Ankilov

4.4.Порядок выполнения лабораторной работы

1.Повторить разделы 1.2, 3.2, изучить разделы 4.1–4.5 данной работы и подготовить ответы на контрольные вопросы из раздела 4.7.

2.Пройти собеседование с преподавателем; получить номер варианта работы, значение параметра n и указания по выбору пробных и поверочных функций.

3.Выполнить первый пункт задания, связанный с построением ряда Фурье для точного решения задачи U (x,t) и нахождением длины отрезка этого ряда,

обеспечивающую точность решения 0,001.

4. Выполнить подготовительный шаг алгоритма метода Галеркина и, если u0 (x) не является точным решением задачи, подготовить все числовые и

строчные данные для расчетов и в пункте «Постановка задачи» программы Hyperb.mcd ввести их вместо данных примера, введенных изначально.

5.В пункте «Получение точного решения» программы ввести число, намного превышающее найденное в 3-м пункте число слагаемых в разложении точного решения в тригонометрический ряд Фурье (чтобы гарантировать достаточную точность решения и в дальнейшем считать его точным). Скопировать график получившегося точного решения U (x,T ) в файл отчета.

6.В пункте «Получение приближенного решения» рассмотрено применение трех систем пробных и поверочных функций. По заданию преподавателя ввести (вместо уже введенных для примера) системы пробных V1(k, x) и поверочных W (k, x) функций, указанных во 2-м пункте (см. раздел

4.5). Выполнить построение n-го пробного решения задачи. Следует скопировать в файл отчета вектор коэффициентов vk (T ) (элементы вектора

Y100,k программы) пробных решений и набрать в отчете решение с этими

коэффициентами. Так же необходимо скопировать в этот файл пункт «Выводы».

7.Оформить и распечатать файл отчета по лабораторной работе, который должен содержать титульный лист, математическую постановку задачи и ее физическую интерпретацию, результаты выполнения подготовительных расчетов, основные результаты расчетов на ЭВМ, выводы о возможностях использованных систем пробных и поверочных функций и наиболее приближенное к точному аналитическое решение.

8.Защитить отчет.

4.5.Программа в системе MathCAD и тестирующий пример

Вданном пункте приведен текст программы Hyperb.mcd, разработанной для решения начально-краевой задачи для одномерного гиперболического уравнения методом Галеркина. В тексте разбирается получение пробного

111

с1 1, с2 1, с3 2 , с4 1, t T 1.

Использовать три системы пробных и поверочных функций:

1.Пробные и поверочные функции – многочлены (2.28);

2.Пробные функции – многочлены (2.28), поверочные функции – многочлены Лежандра (2.31);

3.Пробные и поверочные функции – тригонометрические функции sin(2k 1)x .

Лабораторная работа «Решение начально-краевой задачи для одномерного

гиперболического уравнения методом Галеркина»

Задание на лабораторную работу

1. В пункте «Постановка задачи» ввести вместо данных примера непрерывные функции уравнения K1(x) (K>0), K2(x), (x), (x), g(x), f(x), (x) и

числовые параметры задачи a, b, a0, a1, a2, b0, b1, b2, c1, c2, c3, c4 своего варианта.

2. В пункте «Получение точного решения» программы ввести число слагаемых в разложении решения в ряд, намного превышающее найденное аналитически число, обеспечивающее точность решения 0.001. Скопировать график полученной интегральной кривой в файл отчета.

3. В пункте «Получение приближенного решения» выполнить построение n-го пробного решения задачи тремя системами пробных и поверочных функций. Скопировать в файл отчета вектор коэффициентов Y100,k пробного

решения и набрать в отчете решение с этими коэффициентами при t=T.

4. Скопировать результаты пункта «Выводы» в файл отчета, и, анализируя их, сделать в файле отчета выводы о точности построенных решений.

112

Постановка задачи

Требуется в области D={(x, t) | a x b t 0} найти решение U(x, t) дифференциального уравнения

Рассмотрим случай, когда функции , K1, K2, , g, a2, b2 не зависят от t.

Введите непрерывные функции уравнения (x), K1(x) (K1>0), K2(x), (x), g(x), f(x), (x) и числовые параметры задачи a, b, a0, a1, a2, b0, b1, b2, c1, c2, c3, c4

113

Если хотя бы одно условие не выполняется (="No"), то задача поставлена не корректно.

Введите конечный момент времени, до которого необходимо провести исследование вашего варианта

T 1

Получение точного решения

Найдем точное решение U(x, t), используя разложение функции в ряд Фурье. Если (x) 0, (x) 0, g(x) 0, K2(x) 0, K1(x) c1 const , то решение

имеет вид

M

U(x, t)=U0(x)+ Ak cos k b a c1 t Bk sin k b a c1 t sin k b a x k 1

Введите число слагаемых, обеспечивающих достаточно большую точность решения (для примера M=14 обеспечивает точность 0,001, поэтому возьмем число, превышающее данное, например, M=30)

M 30

Если a1=0, b1=0, то функцию U0(x) можно взять в виде

114

График точного решения при t=T

Скопируйте график полученной интегральной кривой в файл отчета.

Получение приближенного решения

n

Введите порядок пробного решения U n =V(0,x)+ V (k, x)H (k,t) .

k 1

n 5

1. Введите систему пробных функций: k 1 n

V0(k x) (x a)k (x b)

Нормируем их. Для этого вычислим нормировочные коэффициенты

Получили нормированные пробные функции k 0 n

Введите функции V1(k,x) и V2(k,x), равные первой и второй производной от функции V(k,x)

k 0 n

Введите систему поверочных функций:

W (k x) V (k x)

115

116

119

Замените старое значение меры точности 41 наибольшим значением R2(x) на отрезке [a,b]

41 1.864 10 12 n

x

Замените старое значение меры точности 51 наибольшим значением R3(x) на отрезке [a,b]

51 0

2.Введите систему пробных и поверочных функций (для примера в качестве пробных функций возьмем функции пункта 1, а поверочными функциями возьмем многочлены Лежандра):