Вопрос 1.

Функция - переменная величина у называется функцией переменной величины х(аргумент или независимая переменная), если каждому допустимому значению х соответствует определенное и единственной значение у: у= f(х). совокупность допустимых значений аргумента х называется областью определения функции. Способы представлений функций:

1. аналитический – в виде уравнения или формулы: у = f(х) При аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения. Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью ее определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл.. Например, функция спроса задана уравнением: Q=30 - 8P;

2. Графиком функции называется множество точек плоскости, абсциссами которых служат значение аргумента х, а ординатами – соответствующие им значения функции у. Графический способ задания функции используют тогда, когда функцию трудно или невозможно задать аналитически. График функции дает наглядное представление о свойствах функции. Задать функцию графически - это значит построить ее график

3. При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции. Таблицы могут составляться также по значениям х и у, полученным из опыта или наблюдения.   Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.

Непрерывные функции. Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Функция у= f(х). называется непрерывной при данном значении х=х₀, если бесконечно малому приращению ∆х аргумента х соответствует бесконечно малое приращение функции ∆у, т.е. выполняется условие

Вопрос 2

Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значении. Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения. Одни и те же величины в условиях одного вопроса могут быть постоянными, а в другом переменными.Например Температура T кипения воды в большинстве физических вопросов — величина постоянная T=100°C. Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, T величина переменная.Различие постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике. В элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Последнее сохраняется и в высшей математике, но не играет там основной роли. Переменные величины как правило обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y, z. А постоянные — первыми a, b, c.Бесконечно малые и бесконечно большие величины.Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин играет важную роль в математическом анализе. Многие задачи просто и легко решаются используя понятия бесконечно больших и малых величин.Бесконечно малые. Переменная  называется бесконечно малой, если для любого  существует такое значение  , что каждое следующии за ним значение  будет по абсолютной величине меньше  .Если  - бесконечно малая то говорят, что  стремится к нулю, и пишут:  .Бесконечно большие.Переменная x называется бесконечно большой, если для всякого положительного числа cсуществует такое значение  , что каждое следующее за ним x будет по абсолютной величине больше  . Пишут: Величина, обратная к бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, и обратно. 

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ₁>0, что при |x – a|<δ₁ имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ₂>0, что при |x – a|<δ₂ имеем | β(x)|< ε/2.

Возьмем δ=min{ δ₁, δ₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε, т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то