закона. Основные величины и наиболее важные производные и их единицы имеют собственные имена и краткие обозначения [6]. Существуют точные определения этих величин, реализуемые на практике лишь с конечной точностью, для чего используют разнообразные методы измерений, которые постоянно совершенствуются. Если обратится к истории вопроса, то видно, как с одной стороны, возрастали требования к точности определения единиц основных величин, а с другой, – возникали принципиально новые способы их измерения. Исследователи стремятся связать основные физические величины с физическими константами, которые можно в любое время измерить с хорошей воспроизводимостью. Характерным примером является единица длины. Вначале метр определялся через длину