Тангенс угла наклона касательной прямой

Функция f_l называется касательной к f в точке x₀. Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклонакасательной прямой.

Скорость изменения функции

Вообще производная функции y = f(x) в точке x₀ выражает скорость изменения функции в точке x₀, то есть скорость протеканияпроцесса, описанного зависимостью y = f(x).

27. Дифференци́руемая фу́нкция — это функция, имеющая дифференциал. Дифференцируемая функция может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так и в естественных науках, широко использующих математический аппарат (на данном отрезке).

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргументаприводят к малымизменениямзначения отображения. График непрерывной функции может быть начерчен «не отрывая карандаш от бумаги».

Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необходимо доказать озвученый факт или привести пример, который опровергает этот факт.

Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей:

Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

данный предел равен 1, если и равен (-1), если, получаем, что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.

28

• . C' = 0

• x' = 1

• ^[2]

• ^[3]

• 

•  …(g ≠ 0)

•  (g ≠ 0)

• Если функция задана параметрически:

, то 

• 

• Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

 где —биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

• если функция дифференцируема на интервале (a,b), то она непрерывна на интервале (a,b). Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y(x) = | x | на [ − 1,1]);

• если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x, то f'(x) = 0 (это так называемая лемма Ферма);

• производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.

• 

Функция

Производная

31. Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Обычно дифференциал функции f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать df шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

• Матрица линейного оператора равнаматрице Якоби; её элементами являются частные производные f.

  • Отметим, частные производные могут быть определены в точке, где дифференциал не определён.

• Дифференциал функции f связан с её градиентом следущим определяющим соотношением

• Дифференциал функции f связан с производной по направлению следущим определяющим соотношением

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол  с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg . Из прямоугольного треугольника MKN

KN = MNtg xtg  = f'(x) x,

то есть dy = KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение  x.

Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.

1. d c = 0;

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x)  v(x)) = d u(x)  d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v²(x).

dy = f'(u)du.

(5)

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.