Bulashenko_C4

нює:

e j cos

j sin ,

(2.47)

ничну

довжину

та

складає

з

віссю дійсних

чисел кут

(рис. 2.12). Проекція e j

на вісь дійсних чисел -

cos

, а на вісь

уявних чисел -

sin

;

j

1 - уявна одиниця.

Якщо

замість

числа

e j

+j

вісь уявних

розглянути

число

Im

e j

,

то

чисел

відповідно до формули Ейлера

вісь дійсних

Im e j

Im

cos

jIm

sin

, і на

sin

чисел

комплексній площині воно зо-

бражується вектором, що має до-

+1

вжину Im і також складає з віссю

cos

дійсних чисел кут

Рисунок 2.12

Кут

може

бути

будь-яким.

Припустимо,

що

t

, тоді

Im

e j

t

Im cos

t

jIm

sin

t

,

(2.48)

де Im

cos t

– дійсна частина, Im sin

t

– коефіці-

єнт при уявній одиниці j.

Таким чином,

синусоїдний струм i

Im

sin

t

мож-

Im e j

t

Im

e j

e j

t повністю визначає синусоїдну функ-

цію i

Im

sin

t

,

а комплексне число I m Im e j назива-

Дана схема, що зображена на рис.2.13, i1 10 sin t 60 ,

i 2

5 sin

t 30 . Знайти струм i.

За першим законом Кірхгофа для миттєвих значень стру-

му i

i1

i2 .

+j

5ej30

R1

i1

L

+j

i

5ej30+1

R1

i1

i2

L

R2

С

i

11e-j33

10e-j60

+1

R2

i2

С

-j33

11e

10e-j60

унок 2.13

Рисунок2.13

2.8 Дії з комплексними числами

Рисунок 2.13

Існують чотири форми запису комплексних чисел:

показова -

I m

5 e j 30 ;

полярна -

I m

5

30 ;

алгебраїчна -

I m

4,33

j

2,5 , де 4,33 - дійсна частина,

j2,5 - уявна частина;

тригонометрична -

I m

5 cos30 j 5

sin30 , як перехід

від

полярної

форми

( I m

5 30 )

до алгебраїчної

( I m

4,33 j 2,5 ).

Дії над комплексними числами:

42

U m I m Z 5 30 15

40 75

10 , B .

U m

75

10

I m

5 30

, A ;

Z

15

40

I m1

10

60

10 cos

60

j

10 sin 60

5 j 8,66 ,

I m2

5

30

10

cos30

j10 sin

30

4,33 j

2,5 ,

I m

I m1

I m2

5

j 8,66

4,33

j 2,5

9,33

j 6,16 .

2,55

I m 4,33 j 2,55

4,332

2,552

arctg

5 30 ,

4,33

I m

4,33 j

2,55

2,55

30 .

4,332

2,552

arctg

5

4,33

I m

4,33

j 2,55

2,55

180

5 150 .

4,332 2,552

arctg

4,33

I m

4,33

j 2,55

180

arctg

2,55

150 .

4,332

2,552

5

4,33

Відомо,

що

1

j ; множення вектора на уявне число j

j

прикладена синусоїдна напруга

u

U m sin

t , і в якому про-

ходить синусоїдний струм

i

Im sin t

. Інтегрально-

- u uR uL uC

i R L

di

1

uC dt .

(2.49)

dt

C

R

XL (L)

XC (С)

U m

R I m

j

L

I m

j

1

I m

U mR

U mL

U mC

(2.50)

C

Одержаний вираз є другий законом Кірхгофа в комплекс-

ній формі.

Застосуємо позначення:

1

X L

L ,

X C

, X

X L

XC ,

Z

R2

X 2 .

(2.51)

C

Відповідно індуктивним, ємнісний, реактивний опори, мо-

дуль повного опора.

Тоді рівняння (2.50) набуває вигляду:

U m

I m

R

j

L

1

C

(2.52)

I m

R j X L

XC

I m Z

,

де Z

R

j

X L

X C

Z

- комплекс повного опора

(2.53)

кола,

arctg

X L

X C

- кут зсуву фаз між струмом і напргою.

(2.54)

R

U m

I m

Z - закон Ома в комплексній формі.

(2.55)

Розглянемо коло (рис.2.10), до якого прикладена синусої-

дна напруга u U m

sin

t

, і на вході якого проходить си-

нусоїдний

струм

i

Im

sin

t .

Перший закон

Кірхгофа для

i i

i

i u G

1

u dt C

du

,

(2.56)

R

L

C

L

dt

де i

1

u dt ,

i

C

du

.

L

L

C

dt

I m

U m

G

U m

U m

I mR

I mL

I mC .

j L

j

1

(2.57)

C

n

m

U k

E k ;

k 1

k 1

Y

I

1

1

Y

e j

G

j

B ,

(2.58)

U

Z

Z e j

де G - активна

провідність; B

BL

BC

-

реактивна прові-

дність.

Знайдемо G і B, якщо відомі R,

X=XL-XC :

Y G j

B

1

R

j

X

.

Z

R

j

X

R

j X

(2.59)

R

j X

R

X

j

R2

X 2

R2

X 2

R2

X 2

Тобто

G

R

R

,

(2.60)

R2

X 2

Z 2

B

X

X

.

(2.61)

R2

X 2

Z 2

Z R j

X

1

G

j B

Y

G j

B

G

j B

(2.62)

G

j B

G

B

j

.

G2

B2

G2

B2

G2

B2

Тобто

R

G

G

,

(2.63)

G2

B2

Y 2

X

B

B

.

(2.64)

G2

B2

Y 2

Припустимо, напруга на ділянці кола - U

U e j

u , а струм

- I

I e j i .

Кут зсуву фаз між напругою і струмом

u

i . То-

ді комплексом повної потужності визначається:

~

S U I U e j u I e

j i

U I e j

=

(2.65)

P j Q U I cos

U

I sin

,

де I

I e j i - спряжене комплексне значення струму I .

Вимір потужності робиться ватметром ,наприклад, елект-

Знак «*» ставлять на кінцях одной-

a

менних

затискачів.

Ватметр, показаний

I

*

на рис.2.15, вимірює:

* W

~

^

Re S

Re U aв I

Uaв I cos U ав I .

в

У будь-якому колі повинен виконуватися баланс як актив-

них, так і пасивних потужностей, тобто сума всіх потужностей,

що віддаються джерелом повинна дорівнюватись сумі всіх по-

тужностей, що беруться споживачами:

n

m

n

m

PДЖ

PСПОЖ ;

QДЖ

QСПОЖ .

k 1

k 1

k 1

k

1

2.13 Векторні й топографічні діаграми

Векторні діаграми - діаграми, що зображують сукупність

векторів синусоїдних величин, що розглядаються, на комплекс-

ній площині з дотриманням їх взаємної орієнтації.

Топографічна діаграма - сукупність точок на комплексній

площині, які зображують комплексні потенціали однойменних

точок на електричній схемі. Якщо потенціали точок зображува-

ти не точками, а векторами, то отримуємо векторно-

топографічну діаграму.

Хвильова

(часова) діаг-

1

R

С

L

рама – крива миттєвих зна-

чень струмів, напруг тощо.

u

uR

2

3

u

Розглянемо побудову вектор-

uC

L

но-топографічної

діаграми на

4

i

прикладі схеми рис. 2.16.

Рисунок 2.16

на ємності відстає від струму за фазою на 90 .

На рис.2.17 наведено прик-

3 +j

Im

лад побудови діаграми у випадку

1

активно-ємнісного характеру ко-

ла (струм I m випереджає напру-

гу U m U m14 на вході кола).

U

2

Рисунок 2.17

До затискачів 11/ активного

1

Iн

двополюсника підключене нава-

нтаження

- рис.2.18.

Нехай

Z o Ro

j X o

є вхідний опір

А

Zн

активного двополюсника з боку

затискачів 11/, а

Z

н

R

j X

н

н

- опір навантаження.

/

1

Рисунок 2.18

За теоремою про активний двополюсник струм наванта-

ження:

I

U 11/

U

11/

.

(2.66)

н

Z н

Z o

Rн

Rо j X

н X

о

Активна потужність навантаження визначається за форму-

лою

Pн

Iн2 Rн .

(2.67)

49

Підставимо (2.66) в (2.67) і отримаємо:

U

/

U

2 /

R

Pн

11 хх

11 хх

н

.

(2.68)

Z н

Z o

R

R

j

X

X

2

н

о

н

о

Зрозуміло,

що якщо

X н

X 0

при будь-якому значенні

Rн струм Iн

max .

Тому

U

2

/

R

11 хх

н

Pн

.

(2.69)

R

R

2

н

о

Візьмемо від рівняння (2.69) похідну по Rн і прирівняємо

її до нуля:

dP

U

2 /

Rн

Rо

2

2 Rн

Rн Rо

н

11 хх

dRн

Rн

4

Rо

I m

(2.70)

cos

t

Im

cos

0 t

L

Im cos

0 t .

0

0

C

C

Тобто активна потужність

P

є максимальною,

коли

Z н

Z н і умовами передачі максимальної активної потужності