Ankilov

7.Для формирования файла отчета запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на рабочем столе программу Microsoft Word, если же ярлык отсутствует, то открываем программу через кнопку «Пуск». Открываем новый документ. В начале документа необходимо оформить титульный лист, описать математическую постановку задачи и результаты выполнения подготовительных расчетов. Затем скопировать основные результаты расчетов из программы Parab.mcd в документ и оформить итоговый отчет. Копирование

–‘Ctrl’+’Insert’, вставка – ‘Shift’+’Insert’. Сохранить документ как

«ФамилияСтудента_группа_Parab.doc» и распечатать. Файл отчета оформить аналогично приложению А, описывающему выполнение лабораторной работы №1.

3.5.Порядок выполнения лабораторной работы

1.Повторить главу 1. Изучить разделы 3.1–3.6 данной главы и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 3.9.

2.Пройти собеседование с преподавателем, получить допуск к выполнению работы на ЭВМ, номер варианта задания, значение параметра n и указания по выбору пробных и поверочных функций.

3.Выполнить первый пункт задания, связанный с построением ряда Фурье для точного решения задачи U (x,t) и нахождением длины отрезка этого ряда,

обеспечивающую точность решения 0,001.

4. Выполнить подготовительный шаг алгоритма метода Галеркина и, если u0 (x) не является точным решением задачи, подготовить все числовые и

строчные данные для расчетов и в пункте «Постановка задачи» программы Parab.mcd ввести их вместо данных примера, введенных изначально.

5.В пункте «Получение точного решения» программы ввести число, намного превышающее найденное в 3-м пункте число слагаемых в разложении точного решения в тригонометрический ряд Фурье (чтобы гарантировать достаточную точность решения и в дальнейшем считать его точным). Скопировать график получившегося точного решения U (x,T ) в файл отчета.

6.В пункте «Получение приближенного решения» рассмотрено применение трех систем пробных и поверочных функций. По заданию преподавателя ввести (вместо уже введенных для примера) системы пробных V1(k, x) и поверочных W (k, x) функций, указанных во 2-м пункте (см. раздел

3.6). Выполнить построение n-го пробного решения задачи. Следует скопировать в файл отчета вектор коэффициентов vk (T ) (элементы вектора

Y100,k программы) пробных решений и набрать в отчете решение с этими

коэффициентами. Так же необходимо скопировать в этот файл пункт «Выводы».

7. Оформить и распечатать файл отчета по лабораторной работе, который должен содержать титульный лист, математическую постановку задачи и ее физическую интерпретацию, результаты выполнения подготовительных

81

расчетов, основные результаты расчетов на ЭВМ, выводы о возможностях использованных систем пробных и поверочных функций и наиболее приближенное к точному аналитическое решение.

8. Защитить отчет.

3.6.Программа в системе MathCAD и тестирующий пример

Вданном пункте приведен текст программы Parab.mcd, разработанной для решения начально-краевой задачи для одномерного параболического уравнения методом Галеркина. В тексте разбирается получение значений пробного решения u5 (x,t) при t 1 задачи: найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую в

области

Использовать три системы пробных и поверочных функций:

1.Пробные и поверочные функции – многочлены (2.28);

2.Пробные функции – многочлены (2.28), поверочные функции – многочлены Лежандра (2.31);

3.Пробные и поверочные функции – тригонометрические функции sin(2k 1)x .

Лабораторная работа «Решение начально-краевой задачи для одномерного

параболического уравнения методом Галеркина»

Задание на лабораторную работу

1. В пункте «Постановка задачи» ввести вместо данных примера непрерывные функции уравнения K(x) (K>0), (x), g(x), f(x) и числовые

параметры задачи a, b, a0, a1, a2, b0, b1, b2, c1, c2, c3, c4 своего варианта.

2. В пункте «Получение точного решения» программы ввести число слагаемых в разложении решения в ряд, намного превышающее найденное аналитически число, обеспечивающее точность решения 0.001. Скопировать график полученной интегральной кривой в файл отчета.

3. В пункте «Получение приближенного решения» выполнить построение n-го пробного решения задачи тремя системами пробных и поверочных

82

функций. Скопировать в файл отчета вектор коэффициентов Y100,k пробного

решения и набрать в отчете решение с этими коэффициентами при t=T.

4. Скопировать результаты пункта «Выводы» в файл отчета, и, анализируя их, сделать в файле отчета выводы о точности построенных решений.

Постановка задачи

Если хотя бы одно условие не выполняется (="No"), то задача поставлена не корректно.

83

Введите конечный момент времени, до которого необходимо провести исследование для вашего варианта

T 1

Получение точного решения

Найдем точное решение U(x, t), используя разложение функции в ряд Фурье. Если (x) 0, (x) 0, K (x) c1 const , то решение имеет вид

Введите число слагаемых, обеспечивающих достаточно большую точность решения (для примера M=3 обеспечивает точность 0,001, поэтому возьмем число, намного превышающее данное, например, M=30)

M 30

Если a1=0, b1=0, то функцию U0(x, t) можно взять в виде

Вычислим коэффициенты Ak

График точного решения при t=T

Скопируйте график полученной интегральной кривой в файл отчета.

84

Получение приближенного решения

n

Введите порядок пробного решения U n=V(0,x)+ V (k x) H (k t).

k 1

n 5

1. Введите систему пробных функций: k 1 n

V0(k x) (x a)k (x b)

Нормируем их. Для этого вычислим нормировочные коэффициенты i 1 6

Получили нормированные пробные функции

Введите функции V1(k,x) и V2(k,x), равные первой и второй производной от функции V(k,x)

85

86

41 1.871 10 12

2.Введите систему пробных и поверочных функций (для примера в качестве пробных функций возьмем функции пункта 1, а поверочными функциями возьмем многочлены Лежандра):

k 1 n

88