Математический анализ УМК
.pdf17. Найти полный дифференциал
|
|
|
|
z = |
x + 2y |
|
||
|
|
|
|
2 x − y . |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Варианты ответов: |
|
|
|
|
||||
1) |
dz = |
(2x − y − 2 (x + y ))− |
(2 (2x − y )+ x + 2 y ) |
|||||
|
|
(2x − y )2 |
|
|
(2x − y )2 |
|||
2) |
dz = |
(2x − y − 2 (x + y ))dx |
− |
(2(2x − y )+ x + 2 y )dy |
||||
|
|
(2x − y )2 |
|
|
(2x − y )2 |
|||
3) |
∂z = |
(2x − y − 2 (x + y ))dx |
− |
(2 (2x − y )+ x + 2 y )dy |
||||
|
|
(2x − y )2 |
|
|
(2x − y )2 |
|||
4) |
dz = |
dx |
− (2(2x − y )+ x + 2 y )dy |
|||||
(2x − y )2 |
||||||||
|
|
(2x − y )2 |
||||||
18. Найти полный дифференциал
z = |
|
xy |
|
x 2 |
+ y 2 |
||
|
Варианты ответов:
1) |
dz = ( |
( |
x |
2 + y2 |
) |
− |
|
|
2 |
|
) |
dx |
+ |
(( |
x2 |
+ y2 |
) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
) |
dy |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2x2 y |
|
|
|
|
|
|
|
−2 y |
2 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
dz = ( |
|
|
( |
(x2 + y2 ) |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
|
( |
(x2 + y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||||||||
2) |
y |
x2 + y2 |
|
) |
|
|
|
2 |
2 y |
dx |
+ |
x |
x2 + y2 |
) |
− |
|
|
2 |
|
|
dy |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−2x |
|
|
|
|
|
|
|
2 y2 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
dz = ( |
|
|
( |
|
(x2 + y2 ) |
|
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
( |
|
|
(x2 + y2 ) |
|
|
) |
|
|
|
||||||||||||||||||
3) |
y |
|
x2 + y2 |
) |
|
2 |
|
|
dx |
+ |
x |
x |
2 + y2 |
) |
|
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
dy |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 yx |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
dz = ( |
|
|
( |
(x2 + y2 ) |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
( |
|
|
|
(x2 + y2 ) |
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) |
y |
x2 + y2 |
) |
|
2 |
|
dx |
+ |
x |
x2 + y2 |
) |
|
|
|
2 |
|
|
dy |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− xy |
|
|
|
|
|
− yx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
50
19. Найти полный дифференциал
|
|
|
z = |
x + y |
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
||
dz = |
((x − y)−(x + y))dx |
+ |
((x − y)+ (x + y))dy |
|
|||
1) |
(x − y)2 |
|
|
(x − y)2 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
||
dz = |
(x − y)dx |
+ ((x − y)+(x + y))dy |
|
||||
2) |
(x − y)2 |
(x − y)2 |
|
||||
|
|
|
. |
|
|||
dz = |
((x − y)−(x + y))dx |
+ |
((x − y)+ (x + y))dy |
|
|||
3) |
(x − y) |
|
|
(x − y) |
. |
||
|
|
|
|
|
|
||
dz = |
((x − y)−(x + y))dx |
+ |
(2x + y)dy |
|
|||
(x − y )2 |
(x − y)2 . |
|
|||||
4) |
|
|
|||||
20.Установите соответствие межу неопределенным интегралом и разложением на элементарные дроби
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
A |
|
+ |
|
|
|
B |
|
|
|
|
5) |
A |
|
+ |
B |
|
|
|
|||
x +1 |
|
x + |
2 . |
|
|
(x +1)2 |
x + 2 |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + B |
|
Cx + D |
|||||||||
(x +1)2 + x + 2 |
|
6) |
+ |
|||||||||||||||||||
. |
(x +1) |
2 |
(x +2) |
2 |
|
|||||||||||||||||
3) |
Ax + B |
|
|
+ |
|
C |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(x +1)2 |
|
|
x + 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ax + B |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(x + 2)2 |
|
x +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
21.Найти неопределенный интеграл функции
∫x e −x dx
Варианты ответов:
1)xe−x −e−x +С .
2)−xex + ex +С .
3)xex −ex +С.
4)xe−x + e−x +С .
5)−xe−x − e−x +С .
22.Найти неопределенный интеграл функции
∫sin 2 x dx
Варианты ответов:
1)−x / 2 − sin 2 x / 4 + C .
2)x / 2 − sin 2 x / 4 + C .
3)x / 2 + sin 2 x / 4 + C .
4)sin2 x / 2 + C .
5)−x / 2 + sin 2 x / 4 + C .
23.Найти стационарную точку функции
y = 2x2 − x − 4
Варианты ответов:
1)x = –4.
2)x = 0,5.
3)x = 0,25.
4)x = 1.
5)x = 2.
6)x = –2.
52
24. Найти точку перегиба графика функции
|
y = x3 − 6x2 − 2x |
||||
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
1) x = –4. |
|
|
|
4) x = –2. |
|
2) x = 1. |
|
|
|
5) x = –8/3. |
|
3) x = 2. |
|
|
|
6) x = 4. |
25. |
Найти вертикальные асимптоты графика функции |
||||
|
y = |
9x |
|
||
|
9 − x2 |
||||
|
|
|
|||
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
1) x =1; x = −3. |
|
|
4) x = 2; x = −2 . |
|
|
2) x = 3; x = −3 . |
|
|
5) x = 3; x = −1. |
|
|
3) x = 3; x = 2 . |
|
|
6) x = 3; x = −2 . |
|
26. |
Найти наклонные асимптоты графика функции |
||||
|
y = |
x2 |
− 2x +3 |
|
|
|
|
x + 2 |
|||
|
|
|
|||
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
1) y = x + 5 . |
|
|
4) y = 3x + 4 . |
|
|
2) y = x − 4 . |
|
|
5) y = 2x −6 |
|
|
3) y = 3x − 4 . |
|
|
6) y = x / 2 −3. |
|
27. Найти определенный интеграл
|
|
π∫/2 sin xdx |
|
|
|
0 |
|
Варианты ответов: |
|
|
|
1) |
2; |
3) |
0; |
2) |
1; |
4) |
0,5. |
53
28. Определить площадь фигуры ограниченной графиками функций
|
y = x, |
y = x 2 |
|
Варианты ответов: |
|
|
|
1) |
1; |
5) |
2/3; |
2) |
1/6; |
6) |
0,5; |
3) |
2; |
7) |
1/12. |
4) |
1/3; |
|
|
29. Определить сходимость числовых рядов
1. 12 + 52 + 83 +... + 3nn−1 +...
2. ∑∞ nn
n=1 2
∑∞ n2
3. n=13n
4. ∑∞ 1 n=1n!
Варианты ответов:
1)Ряд сходится.
2)Ряд расходится.
30.Определить интервалы сходимости функционального ряда
∑∞ (−x)n ;
n=1 3n−1 n
Варианты ответов:
1)−3 < x ≤ 3
2)−3 < x < 3
3)−3 ≤ x ≤ 3
4)−3 ≤ x < 3
11. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
При подготовке к очередному лекционному занятию необходимо:
1.Разобрать материал, излагавшийся на предыдущем лекционном занятии, при этом выделить наиболее важную часть изложенного материала (основные определения и формулы).
2.Выделить основные соотношения формулы и определения.
3.Сформулировать (подготовить) вопросы, возникшие при разборе материала предыдущей лекции.
4.Сравнить лекционный материал с аналогичным материалом, изложенным в литературе, попытаться самостоятельно найти ответ на возникшие при подготовке вопросы.
5.Используя литературу, ознакомиться с материалом, изложение которого планируется на предстоящей лекции.
6.Определить наиболее трудную для вашего понимания часть материала и попытаться сформулировать основные вопросы по этой части.
При подготовке к семинарским занятиям необходимо:
1.Понять смысл основных формул и определений, содержащиеся в лекционном материале.
2.Уточнить область применимости основных формул и определений.
3.Приложить максимум усилий для самостоятельного выполнения домашнего задания.
4.Сформулировать вопросы, возникшие при выполнении домашнего задания.
5.Подобрать интересные на ваш взгляд примеры и задачи (ситуации) для рассмотрения их на предстоящем семинарском занятии.
6.Выполнить домашнее задание, используя методы, отличные от тех, которые были изложены преподавателем на лекциях (семинарах). Сравнить полученные результаты.
55
При выполнении контрольных заданий следует:
1.Получить четкий ответ на все вопросы, содержащиеся в контрольном задании.
2.Максимально четко изложить способ выполнения контрольного задания.
3.Оформить задание в соответствии с предъявленными требованиями.
4.Выполнить проверку полученных результатов.
56