1.2. Исследование систем управления на основе сетевых графиков

Сетевой график – графическое изображение определенного комплекса выполняемых работ, отражающее их логическую последовательность, существующую взаимосвязь и планируемую продолжительность и обеспечивающее последующую оптимизацию разработанного графика на основе экономико-математических методов и компьютерной техники с целью его использования для текущего управления ходом работ.

Основными элементами сетевого графика являются «работа», «событие», «путь».

Работа – это любой производственный процесс или иное действие, приводящее к достижению определенных результатов событий. Работа обозначается стрелкой (вектором) без масштаба, указывающей направление слева направо от меньшего номера события к большему, и кодируется номерами этих событий. Работы могут быть трех видов:

1) действительная, то есть производственный процесс, требующий затрат труда, времени и ресурсов;

2) ожидание-работа, не требующая затрат труда и ресурсов, но занимающая время, необходимое для того, чтобы действительную работу можно будет считать завершенной, то есть можно будет приступать к выполнению последующей работы;

3) зависимость, или фиктивная работа, означающая логическую (технологическую) связь между двумя или несколькими событиями и указывающая, что возможность начала одной работы зависит от окончания другой. Фиктивная работа не требует ни затрат труда, ни времени, ни ресурсов, она обозначается в сетевом графике пунктирными стрелками.

Событие – означает факт окончания одной или нескольких работ, необходимых и достаточных для начала последующих. События бывают начальными и исходными, конечными или завершающими, простыми или сложными, а также промежуточными, предшествующими или последующими.

Применяют три способа изображения событий и работ на сетевых графиках: вершины-работы, вершины-события и смешанные сети. В сетях типа «вершины-работы» все процессы или действия представлены в виде следующих один за другим прямоугольников, связанных логическими зависимостями (рис. 1.1, 1.2).

Во всех сетевых графиках важным показателем служит путь, определяющий последовательность работ или событий. При этом конечный процесс, или результат, одной стадии совпадает с начальным показателем следующей за ней другой фазы.

А, Б и т.д. работы

Рисунок 1.1 Сеть типа «вершины-работы»

0,1 И т.Д. События

Рисунок 1.2 Сеть типа «вершины-события»

В любом графике принято различать несколько путей:

- полный путь от исходного до завершающего события; путь, предшествующий данному событию от начального;

- путь, следующий за данным событием до завершающего;

- путь между несколькими событиями;

- критический путь от исходного до конечного события, равный максимальной продолжительности выполнении работы.

Сетевые модели весьма разнообразны как по организационной структуре производственной системы, так и по назначению сетевых графиков. По организационной структуре различают внутриорганизационные, или отраслевые, модели сетевого планирования, по назначению – единичного и постоянного действия. Сетевые модели бывают детерминированными, вероятностными и смешанными. В детерминированных сетевых графиках все работы стратегического проекта, их продолжительность и взаимосвязь, а также требования к ожидаемым результатам являются заранее определенными. В вероятностных моделях многие процессы носят случайный характер. В смешанных сетях одна часть работ является определенной, а другая – неопределенной. Модели могут быть также одноцелевым и многоцелевыми.

Важнейшими этапами сетевого планирования являются следующие:

1. Расчленение комплекса работ на отдельные части и их закрепление за ответственными исполнителями.

2. Выявление и описание каждым исполнителем всех событий и работ, необходимых для достижения поставленной цели.

3. Построение первичных сетевых графиков и уточнение содержания планируемых работ.

4. Сшивание частных сетей и построение сводного сетевого графика выполнения комплекса работ.

5. Обоснование или уточнение времени выполнения каждой работы в сетевом графике.

Расчленение комплекса планируемых работ производится руководителем проекта. В ходе сетевого планирования применяются два способа распределения выполняемых работ: горизонтальным разделением функций между исполнителями и вертикальным построением схемы уровней руководства проектом. В первом случае простая система или объект подразделяются на отдельные процессы , части или элементы, для чего может быть построен укрупненный сетевой график. Затем каждый процесс делится на операции, приемы и другие расчетные действия. На каждую составляющую комплекса работ создается собственный сетевой график. Во втором случае сложный проектируемый объект делится на отдельные части построением иерархической структуры уровней управления проектом.

Первичные сетевые графики, строящиеся на уровне ответственных исполнителей, должны быть детализированными до такой степени расчленения, чтобы в них можно было отразить как Сю совокупность выполняемых работ, так и все существующие взаимосвязи между отдельными работами и событиями. В начале необходимо выявить, какими событиями будет характеризоваться порученный ответственному исполнителю данный комплекс работ. Все события и работы, входящие в заданный комплекс, рекомендуется перечислить в порядке их выполнения.

При построении сетевых графиков типа «вершины-события» необходимо соблюдать следующие правила:

- ни одна из работ не должна иметь одинакового кода с другой;

- в сетевом графике не должно быть тупиков, то есть событий, из которых не выходит ни одной работы, если эти события не являются завершающими для данного сетевого графика и хвостов, то есть событий, в которые не входит ни одна работа, если эти события не являются исходными для данного сетевого графика;

- в сетевом графике не должно быть начальных событий более одного, так как это свидетельствует о невозможности его существования;

- в сетевом графике не должно быть замкнутых контуров (циклов), то есть цепочки работ, возвращающейся к тому событию, из которого она вышла. Наличие такого цикла в сети свидетельствует об ошибке в исходных данных или о неправильном изображении взаимосвязи работ;

- в сетевой модели не допускается изображение связи между смежными событиями двумя или большим количеством работ.

После составления и проверки первичных сетевых графиков, разрабатываемых каждым исполнителем для своего комплекса работ, производится сшивание частных сетей и их объединение в сводную модель.

Построенный с использованием приведенных правил сводный сетевой график будет обеспечивать достижение поставленных перед исполнителями целей.

Завершающим этапом сетевого планирования является определение продолжительности выполнения отдельных работ или совокупных процессов. В детерминированных моделях длительность работ считается неизменной. В реальных условиях времени выполнения разнообразных работ зависит от большого числа внутренних и внешних факторов и поэтому считается случайной величиной. Для установления длительности любых работ необходимо в первую очередь пользоваться соответствующими нормативами или нормами трудовых затрат. А при отсутствии исходных нормативных данных продолжительность всех процессов и работ может быть установлена различными методами, в том числе и с применением экспертных оценок.

Для определения продолжительности работ, содержащихся в сетевых моделях, могут быть использованы следующие методы:

- по действующим нормам, с помощью которых можно достаточно строго обосновать длительность трудовых, технологических и производственных процессов;

- по достигнутой производительности труда, позволяющей установить продолжительность ранее выполнявшихся работ на различных типах технологического оборудования;

- по экспертным оценкам, которые обычно применяются для определения продолжительности впервые проектируемых работ.

В процессе сетевого планирования экспертные оценки длительности предстоящих работ обычно устанавливаются ответственными исполнителями. По каждой работе дается несколько оценок времени: минимальная, максимальная и наиболее вероятная. Если определять продолжительность работ только по одной оценке времени, то она может оказаться далекой от реальности и привести к нарушению всего хода работ по сетевому графику. Оценки продолжительности работ выражается в человеко-часах, человеко-днях или других единицах времени. Полученная наиболее вероятная оценка времени не может быть принята в качестве нормативного показателя ожидаемого времени выполнения каждой работы, так как в большинстве случаев она является субъективной и во многом зависит от опыта ответственного исполнителя работ. Поэтому для определения ожидаемого времени выполнения каждой работы экспертные оценки подвергаются статистической обработке. При допущении, что вероятность продолжительности любой работы соответствует закону нормального распределения, ожидаемое время (Т_ож) ее выполнения можно рассчитать по следующей формуле:

(17)

Продолжительность ожидаемого времени при допустимой ошибке, не превышающей 1%, может быть рассчитана и по двум оценкам:

(18)

Рассчитанные средние значения продолжительности ожидаемого времени выполнения работ отражается на сетевом графике. На их основе производится расчет других параметров сетевого графика, в том числе планируемые стоимостные и временные показатели выполнения отдельных процессов, и всего комплекса работ. Каждая предусмотренная в сетевом графике работа требует на свое осуществление определенных затрат рабочего времени, материальных, трудовых, финансовых и других производственных ресурсов. Планирование потребности различных ресурсов в сетевых моделях сводится в основном к разработке календарного плана поставки ресурсов. Всякий календарный план, соответствующий условиям сетевой модели и ресурсным ограничениям, является допустимым. Наилучший по выбранному критерию сравнения допустимый план можно считать оптимальным. В зависимости от выбранного критерия оптимальности и имеющихся ограничений ресурсов задачу их рационального распределения можно свести к минимизации отклонения от заданных сетевой моделью сроков выполнения проектных работ при соблюдении существующих ограничений по использованию производственных ресурсов.

Следовательно, к основным планируемым параметрам в сетевых моделях относятся следующие показатели: продолжительность выполнения работ, критический путь, резервы времени свершения событий.

Для каждого i-го события устанавливается:

1) ранний срок наступления i-го события – Тni (как наиболее ранний из возможных сроков наступления события в рамках заданной продолжительности работ). Расчет ранних сроков выполнения событий ведется от исходного до завершающего таким образом:

(19)

где: t_0-I – максимальное время выполнения всех работ, ведущих к данному событию;

2) поздний срок наступления события – Трi (наиболее поздний из возможных сроков наступления события, не срывающих сроки выполнения последующих работ). Поздний срок свершения событий определяется разностью между продолжительностью критического пути и максимальной длительностью следующего за данным (i-м) событием пути к завершающему:

(20)

где: L_кр –продолжительность критического пути;

t_0-I – максимальное время выполнения всех работ, ведущих к данному событию;

Ранний срок (Тn) равен продолжительности максимального из предшествующих данному событию путей, а поздний срок (Tp) составляет разность между продолжительностью критического пути и длительностью максимального из последующих за данным событием путей до завершающего.

Кроме того, для каждой работы определяются раннее и позднее время окончания работы и резервы времени.

Резерв времени выполнения события – это такой промежуток времени, на который может быть отсрочено свершение этого события без нарушения планируемых сетевых графиком сроков окончания проектных работ. Резерв времени свершения каждого события определяется разностью между поздним и ранним сроками выполнения этого события:

(21)

где: T_ni– ранний срок наступления i-го события;

T_pi – поздний срок свершения события.

Разница между длиной критического пути и любого другого пути называется полным резервом времени:

(22)

Полный резерв пути показывает, на сколько в сумме может быть увеличена продолжительность всех работ, принадлежащих данному пути.

Важным плановым свойством полного резерва времени является тот факт, что его можно использовать частично или полностью для увеличения длительности выполнения какой-либо работы. При этом, естественно, уменьшается резерв времени всех остальных работ, лежащих на этом пути, поскольку полный резерв времени принадлежит всем работам, находящимся на данном пути.

Выполненные расчеты основных параметров сетевых графиков должны быть использованы при анализе и оптимизации сетевых стратегических планов. Комплексная оптимизация сетевых моделей состоит в нахождении наилучших соотношений показателей затрат ресурсов и сроков выполнения планируемых работ применительно к определенным производственным условиям и ограничениям. В рыночных отношениях в качестве критерия оптимальности сетевых систем планирования могут быть выбраны показатели максимальной прибыли (дохода) от производства товаров, работ и услуг, минимального расхода ресурсов на реализацию планов, максимальной производительности труда исполнителей, минимальных затрат рабочего времени на достижение конечной цели и т.д.

Рассмотрим оптимизацию сетевых графиков по критерию минимизации затрат времени на выполнение отдельных процессов и всего комплекса работ. Общий срок свершения всех работ в сетевой модели следует сокращать в первую очередь за счет уменьшения критического пути. Этот прием основан на анализе временных показателей графика и не требует больших затрат материальных и финансовых ресурсов. Анализ сети проводится с целью выравнивания продолжительности наиболее напряженных путей. В общем виде коэффициент напряженности любого полного пути определяется отношением его длительности (Li) к критическому пути (Lкр):

(23)

Целью оптимизации по критерию «Время – затраты» является сокращение времени выполнения проекта в целом. Эта оптимизация имеет смысл только в том случае, когда время выполнения работ может быть уменьшено за счет задействования дополнительных ресурсов, что приводит к повышению затрат на выполнение работ (рисунок 1.3). Для оценки величины дополнительных затрат, связанных с ускорением выполнения той или иной работы, используются либо нормативы, либо данные о выполнении аналогичных работ в прошлом. Под параметрами работ ипонимаются так называемые прямые затраты, непосредственно связанные с выполнением конкретной работы. Таким образом, косвенные затраты типа административно-управленческих в процессе сокращения длительности проекта во внимание не принимаются, однако их влияние учитывается при выборе окончательного календарного плана проекта.

Рисунок 1.3. Зависимость прямых затрат на работу от времени ее выполнения

Важными параметрами работы (i,j) при проведении данного вида оптимизации являются:

• коэффициент нарастания затрат

,

который показывает затраты денежных средств, необходимых для сокращения длительности работы (i,j) на один день;

• запас времени для сокращения длительности работы в текущий момент времени ,

где t_T(i,j) – длительность работы (i,j) на текущий момент времени, максимально возможное значение запаса времени работы равно

.

Эта ситуация имеет место, когда длительность работы (i,j) еще ни разу не сокращали, т.е. .

Рассмотрим общую схему проведения оптимизации сетевой модели по критерию «время-затраты»:

1. Исходя из нормальных длительностей работ , определяются критическиеL_kp и подкритические L_п пути сетевой модели и их длительности T_kp и T_п.

2. Определяется сумма прямых затрат на выполнение всего проекта при нормальной продолжительности работ.

3. Рассматривается возможность сокращения продолжительности проекта, для чего анализируются параметры критических работ проекта.

3.1. Для сокращения выбирается критическая работа с минимальным коэффициентом нарастания затрат k(i,j), имеющая ненулевой запас времени сокращения Z_T(i,j).

3.2. Время , на которое необходимо сжать длительность работы (i,j), определяется по следующей формуле:

,

(24)

где – разность между длительностью критического и подкритического путей в сетевой модели.

Необходимость учета параметра ∆T вызвана нецелесообразностью сокращения критического пути более, чем на ∆T единиц времени. В этом случае критический путь перестанет быть таковым, а подкритический путь наоборот станет критическим, т.е. длительность проекта в целом принципиально не может быть сокращена больше, чем на ∆T.

4. В результате сжатия критической работы временные параметры сетевой модели изменяются, что может привести к появлению других критических и подкритических путей. Вследствие удорожания ускоренной работы общая стоимость проекта увеличивается на следующую величину:

.

(25)

5. Для измененной сетевой модели определяются новые критические и подкритические пути и их длительности, после чего необходимо продолжить оптимизацию с шага 3. При наличии ограничения в денежных средствах, их исчерпание является причиной окончания оптимизации. Если не учитывать подобное ограничение, то оптимизацию можно продолжать до тех пор, пока у работ, которые могли бы быть выбраны для сокращения, не будет исчерпан запас времени сокращения.

Рассмотренная общая схема оптимизации предполагает наличие одного критического пути в сетевой модели. В случае существования нескольких критических путей необходимо либо сокращать общую для них всех работу, либо одновременно сокращать несколько различных работ, принадлежащих различным критическим путям. Возможна комбинация этих двух вариантов. В каждом случае критерием выбора работы или работ для сокращения должен служить минимум затрат на их общее сокращение.

Пример 1.2. Проведем максимально возможное уменьшение сроков выполнения проекта при минимально возможных дополнительных затратах для следующих исходных данных (табл.1.6, рис. 1.4).

Таблица 1.6

Исходные данные для оптимизации «время-затраты»

(i,j)	Нормальный режим		Ускоренный режим
	Tн(i,j)	Сн(i,j)	Tу(i,j)	Сп(i,j)
(1,2)	5	5	3	19
(1,4)	6	6	4	12
(2,3)	3	8	1	15
(2,4)	7	10	3	18
(3,5)	6	6	1	9
(4,5)	4	9	1	12
Ск=1,50 руб./день			С0=73,00 руб.

Рисунок 1.4. Исходная сетевая модель

Исходя из нормальных длительностей работ, получаем следующие характеристики сетевой модели:

• Общие затраты на проект руб.

• Длительность проекта дней.

• Критический путь или.

• Подкритический путь или,дней.

Кроме того, вычислим коэффициенты нарастания затрат и максимальные запасы времени сокращения работ сетевой модели (табл. 1.7).

Таблица 1.7

Коэффициенты нарастания затрат работ сети

(i,j)	Zmax(i,j) [дни]	k(i,j) [руб./день]
(1,2)	2	7,00
(1,4)	2	3,00
(2,3)	2	3,50
(2,4)	4	2,00
(3,5)	5	0,60
(4,5)	3	1,00

I шаг. Для сокращения выбираем критическую работу (4,5) с минимальным коэффициентом k(4,5)=1,00 руб./день. Текущий запас сокращения времени работы (4,5) на данном шаге равен дня. Разность между продолжительностью критического и подкритического путейдня. Поэтому согласно пункту 3.2 описанной выше общей схеме оптимизации сокращаем работу (4,5) на ∆t¹=min[3,2]=2 дня. Новая текущая длительность работы дня, а запас ее дальнейшего сокращения сокращается додня. Измененный сетевой график представлен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5. Сетевая модель после первого шага оптимизации

После ускорения работы (4,5) возникли следующие изменения.

• Затраты на работу возросли на 1,00руб./день*2дня=2,00 руб. и общие затраты на проект составили руб.

• Длительность проекта дней.

• Критические пути и.

• Подкритический путь ,дней.

II шаг. Одновременное сокращение двух критических путей можно провести либо ускорив работу (1,2), принадлежащую обоим путям, либо одновременно ускорив различные работы из каждого пути. Наиболее дешевым вариантом является ускорение работ (3,5) и (4,5) – 1,60 руб./день за обе работы, тогда как ускорение работы (1,2) обошлось бы в 7 руб./день. Поскольку , то сокращаем работы (3,5) и (4,5) на ∆t²=min[5,1,6]=1 день. Запасы дальнейшего сокращения времени работ сокращаются до идней. Измененный сетевой график представлен на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6. Сетевая модель после второго шага оптимизации

После ускорения работ (3,5) и (4,5) возникли следующие изменения.

• Общие затраты на проект составили руб.

• Длительность проекта дней.

• Два критических пути и.

• Подкритический путь ,дней.

III шаг. Поскольку на данном шаге работа (4,5) исчерпала свой запас ускорения, то наиболее дешевым вариантом сокращения обоих критических путей является ускорение работ (3,5) и (2,4) - 2,60 руб./день за обе работы. Сокращаем работы (3,5) и (2,4) на ∆t³=min[4,4,6]=4 дня. Запасы дальнейшего сокращения времени работ (3,5) и (2,4) обнуляются. Измененный сетевой график представлен на рисунке 1.7.

Рисунок 1.7. Сетевая модель после третьего шага оптимизации

После ускорения работ (3,5) и (2,4) возникли следующие изменения.

• Общие затраты на проект составили руб.

• Длительность проекта дней.

• Два критических пути и.

• Подкритический путь ,дней.

IV шаг. Поскольку кроме работы (1,2) все остальные работы критического пути исчерпали свой запас времени ускорения, то единственно возможным вариантом сокращения обоих критических путей является ускорение работы (1,2). Сокращаем работу (1,2) надня. Запас дальнейшего сокращения времени работы (1,2) обнуляется. Измененный сетевой график представлен на рисунке 1.8.

Рисунок 1.8. Сетевая модель после четвертого шага оптимизации

После ускорения работы (1,2) возникли следующие изменения.

• Общие затраты на проект составили руб.

• Длительность проекта дней.

• Три критических пути ,и.

• Подкритические пути отсутствуют.

Дальнейшая оптимизация стала невозможной, поскольку все работы критического пути исчерпали свой запас времени ускорения, а значит проект не может быть выполнен меньше, чем задней.

Таким образом, при отсутствии ограничений на затраты минимально возможная длительность проекта составляет 7 дней. Сокращение длительности проекта с 16 до 7 дней потребовало 28,00 рублей прямых затрат. В отличие от прямых затрат при уменьшении продолжительности проекта косвенные затраты (С_к=1,50 руб./день) убывают, что показано на графике (см. рисунок 1.9). Минимум общих затрат (точка А) соответствует продолжительности проекта 14 дней.

Если же учитывать ограничение по средствам, выделенным на выполнение проекта, С₀=73,00 рубля, то оптимальным является выполнение проекта за 9 дней (точка B).

Рисунок 1.9. График «время-затраты»