Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Международный институт компьютерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ankilov

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

						1
		2				2


\|\| Pk \|\|	Pk (x) dx				.
\|\| Pk \|\|	Pk (x) dx			2k 1	.
Таким образом,	0			2k 1
Таким образом,
w1 (x) 0.5642 ,
w2 (x) 0.9772 (0.6366x 1) ,
w (x) 0.6308 (3 (0.636x 1)2		1)	,
3
w4 (x) 0.7464 (0.6366 x 1) (5 (0.6366 x 1)2							3) ,
w (x) 0.2116 (35 (0.6366 x 1)4			30 (0.6366 x 1)3 3).
5
В результате расчета по программе при						n 5 получим вектор
коэффициентов
Y100,k T (2,4678	1,4224	2,0088 1,5563					0,591) .

Подставив коэффициенты Y100,k , набираем в файле отчета получившееся

пробное решение:

u5 (x,1) u0 (x) 2,4678u1 (x) 1,4224u2 (x) 2,0088u3 (x)1,5563u4 (x) 0,591u5 (x).

Определяем значения мер точности:

max

(x,1) U (x,1)

0,001072,

max

(x,1) u

(x,1)

0,019,

max

R (x,1)

0,012,

max

7.55 10-15.

3 вариант. В качестве пробных и поверочных функций выбираем

нормированные функции

uk (x)

uk (x),

1,5;

где

uk x sin 2k 1 x ,

uk x 2 dx

Т. е. u1 (x) 0,7979 sin(x),

(x) 0,7979 sin(x);

u2 (x) 0,7979 sin(3x),

(x) 7,181 sin(3x);

u3 (x) 0,7979 sin(5x),

u3 (x) 19,95 sin(5x);

u4 (x) 0,7979 sin(7x),

u4 (x) 39,10 sin(7x);

u5 (x) 0,7979 sin(9x),

u5 (x) 64,63 sin(9x).

В результате расчета по программе

при n 5

получим вектор

коэффициентов

101

Y100,k T ( 2,8878

0,0481

0,0021

0,000069

0,000001) .

Подставив коэффициенты Y100,k , набираем в файле отчета получившееся

пробное решение:

u5 (x,1) u0 (x) 2,8878u1 (x) 0,0481u2 (x) 0,0021u3 (x)

0,000069u4 (x) 0,000001u5 (x).

Определяем значения мер точности:

13 max u5 (x,1) U (x,1) 1,068 10-8 ,

23 max u5 (x,1) u4 (x,1) 1,06 10-6 ,

33 max R1 (x,1) 5 10-17 ,

43 max R2 x 4,852 10-3.

3.8. Основные термины

Уравнение параболического типа. Начально-краевая задача, граничные и начальные условия.

Точное, приближенное, пробное решения уравнения. Невязки пробного решения уравнения. Метод Галеркина. Пробные и поверочные функции.

3.9.Вопросы для самоконтроля

1.Приведите физические интерпретации задачи (3.1)–(3.3).

2.Найдите решение задачи (3.1)–(3.3) с условиями (3.5) методом разделения переменных.

3.Найдите решение задачи (3.1)–(3.3) с условиями (3.5) операционным методом, используя преобразование Лапласа.

4.Каким условиям должны удовлетворять пробные функции?

5.Какими свойствами должны обладать поверочные функции?

6.Как находятся, согласно алгоритму метода Галеркина для решения задачи (3.1)–(3.3), функции R1 и R2 , названные невязками?

7.Как строится система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для определения коэффициентов vk (t) пробного решения?

Постройте эту систему для задачи (3.1)–(3.3).

8. Как определяются начальные условия в задаче Коши относительно функций vk (t)? Найти уравнения, определяющие эти условия для задачи (3.1)–

(3.3).

9. Какие условия обеспечивают сходимость в среднем последовательности пробных решений к точному решению задачи (3.1)–(3.3)?

10.Приведите конкретный пример пробных функций для задачи (3.1)–(3.3). 11.Как нормировать пробную или поверочную функцию на отрезке a,b ?

12.Как проверить ортогональность функций на a,b ? 13.Как проверить ортонормированность функций на a,b ?

102

4.Решение начально-краевой задачи для одномерного гиперболического уравнения методом Галеркина

4.1. Постановка задачи и алгоритм метода

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу: в двумерной области

D (x,t) R2 : a x b, t 0

найти решение U (x,t) дифференциального уравнения

L u(x,t) 2u (x,t) u K

(x,t) 2u K

(x,t) u (x,t)u g(x,t),

(4.1)

t 2

удовлетворяющее двум краевым (граничным) условиям

(a,t) a

u(a,t)

(t),

(4.2)

u(b,t)

b2 (t),

b0u(b,t) b1

и начальным условиям

u(x,0) f (x) ,

(4.3)

u(x,0)

(x) ,

(4.4)

где (x,t) , K1(x,t)

( K1 0 ),

K2 (x,t) , (x,t) ,

g(x,t) – заданные, непрерывные

на

функции;

a2 (t) ,

b2 (t)

– дифференцируемые

на

[0, ) функции;

, a ,b ,b – заданные действительные числа, причем a

0, b2

0 ;

f (x) – заданная функция, непрерывная на [a,b] вместе с

(x)

и такая, что

f (a) a

(0),

f (a) a

b0 f (b) b1 f (b) b2 (0);

(x) – заданная функция, непрерывная на [a,b] вместе со своей производной и такая, что

a0 (a)

b0 (b)

a1 (a) da2 (0) , dt

b1 (b) db2 (0) . dt

Напомним, что в такой форме может быть поставлена задача о поперечных колебаниях струны или задача о продольных или крутильных колебаниях стержня, рассмотренные в главе 1.

В методе Галеркина для нахождения приближенного решения задачи (4.1)– (4.4) строится функциональная последовательность un (x,t) 0 из пробных решений un (x,t) следующим образом. Задаемся в области D некоторой

103

системой дважды дифференцируемых функций u0 (x,t), u1 (x), ..., un (x) таких, что u0 (x,t) удовлетворяет краевым условиям (4.2), а пробные функции ui (x) (i 1) являются линейно независимыми на a,b и удовлетворяют однородным краевым условиям

a
a	u(a) a u (a) 0,			(4.5)
0		1		(4.5)
b0u(b) b1u (b) 0.
Составляем функцию			n
un (x,t) u0			n	(4.6)
un (x,t) u0		(x,t) vk (t)uk (x)		(4.6)
			k 1

с неизвестными пока функциями v1(t),...,vn (t), зависящими только от аргумента t.

Подчеркнем, что в силу линейности условий (4.2) и (4.5), функция (4.6) удовлетворяет условиям (4.2) при любых функциях v1 (t),...,vn (t) . Значит,

следует так определить vi (t) (i 1) и количество (n) этих функций, чтобы un (x,t) из (4.6) удовлетворяла уравнению (4.1) и начальным условиям (4.3), (4.4) с заданной точностью.

Подставляя un (x,t)

вместо u(x,t) в уравнение (4.1) , получаем невязку

(t), x,t

R (v

(t),..., v

(x,t)

t 2

1 1

K 2

(x,t)

(x,t) u0

vk uk

g(x,t)

(x,t)

vk uk

или

k 1

R (v ,..., v

, x,t u

K u

1 1

k 1 k

1 k

2 k

k k

k 1

t 2

k 1

(4.7)

K 2

u0 g

Подставляя un (x,0) в (4.3), находим невязку

R2 v1 (0),...,vn (0), x u0 (x,0) vk (0)uk (x) f (x) .

(4.8)

k 1

Подставляя

un (x,0) , находим невязку

u0 (x,0)

(0), x

(0)u

(x)

(4.9)

(0),..., v

k 1

Невязки R1 ,

R2 и R3

являются характеристиками уклонения функции (4.6)

от точного решения U (x,t) задачи (4.1)–(4.4). Во всяком случае, если при

некотором наборе функций v j (t) R1 0 , R2 0 и R3 0 , то функция un (x,t) из (4.6) – точное решение.

104

В общем случае эти невязки оказываются отличными от нуля. Поэтому накладываем дополнительные условия на функции vk (t) и их начальные

значения vk (0) , vk (0) , так, чтобы невязки в каком-то смысле были бы

наименьшими.

В обобщенном методе Галеркина эти условия определяются системами

уравнений:	v1 (t),...,vn (t), x,t , wk (x) 0,
R1				k				(4.10)
							1,n;
R2		v1 (0),...,vn (0), x , wk (x) 0,		k				(4.11)
					1,n;
R3		v1	(0),...,vn (0), x , wk (x) 0,	k				(4.12)
						1,n;

где w1 (x),...,wn (x) – заданные линейно независящие на a,b поверочные функции; а

V (x),W (x) V (x)W (x)dx .

Напомним здесь, что если поверочные функции w1 (x),...,wn (x) входят в полную на a,b систему функций, то можно ожидать сходимости последовательности un (x,t) 0 в среднем к точному решению U (x,t) [1].

Запишем условия (4.10) в развернутом виде

v j

dv j

K1u j K2u j u j v j

u j (x)

u j

j 1

g(x,t)

, w (x)

или

v j

dv j

u j , wk

K1u j K2u j

u j , wk v j

j 1

g(x,t)

, w (x)

или

a d

v j h

dv j c v b ,

k 1,n;

j 1 kj

dt 2

где

akj u j , wk

u j (x)wk (x)dx,

hkj (t)

(x,t)u j (x)wk (x)dx,

(4.13)

(4.14)

(4.15)

105

b	K1u j K2u j u j wk dx,
ckj (t)	K1u j K2u j u j wk dx,	(4.16)
a

u0 g(x,t)

(4.17)

bk (t) K1

wk (x)dx,

1,n

1,n.

Если ввести в рассмотрение матрицы

V v j n,1,

A akj n ,

H hkj n ,

C ckj n ,

B bk n,1,

то система (4.13) в матричном виде запишется так

A d 2V

H dV

CV B.

dt2

Так как матрица A невырожденная, то отсюда получаем

d 2V

(4.18)

dt 2

B .

из n

Таким образом,

функции

v j (t)

должны удовлетворять системе

линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Заметим, что если функции (x,t), K1 (x,t), K2 (x,t), (x,t) зависят только от x , то система

(4.18) – система с постоянными коэффициентами. Заметим так же, что если в качестве поверочных функций выбраны пробные, которые ортогональны, то

матрицы A и A 1 являются диагональными матрицами. Запишем теперь в развернутом виде условия (4.11). Получаем

(x,0)

(0)u

(x) f (x),w

(x)

j 1

(x) v j (0) u0 (x,0) f (x),wk (x) 0

u j (x),wk

j 1

или

(x) ,

u j (x),wk (x) v j (0) f (x) u0 (x,0),wk

k 1,n;

j 1

или

dk ,

akj v j (0)

k 1,n;

(4.19)

j 1

где akj определяются формулами (4.14), а

f (x) u0 (x,0) wk (x)dx.

dk f (x) u0 (x,0),wk (x)

(4.20)

Если ввести матрицу D dk n,1 , то из (4.19) получаем

V (0) A 1D .

(4.21)

Теперь запишем в развернутом виде условия (4.12). Получаем

106

(x,0)

dv j (0)

u j (x)

(x),wk (x)

j 1

(x)

dv j (0)

(x,0)

(x),w

(x),w (x)

j 1

или

dv j 0 r ,

k 1,n;

(4.22)

j 1 kj

где akj определяются формулами (4.14), а

(x,0)

rk (x)

, wk (x) (x)

wk (x)dx.

(4.23)

Если ввести матрицу R rk n,1 , то из (4.22) получаем

dV (0)

A 1R.

(4.24)

Заметим, что если (x) 0 и u0 (x,t) зависят только от x , то vk (0) 0, k 1,n и R3 0.

Таким образом, для нахождения функций vk (t), k 1,n , определяющих

пробное решение (4.6), получаем задачу Коши для канонической системы (4.18) линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2n с начальными условиями (4.21) и (4.24). Решив указанную задачу Коши и подставив определяемые этим решением функции vk (t) в (4.6), заканчиваем

построение пробного решения un (x,t) .

Опишем возможный алгоритм построения приближенного решения задачи (4.1)–(4.4) методом Галеркина, предполагая, что последовательность un (x,t) 1 сходится равномерно к точному решению U (x,t) .

1. Подготовительный шаг алгоритма.

На этом шаге выбираем функцию

u0 (x,t)

и находим невязку R10 (x,t) L u0

g(x,t)

от подстановки функции

u0 (x,t)

в уравнение (4.1). Находим невязку R20 (x) u0 (x,0) f (x) для условия

(4.3)

невязку

R (x)

u0 (x,0)

(x)

для условия

(4.4).

Определяем

(x,t)

(x)

R (x)

max

, max

и max

. Если

a,b

и 30

3 , где 1 , 2 и 3

– заданные меры точности приближенного решения,

(x,t) . В противном случае переходим к следующему

то полагаем U (x,t) u0

шагу алгоритма,

предварительно выбрав пробные u j (x)

и поверочные

wk (x)

функции. Как выбирать пробные и поверочные функции, показано в разделе 3.2 данной работы.

107

2.		Первый шаг алгоритма. Определив функцию v1 (t)															из решения задачи
Коши (4.18), (4.21) и (4.24) при n 1, строим функцию u1 (x,t) u0																			v1		(t)u1 (x) .
Находим по формулам (4.7)–(4.9) невязки R11 v1 (t), x,t , R21																	v1 (0), x , R31 v1 (0), x

и		определяем			max	R		v , x,t				,		max	R	v (0), x						и
и		определяем			max	R		v , x,t				,		max	R	v (0), x						и
	R	v (0), x	.		D		11	1		11				a,b	21		1			21
					D		11	1		11				a,b	21		1			21
max					Если				,					и			, то полагаем
								11	1		21		2			31		3
a,b	31 1			31
a,b	31 1			31

U (x,t) ~ u1 (x,t) и вычисления заканчиваем. В противном случае переходим к

вычислениям на втором шаге алгоритма и т. д.

Таким образом, на m -м m 1 шаге алгоритма строим функцию

um (x,t) u0 (x,t) vk (t)uk (x) ,

k 1

определив предварительно функции v1 (t),...,vm (t) из решения задачи Коши

(4.18), (4.21),

(4.24)

при

n m . Находим

по

формулам

(4.7)–(4.9)

невязки

R1m v1 (t),...,vm (t), x,t , R2m v1 (0),...,vm (0), x , R3m v1

(0),...,vm (0), x ,

затем

вычисляем

max

, max

max

Если

a,b

1m 1, 2m 2 , 3m 3 ,

то полагаем U (x,t)

um (x,t) , в противном случае

переходим к m 1 -му шагу алгоритма.

4.2. Задание к лабораторной работе

Рассматривается начально-краевая задача: в двумерной области

D (x,t) R2 : 0 x l, 0 t T

найти решение u(x,t)

дифференциального уравнения

(4.25)

t 2

удовлетворяющее условиям

1 x2

u(0,t) c2 ,

u(l,t) c3;

(4.26)

u(x,0) f (x) c4 x2

(4.27)

x c2 ;

u(x,0) (x) 0;

(4.28)

где c1,c2 ,c3 ,c4 – некоторые заданные постоянные величины.

Заметим, что эта задача получается как частный случай задачи (4.1)–(4.4)
при a 0,	b ,	(x,t) 0,	K1 (x,t) c1,	K2 (x,t) 0,	x,t 0,	g(x,t) 0,

(x) 0, a0 1, a1 0, a2 c2 , b0 1, b1 0, b2 c3.

Варианты заданий, определяемые различным набором значений постоянных c1,c2 ,c3 ,c4 задачи (4.25)–(4.27) и параметра T , приведены в

таблице 4.1.

108

						Таблица 4.1
	Варианты задания к лабораторной работе
№	l	c1	c2	c3	c4		T
1	3	9	0,1	– 0,1	1		1
2	2	4	– 0,1	0,1	– 1		1
3	1	1	0,1	0,2	1		1
4	3	4/9	0,2	0,1	– 1		1
5	2	9	– 0,1	0,1	1		1
6	1	4	0,1	– 0,1	– 1		1
7	2	9	– 0,1	– 0,2	1		1
8	3	1/4	– 0,1	0,1	– 1		1
9	1	4/9	0,2	0,1	1		1
10	3	4	0,1	0,2	– 1		1

Лабораторная работа выполняется с использованием прикладной системы MathCAD, которая реализует алгоритм построения пробных решений um (x,t)

задачи (4.25)–(4.28) методом Галеркина.

Перед обращением к программе необходимо подготовить числовые и строчные данные.

Числовые данные:

l – правый конец отрезка изменения переменной x ; c1 – числовой параметр уравнения (4.25);

c2 ,c3 ,c4 – числовые параметры условий (4.26), (4.27);

n – число параметров C1,...,Cn в пробном решении (значение параметра

n задает преподаватель);

T – значение параметра T задачи. Строчные данные:

аналитические выражения для функции u0 (x),u1 (x),...,un (x) ; аналитические выражения поверочных функций w1 (x),...,wn (x) .

После введения числовых и строчных данных программа автоматически производит расчет значений v1 (T ),...,vn (T ) , построение графиков разности

пробного решения и точного решения, разности пробного решения и предыдущего пробного решения, таблиц невязок R1 (x,T ) и R2 (x) , на

основании которых определяются меры точности полученного решения. Заметим, что для рассматриваемой задачи R3 (x) 0 .

В лабораторной работе требуется:

1. Методом Фурье (методом разделения переменных) найти точное аналитически заданное решение U (x,t) задачи (4.25)–(4.28) и построить график

точного решения при t T , т. е. функции v(x) U (x,T ) .

2. Методом Галеркина найти три пробных решения un (x,T ) , используя

нормированные системы пробных и поверочных функций, тип которых задает преподаватель.

109

3.Определить меры точности полученных решений. Сделать вывод о точности решений и выписать лучшее из них.

4.Оформить и защитить отчет.

4.3.Выполнение работы в компьютерном классе

1.Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией.

2.При необходимости включите сами (или попросите лаборанта) питание компьютера. После того, как система загрузится, запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на рабочем столе программу Mathcad, если же ярлык отсутствует, тогда открываем программу через кнопку «Пуск» (Программы

Mathsoft Mathcad).

3.Узнайте у лаборанта расположение файла Hyperb.mcd и откройте его (File Open или, если программа русифицирована, Файл Открыть). При любой ошибке ввода программы нужно обратиться к лаборанту.

4.Прочитайте в начале файла задание на лабораторную работу и просмотрите пример выполнения работы, для которого исследование уже проведено. Программа файла Hyperb.mcd состоит из четырех пунктов «Постановка задачи», «Получение точного решения», «Получение приближенного решения», «Выводы». Цели и задачи каждого из пунктов описаны ниже.

5.Для набора функций нужно либо воспользоваться всплывающим меню инструментов «Calculator», либо ввести ее с клавиатуры, используя следующие символы арифметических действий и стандартных функций: сложение – ‘+’; вычитание – ‘–‘; умножение – ‘*’; деление – ‘/’; возведение в степень – ‘^’; квадратный корень – ‘\’; синус – sin(x); косинус – cos(x); экспонента – exp(x); натуральный логарифм – ln(x). При вводе числовых данных, являющихся десятичными дробями, целую и дробную части нужно разделять точкой

(например, 0.5, 1.5 и т. д.).

6.Порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками и заданиями, выделенными красным цветом.

7.Для формирования файла отчета запускаем двойным щелчком левой кнопки мыши на рабочем столе программу Microsoft Word, если же ярлык отсутствует, то открываем программу через кнопку «Пуск». Открываем новый документ. В начале документа необходимо оформить титульный лист, описать математическую постановку задачи и результаты выполнения подготовительных расчетов. Затем скопировать основные результаты расчетов из программы Hyperb.mcd в документ и оформить итоговый отчет. Копирование – ‘Ctrl’+’Insert’, вставка – ‘Shift’+’Insert’. Сохранить документ как «ФамилияСтудента_группа_Hyperb.doc» и распечатать. Файл отчета оформить аналогично приложению А, описывающему выполнение лабораторной работы №1.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.03.201660.28 Кб80107agressiya_kak_psikhologicheskiy_fenomen.docx
#
18.03.201624.58 Кб131variant.doc
#
18.03.2016413.7 Кб254 тема. Молекул. физика. Термодинамика..doc
#
18.03.2016476.67 Кб9154, с 56 по 65, 67Otvety_k_gosam.doc
#
24.09.201923.46 Кб36, 7, 12, 13, 15, 18.docx
#
17.05.20151.38 Mб14Ankilov.pdf
#
17.05.201519.19 Mб10chip_2014_04_ru.pdf
#
21.12.2018166.91 Кб5filosof2.doc
#
23.11.2019126.98 Кб9Lab2.doc
#
23.11.2019561.15 Кб1Lab3.doc
#
23.11.2019531.46 Кб4lab4.doc