Математический анализ УМК
.pdf9. ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ И ЭКЗАМЕНУ
Вопросы к зачету
1.Определение функции. Способы задания функций.
2.Классификация элементарных функций.
3.Последовательности. Определение, способы задания, действия с последовательностями.
4.Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы.
5.Непрерывность функции в точке и на интервале.
6.Разрывы функций. Классификация разрывов.
7.Производная функции. Геометрический, физический и экономический смысл производной.
8.Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
9.Производная сложной и обратной функции. Понятие о логарифмической производной.
10.Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
11.Производные и дифференциалы высших порядков.
12.Производные основных элементарных функций.
13.Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.
14.Теорема Коши.
15.Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
16.Правила исследования функций.
17.Предельный анализ в экономике.
18.Экстремум функции. Локальный и глобальный экстремум.
19.Возрастание и убывание функции. Монотонность функции.
20.Выпуклые и вогнутые функции.
21.Необходимыеусловияэкстремума. Критическиеистационарныеточки.
22.Достаточные условия экстремума.
40
23.Точки перегиба. Достаточные условия перегиба.
24.Наклонные и вертикальные асимптоты.
25.Схема исследования функции.
26.Приложения производной для решения экономических задач.
27.Понятие функции нескольких переменных.
28.Понятие линии уровня.
29.Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.
30.Необходимые и достаточные условия экстремума.
31.Производная по направлению.
32.Градиент.
33.Функция полезности. Кривые безразличия.
34.Экстремум функции нескольких переменных.
35.Необходимые и достаточные условия экстремума.
36.Матрица Гессе.
37.Условный экстремум.
38.Множители и функция Лагранжа. Метод множителей Лагранжа.
39.Функции нескольких переменных в задачах экономики и управления.
40.Функция эластичности.
41.Функции нескольких переменных. Определение. Способы задания.
42.Определение линий уровня и поверхностей уровня.
43.Частные производные и частные дифференциалы.
44.Полный дифференциал ФНП.
45.Градиент ФНП
46.Производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.
47.Понятие экстремума ФНП.
48.Условный экстремум ФНП.
41
Вопросы к экзамену
1.Понятие первообразной, основные свойства.
2.Интегрирование способом подстановки.
3.Метод интегрирования по частям (с выводом).
4.Основные табличные интегралы.
5.Разложение действительного многочлена на множители.
6.Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
7.Интегрирование рациональных функций.
8.Интегрирование простейших иррациональностей.
9.Понятие определенного интеграла.
10.Основные свойства определенного интеграла.
11.Связь определенного интеграла с первообразной.
12.Формула Ньютона-Лейбница.
13.Замена переменной в определенном интеграле.
14.Вычисление определенного интеграла по частям.
15.Вычисление площади плоской фигуры.
16.Вычисление объема тела вращения.
17.Вычисление длины дуги плоской кривой.
18.Вычисление площади поверхности тела вращения.
19.Понятие определенного интеграла.
20.Основные свойства определенного интеграла.
21.Связь определенного интеграла с первообразной.
22.Формула Ньютона-Лейбница.
23.Замена переменной в определенном интеграле.
24.Вычисление определенного интеграла по частям.
25.Вычисление несобственных интегралов.
26.Вычислениеплощадиплоскойфигуры, длиндуг, объемовтелвращения.
27.Понятие кратного интеграла.
28.Двойной интеграл и его вычисление через повторный.
42
29.Матрица Якоби. Замена переменных в двойном интеграле.
30.Тройной интеграл и его вычисление через повторный.
31.Замена переменных в тройном интеграле.
32.Приложения кратных интегралов в экономике.
33.Определение числового ряда.
34.Свойства числовых рядов. Сходимость числового ряда.
35.Примеры числовых рядов. Гармонический ряд. Ряд Дирихле.
36.Сравнение рядов с неотрицательными членами.
37.Признак Даламбера
38.Критерий Коши (радикальный и интегральный).
39.Знакопеременный и знакочередующийся ряд.
40.Признак Лейбница.
41.Определение функциональных рядов
42.Степенные ряды.
43.Признаки сходимости степенных рядов.
44.Радиус (интервал) сходимости.
45.Ряд Тейлора.
46.Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
47.Тригонометрические ряды.
48.Ряд Фурье.
43
10.ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1.Найти предел функции
lim sin nx x→0 cos mx
Варианты ответов:
1)n/m;
2)2;
3)0;
4)∞ ;
5)4.
2.Найти предел функции
lim x2 + 2x − x
x→∞
Варианты ответов:
1) |
n/m; |
2) |
1; |
3) |
0; |
4) |
∞ ; |
5) |
4. |
3. Найти предел функции
lim |
x115 |
+532x4 + x |
|
ex |
+13x2 −7 |
||
x→∞ |
Варианты ответов:
1)n/m;
2)2;
3)0;
4)∞ ;
5)4.
44
4.Найти производную функции
y = arcsin3 x
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
y' = |
3arcsin2 x |
3) |
y ' = − |
3arcsin2 |
x |
|||
1−x2 |
|
1− x2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
y' = |
3arcsin2 x |
4) |
y' = |
2arcsin2 |
x |
|
||
1−x4 |
|
1 |
− x2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.Найти производную функции
y = arctg 
x 3 .
Варианты ответов:
1) |
y ' = |
1,5 |
x |
|
|
|
|
1+ x3 |
|
2) |
y ' = |
1,5 |
x |
|
|
x3 |
|||
|
|
1 + |
||
3) |
y' = |
1,5 x3 |
||
|
|
1+x3 |
||
4) |
y ' =−1,5 |
x |
||
|
|
|
1+ x3 |
|
6. Найти производную функции
y = sin 2 x 3 + x cos3 4x
Варианты ответов:
1)y ' = 6x2 sin x3 −12x cos2 4x
2)y ' = 6 x2 sin x3 + cos3 4 x −12 x cos2 4 x
3)y ' = 6 x2 sin x3 + cos3 4 x − 3x cos2 4 x
4)y ' = 2x2 sin x3 + cos3 4x −12 x cos2 4x
45
7.Найти производную функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
sin 2 x + 3cos3 5x |
||||||||
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) |
y ' = |
1 / 2 |
( |
2sin x − 45cos2 5xsin 5x |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
sin |
2 |
x |
+3cos |
3 |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
y ' = |
1 / 2 |
( |
2sin x cos x − 45cos2 5xsin 5x |
) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
sin |
2 |
x +3cos |
3 |
5x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3) |
y ' = |
1 / 2 |
( |
2sin x cos x −9 cos2 5x sin 5x |
) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
sin |
2 |
|
x +3cos |
3 |
5x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) |
y ' = |
1 / 2 |
( |
2sin x cos x +9 cos2 5x sin 5x |
) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
sin |
2 |
|
x +3cos |
3 |
5x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8.Найти вторую производную функции
y = ln (x2 +5);
Варианты ответов:
1) |
y '' = ( |
x |
2 + 5 |
) |
− 2 x2 |
3) |
y '' = |
2 |
( |
x2 + 5 |
) |
− 4 x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(x2 + |
5) |
|
|
|
(x2 + 5) |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) |
y '' = |
2 |
( |
x2 + 5 |
) |
+ 4 x2 |
4) |
y '' = |
2 x |
( |
x2 + |
5 |
) |
− 4 x2 |
|||||||
|
|
(x2 + 5) |
2 |
|
|
|
(x2 + 5) |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9.Найти вторую производную функции
y =1 / (x2 +5);
Варианты ответов:
|
|
2 |
( |
x2 + 5 |
) |
− 4x |
|
|
|
|
−2 |
( |
x2 |
+ 5 |
+ 4x |
|||||
1) |
y '' = |
|
|
|
|
3) |
y '' = |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|||||
|
|
(x2 + 5) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 5) |
||||||||
|
|
2 |
( |
x2 + 5 |
) |
+ 4x |
|
|
|
|
2 |
( |
x2 + |
5 |
− 4 |
|||||
2) |
y '' = |
|
|
|
|
|
4) |
y '' = |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||
|
|
(x2 + 5) |
3 |
|
|
|
(x2 + 5) |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
46
10. Найти вторую производную функции
y = x2 + ln (x2 + 5);
Варианты ответов:
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
x2 |
+ |
5 |
) |
− 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
x2 |
|
+ |
5 |
|
+ 4 x |
|
|||||||||||||||||||||
|
1) |
y '' = |
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
y '' = |
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
(x2 + 5) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 5) |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
x2 |
+ |
5 |
) |
− 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
x2 |
|
+ |
5 |
|
+ x2 |
|
|||||||||||||||||
|
2) |
y '' = |
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
y '' = |
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(x2 + 5) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 5) |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11. |
Найти вторую производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ln (x2 +5x); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1) |
y '' = |
2(x2 + 5x)−(2x |
+ 5) |
|
; |
|
3) |
|
y '' = |
( |
x2 |
+5x |
) |
|
− |
|
(2x +5)2 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
+ |
5x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 +5x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
y '' = |
2(x2 +5x)−(2x +5)2 |
|
|
|
|
|
( |
x2 |
+ 5x |
) |
− (2 x + 5) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
4) |
|
y '' = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 +5x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 5x ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12. |
Найти частные производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
∂z |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
z = ln sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
∂z |
= − |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1) |
∂x |
sin(x / y)x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
∂x |
|
sin(x / y)x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂z |
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂y |
|
|
sin(x / y)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
sin(x / y)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
∂z |
= |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
2) |
∂x |
|
sin(x / y)x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
∂x |
|
sin(x / y)x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂z |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= − |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∂y |
|
sin(x / y)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
sin(x / y)x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
13. Найти частные производные
z = sin xy cos xy
Варианты ответов:
|
∂z |
= |
cos2 ( y / x) y |
+ |
sin2 |
(y / x)y |
||||||
1) |
∂x |
|
x2 |
|
|
x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂z |
= |
cos2 ( y / x) |
− |
|
sin2 (y / x) |
|
|||||
|
∂y |
|
x |
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂z |
= |
cos2 ( y / x) y |
+ |
sin2 |
(y / x)y |
||||||
2) |
∂x |
|
x2 |
|
|
x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂z |
= − |
cos2 |
( y / x) |
− |
sin2 |
(y / x) |
|
||||
|
∂y |
|
x |
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂z |
= |
cos2 |
( y / x) |
+ |
|
sin2 (y / x)y |
||||||||
3) |
∂x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂z |
= − |
cos2 |
( y / x) |
− |
|
sin2 (y / x) |
|
|||||||
|
∂y |
|
|
x |
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂z |
= − |
cos2 |
( y / x) y |
+ |
sin2 |
(y / x)y |
||||||||
4) |
∂x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂z |
= cos2 ( y / x) |
− |
sin2 (y / x) |
|
||||||||||
|
∂y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
14. Найти частные производные
z = ln (cos (x 2 + y 2 ))
Варианты ответов:
∂z 2xsin (x2 + y2 )
1)∂x = − cos(x2 + y2 )
∂z = −2 y sin (x2 + y2 )
∂y cos(x2 + y2 )
∂z = 2xsin (x2 + y2 )
2)∂x cos(x2 + y2 )
∂z = 2 ysin (x2 + y2 )
∂y cos(x2 + y2 )
∂z
3)∂x ∂z ∂y
∂z
4)∂x ∂z ∂y
2xsin (x2 + y2 )
= − cos(x2 + y2 )
2 y sin (x2 + y2 )
= − cos(x2 + y2 )
sin (x2 + y2 )
= −cos(x2 + y2 )
sin (x2 + y2 )
= −cos(x2 + y2 )
15. Найти частные производные
z = ln (sin (x y )) |
. |
|
Варианты ответов:
|
∂z |
= |
cos(x |
y ) |
|
|
1) |
∂x |
|
sin(x |
y ) |
|
|
∂z |
= |
cos(x y )x |
|
|||
|
∂y |
2sin(x |
y ) |
y |
||
|
|
|||||
|
∂z |
= |
cos(x |
y ) |
|
|
2) |
∂x |
|
sin(x |
y ) |
|
|
∂z |
= |
cos(x y ) |
|
|||
|
∂y |
2sin(x |
y ) |
y |
||
|
|
|||||
|
∂z |
= |
cos(x |
y ) |
y |
||
3) |
∂x |
|
sin(x |
y ) |
|
|
|
∂z |
= |
cos(x |
y )x |
||||
|
∂y |
2sin(x |
y ) |
y |
|||
|
|
||||||
|
∂z |
= |
cos(x |
y ) |
y |
||
4) |
∂x |
|
sin(x |
y ) |
|
|
|
∂z |
= |
cos(x |
y )x |
|
|||
|
∂y |
sin(x |
y ) |
y |
|||
|
|
||||||
16. Найти полный дифференциал
z = |
|
x |
|
+ y 2 |
|
1 |
||
Варианты ответов:
1) |
dz = |
1 |
|
|
− |
|
|
2xy |
|
|
|
|
1 + y |
2 |
|
( |
+ y |
2 |
) |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
dz = |
dx |
|
|
− |
|
2xydy |
|
|
|
||
1 + y2 |
|
(1 + y2 ) |
|
|
||||||||
3) |
dz = |
dx |
|
|
+ |
|
2xydy |
|
||||
1 + y |
2 |
|
( |
+ y |
2 |
) |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
dz = |
dx |
|
|
− |
|
2xydy |
|
||||
1 + y |
2 |
|
( |
+ y |
2 |
) |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
49