Ankilov

Приложение. Файл отчета «Иванов_ПМд-31_ODE.doc»

Титульный лист

Лабораторная работа №1 «Решение краевой задачи для линейного обыкновенного

дифференциального уравнения второго порядка»

Выполнил: студент группы ПМд-31 Иванов И.И.

Проверил: преподаватель Сидоров С.С.

172

Описание математической постановки задачи и результаты выполнения подготовительных расчетов

Используя методы Галеркина, Ритца и интегральный метод наименьших квадратов, найти наиболее приближенное к точному аналитическое решение

из пробных решений, построенных: 1) методом Галеркина при помощи системы из 5 пробных функций – многочленов (2.26) и двух систем поверочных функций, одна из которых составлена из пробных функций, а вторая – из многочленов Лежандра (2.31); 2) методом Ритца при помощи двух систем из 5 пробных функций – многочленов (2.26) и функций вида (2.34) – (2.36); 3) интегральным методом наименьших квадратов при помощи двух систем из 5 пробных функций – многочленов (2.26) и многочленов (2.29).

1) Построим функцию u0 (x) для задачи с краевыми условиями (А2). Пусть u0(x) A, тогда u0 0 и условия (А2) дают несовместную систему из

уравнений A 1 и A 4.

Пусть u0 A Bx , тогда u0 B и условия (2.27) дают

Итак, u0 6 5x .

2) Построим систему из пяти пробных функций – многочленов (2.26) для

Определяем u1(x) . Если u1 A или u1 A Bx , то однородные условия (А3) выполняются, если u1 0 , что невозможно из-за требования линейной независимости пробных функций.

Ищем u1 x A Bx Cx2 C 0 , тогда u1 B 2Cx , и из однородных условий (А3) получаем систему

A B 0,

A 2B 3C 0.

Решая ее методом Гаусса, имеем

Видим, что система имеет множество решений

173

174

4) Построим систему пробных функций для задачи с однородными краевыми условиями (А3) вида (2.34) – (2.36).

Ищем нетривиальное решение вида (2.34). Удовлетворяя однородным

u1 (x) e x .

175

Ищем нетривиальное решение вида (2.35). Из однородных краевых условий, получаем

Нетривиальных решений нет.

Ищем нетривиальное решение вида (2.36). Из однородных краевых

i 2

Основные результаты расчетов на ЭВМ

1)График точного решения имеет вид:

2)Получим приближенные решения методом Галеркина в виде (А9).

Если в качестве поверочных функций возьмем пробные u1 (x),...,u5 (x) , то в

результате расчета по программе при n 5 получим вектор коэффициентов

С (1,132936 2,499320 2,647392 0,073920 1,213380)

и пробное решение имеет вид:

176

Если в качестве поверочных функций возьмем многочлены Лежандра, то в результате расчета по программе при n 5 получим вектор коэффициентов

и пробное решение имеет вид:

y5 (x) 6 5x 4,539001e x 0,209285 sin( x) cos( x)

0,008526 sin(2 x) 2 cos(2 x) 0,001314 sin(3 x) 3 cos(3 x)

0,000202 sin(4 x) 4 cos(4 x) .

4)Получим приближенные решения интегральным методом наименьших квадратов.

Ищем решение в виде (А9). В результате расчета получим вектор коэффициентов

и пробное решение имеет вид:

177

Ищем решение в виде (А10). В результате расчета получим вектор коэффициентов

1,023365(1 x)2 x2 0,337991(1 x)2 x3 0,171763(1 x)2 x4 .

5)Определяем меры точности полученных приближенных решений.

1. Метод Галеркина. Приближенные решения отыскивались в виде (А9).

Выводы

Сравнение с решением, полученным с помощью метода Рунге-Кутта в системе Mathcad, показывает, что все три метода эффективны при отыскании приближенного решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Наиболее близкое к точному аналитическое решение найдено методом наименьших квадратов в виде (А9) или (А10). Кроме того, судя по разности | yn (x) yn 1 (x) |, этот метод дает

наиболее быструю сходимость последовательности пробных решений. В тоже время, из анализа невязки полученных решений следует, что наиболее эффективным является метод Ритца при отыскании пробного решения в виде

(А9).

Так же следует отметить неэффективность использования при решении данной краевой задачи пробных решений вида (А11).

178

Заключение

Вданном пособии представлено достаточно полное изложение алгоритмов методов взвешенных невязок [1] численного решения линейной краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка, линейных начально-краевых задач для одномерных уравнений параболического

игиперболического типов, первой краевой задачи для двухмерного эллиптического уравнения.

Результаты решения указанных задач математической физики подтверждают общие выводы о возможностях таких методов, представленные в монографии [1]. А именно то, что эти методы, во-первых, приводят к достаточной точности получаемых решений и, во-вторых, позволяют достигать приемлемой точности при небольшом (не более пяти) числе пробных и поверочных функций, взятых из младших элементов полной системы функций.

Впособии не обсуждаются вопросы, связанные с проблемой сходимости последовательности пробных решений к искомому точному решению задачи. Не обсуждаются также трудности и пути их преодоления, которые возникают, например, когда получение решения методом Галеркина с необходимой точностью требует сохранения большего числа пробных функций в пробном решении. С обсуждением этих проблем можно ознакомиться в монографии [1].

Библиографический список

1.Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина / К. Флетчер.

–М. : Мир, 1988. – 352 с.

2.Калиткин, Н. И. Численные методы / Н. И. Калиткин. – М. : Наука, 1978.

–512 с.

3.Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. – М. : Наука, 1970.

–720 с.

4.Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М. : Наука, 1972. – 735 с.

5.Вельмисов, П. А. Уравнения математической физики: учебное пособие / П. А. Вельмисов, Т. Б. Распутько. – Ульяновск : УлГТУ, 2001. – 68 с.

6.Анкилов, А. В. Решение линейных задач математической физики на основе методов взвешенных невязок : учебное пособие / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, А. С. Семёнов. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 158 с.

179