Математический анализ УМК
.pdf7.Непрерывность функции в точке.
8.Непрерывность функции в интервале.
9.Разрывы функций. Классификация разрывов.
Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Производная постоянной, суммы, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функции. Логарифмическая производная. Экономический смысл производной. Эластичность. Производные элементарных функций. Дифференцируемость функций и дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Геометрический и физический смысл дифференциала, его связь с производной. Примеры непрерывных, но недифференцируемых функций. Дифференциал сложной функции, суммы функций, произведения и частного функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница (производная и дифференциал п-го порядка для произведения двух функций). Производная функции, заданной параметрически и неявно. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Теоремы Лопиталя о раскрытии неопределенностей. Формула Тейлора. Представление функций exp x, sin x, cos x, ln (x+1). Предельный анализ в экономике. Эластичность функции.
Основные термины
Производная функции, правила дифференцирования, производные элементарных функций (табличные производные), производная сложной функции, дифференциал функции, производная и дифференциал высшего порядка.
Контрольные вопросы
1.Производная функции. Геометрический, физический и экономический смысл производной.
2.Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
3.Производная сложной и обратной функции.
10
4.Дифференциал функции, связь дифференциала и приращения функции.
5.Производные и дифференциалы высших порядков.
6.Производные основных элементарных функций.
7.Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.
8.Теорема Коши.
9.Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
10.Предельный анализ в экономике.
Тема 4. Исследование функций с помощью производной
Локальный экстремум функции. Необходимые условия экстремума. Критические точки. Условия возрастания и убывания функций. Достаточные условия существования экстремума. Выпуклость функции. Достаточные условия строгой выпуклости. Точки перегиба. Достаточные условия перегиба. Наклонные и вертикальные асимптоты. Схема исследования функций. Приложение производной в экономической теории: предельные показатели в микроэкономике, максимизация прибыли, оптимизация налогообложений, закон убывающей доходности. Применение математических пакетов для исследования функций.
Основные термины
Экстремум функции, возрастание и убывание функции, стационарные и критические точки, выпуклые и вогнутые функции, точки перегиба, асимптоты.
Контрольные вопросы
1.Экстремум функции. Локальный и глобальный экстремум.
2.Возрастание и убывание функции. Монотонность функции.
3.Выпуклые и вогнутые функции.
4.Необходимые условия экстремума. Критические и стационарные точки.
5.Достаточные условия экстремума.
6.Точки перегиба. Достаточные условия перегиба
11
7.Наклонные и вертикальные асимптоты.
8.Схема исследования функции.
9.Приложения производной для решения экономических задач.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Тема 5. Функции нескольких переменных
Определение функции нескольких переменных, график, множество уровня функции. Окрестность точки в евклидовом пространстве. Внутренняя, граничная и предельная точки множества. Открытые, линейно-связные, выпуклые, замкнутые и ограниченные множества. Последовательность в евклидовом пространстве, ее предел. Предел функции нескольких переменных в точке. Виды пределов. Аналоги теорем о действиях над пределами. Непрерывность функции нескольких переменных в точке. Равномерная непрерывность. Ограниченность и равномерная непрерывность на компакте. Существование наибольшего и наименьшего значения, а также промежуточного значения для непрерывной функции. Частные производные, их геометрический смысл. Теорема об изменении порядка. Полное приращение, дифференцируемость, дифференциал функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент. Свойства функции двух переменных: непрерывность дифференцируемых функций, связь дифференциала с частными производными, необходимые условия дифференцируемости функции. Дифференцирование сложной и неявной функций. Формула Тейлора для функции двух переменных. Понятие векторной функции. Практические приложения теории функций нескольких переменных: функции полезности, кривые безразличия.
Основные термины
Функции нескольких переменных, пределы функции нескольких переменных, линии уровня, частные производные, полный дифференциал, градиент.
Контрольные вопросы
1. Понятие функции нескольких переменных.
12
2.Понятие линии уровня.
3.Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных.
4.Необходимые и достаточные условия экстремума.
5.Производная по направлению.
6.Градиент.
7.Функция полезности. Кривые безразличия.
Тема 6. Экстремумы функции нескольких переменных
Локальный экстремум. Необходимые условия. Теорема Вейерштрасса. Выпуклое множество. Выпуклые функции. Достаточные условия существования экстремума функции «п» переменных и двух переменных. Уравнение связи. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод Лагранжа для нахождения условного экстремума. Функции нескольких переменных в задачах экономики и управления: прибыль от производства товаров разных видов, задача ценовой дискриминации, оптимальное распределение ресурсов, оптимальный план, максимизация функции прибыли, оптимизация спроса.
Основные термины
Локальный экстремум, выпуклые и вогнутые множества, выпуклые и вогнутые функции, условный экстремум, функция Лагранжа.
Контрольные вопросы
1.Экстремум функции нескольких переменных.
2.Необходимые и достаточные условия экстремума.
3.Матрица Гессе.
4.Условный экстремум.
5.Множители и функция Лагранжа. Метод множителей Лагранжа.
6.Функции нескольких переменных в задачах экономики и управления.
7.Функция эластичности.
13
Раздел 3. Интегральное исчисление функций
Тема 7. Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных первообразных. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям. Интегрирование заменой переменных и подстановкой. Алгебраические рациональные функции и элементарные рациональные дроби. Интегрирование иррациональных выражений. Интегралы от дифференциального бинома. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование трансцендентных функций. Первообразные, не выражающиеся через элементарные функции (вероятностный интеграл, интегральный логарифм и интегральный синус).
Основные термины
Первообразная функции, неопределенный интеграл, интегрирование заменой переменной, интегрирование по частям.
Контрольные вопросы
1.Понятие первообразной, основные свойства.
2.Интегрирование способом подстановки.
3.Метод интегрирования по частям.
4.Интегрирование заменой переменных.
5.Основные табличные интегралы.
6.Интегрирование рациональных функций. Простейшие дроби.
7.Интегрирование тригонометрических функций.
8.Интегрирование иррациональных выражений.
Тема 8. Определенный интеграл функции одной переменной
Разбиение отрезка. Интегральная сумма Римана. Интегрируемость функции по Риману и определенный интеграл (Римана). Необходимые условия интегрируемости функции на отрезке. Суммы Дарбу. Необходимые и
14
достаточные условия интегрируемости функции на отрезке. Свойства определенного интеграла. Интегральная теорема о среднем. Определенный интеграл с переменными пределами, его непрерывность и дифференцируемость. Основная теорема интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница). Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменных. Интеграл, зависящий от параметра. Дифференцирование (правило Лейбница) и интегрирование по параметру. Понятие несобственного интеграла. Несобственный интеграл от неотрицательной функции. Признаки сходимости несобственного интеграла. Абсолютно сходящийся интеграл. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей криволинейных трапеций, длины кривой, площади поверхности и объема тел вращения. Приложения к решению задач экономики и управления.
Основные термины
Интегральная сумма, определенный интеграл, несобственный интеграл, интегрирование по параметру, формула Ньютона-Лейбница, методы вычисления определенных и несобственных интегралов.
Контрольные вопросы
1.Понятие определенного интеграла.
2.Основные свойства определенного интеграла.
3.Связь определенного интеграла с первообразной.
4.Формула Ньютона-Лейбница.
5.Замена переменной в определенном интеграле.
6.Вычисление определенного интеграла по частям.
7.Вычисление несобственных интегралов.
8.Вычисление площади плоской фигуры, длин дуг, объемов тел вращения.
Тема 9. Кратные интегралы. Основные понятия
Понятие меры множества и измеримого множества в «п»- мерном пространстве. Разбиение измеримых множеств. Интегральные суммы. Интегри-
15
руемая по Риману на множестве функция, определение кратного интеграла. Необходимые и достаточные условия интегрируемости ограниченной на измеримом множестве функции. Интеграл, зависящий от параметра. Двойной интеграл и его вычисление через повторный. Матрица Якоби. Замена переменных в двойном интеграле. Тройной интеграл и его свойства. Приложения кратных интегралов в экономике и управлении.
Основные термины
Кратные и повторные интегралы, двойной интеграл, тройной интеграл.
Контрольные вопросы
1.Понятие кратного интеграла.
2.Двойной интеграл и его вычисление через повторный.
3.Матрица Якоби. Замена переменных в двойном интеграле.
4.Тройной интеграл и его вычисление через повторный.
5.Замена переменных в тройном интеграле.
6.Приложения кратных интегралов в экономике.
Раздел 4. Ряды
Тема 10. Числовые ряды
Числовой ряд. Частные суммы. Сумма ряда. Сходимость ряда. Необходимые условия сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда (необходимые и достаточные условия). Ограниченность ряда. Свойства ограниченных рядов. Абсолютная сходимость ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда. Критерий абсолютной сходимости (Коши). Признаки сходимости рядов (сравнения, локальный и интегральный Коши, Даламбера, Раабе). Признак Лейбница для знакопеременных рядов.
Основные термины
Числовой ряд, сходимость ряда, признаки сходимости числового ряда, знакопеременный ряд, абсолютная и относительная сходимость.
16
Контрольные вопросы
1.Числовой ряд.
2.Свойства числовых рядов. Сходимость числового ряда.
3.Примеры числовых рядов. Гармонический ряд. Ряд Дирихле.
4.Сравнение рядов с неотрицательными членами.
5.Признак Даламбера.
6.Критерий Коши (радикальный и интегральный).
7.Знакопеременный и знакочередующийся ряд.
8.Признак Лейбница.
9.Условная и абсолютная сходимость числовых рядов.
10.Признаки абсолютной сходимости числовых рядов.
Тема 11. Функциональные ряды
Функциональная последовательность. Ограниченность и сходимость. Предел последовательности. Функциональный ряд. Частичные суммы, остаток ряда. Сходимость и абсолютная сходимость функционального ряда на интервале. Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса о равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус (интервал) сходимости степенного ряда, его нахождение, ряд Тейлора. Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов. Тригонометрические ряды. Ряд Фурье.
Основные термины
Функциональная последовательность, функциональный ряд, сходимость и абсолютная сходимость функционального ряда, степенной ряд, радиус (интервал) сходимости степенного ряда, ряд Тейлора, тригонометрические ряды, ряд Фурье.
Контрольные вопросы
1. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда.
17
2.Сходимость и абсолютная сходимость функционального ряда на интервале.
3.Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий равномерной сходимости.
4.Признак Вейерштрасса
5.Степенной ряд.
6.Радиус (интервал) сходимости степенного ряда.
7.Ряд Тейлора.
8.Тригонометрические ряды. Ряд Фурье.
18
6. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература
1.Кириллов А.Л. Введение в анализ элементарных функций. – СПб.: Изд-во СЗАГС, 2008.
2.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009.
3.Чесноков Е.А. Основы математического анализа. – СПб.: СЗАГС, 2010.
4.Шипачев В.С. Высшая математика: базовый курс: учеб. пособие. – М.:
Юрайт, 2011.
5.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 2009.
Дополнительная литература
1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. – СПб.: Профессия, 2002.
2.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Креме-
ра. – М.: ЮНИТИ, 2010.
3.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: учебник. – М.: Дело и Сервис, 2009.
4.Кириллов А.Л., Клоков В.И., Полянская С.В. Практикум по математике. – СПб.: Изд-во СЗАГС, 2009.
5.Клоков В.И. Инвестиции. – СПб.: Изд-во СЗАГС, 2009.
6.Колемаев В.А. Математическая экономика: учебник. – М.: ЮНИТИ-
ДАНА, 2005.
7.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов: учеб. пособие. – СПб.: Питер, 2008.
8.Математика. Математический анализ для экономистов: учебник / под ред. А.А. Гриба и А.Ф. Тарасюка. – М.: Филинъ, 2002.
19