FAKS_TM_CURS_WORK

Кришталь В.Ф. ДИНАМИКА. ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДВОМА СТЕПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ

Критерії оцінювання.

А) Якість пояснювальної записки. Ваговий бал – 50. Критерії оцінювання:

-своєчасне якісне виконання пояснювальної записки, але є недоліки в оформленні – 45…50;

-пояснення викладені недостатньо повно – 35…44;

-є помилки в пояснювальній записці – 35…44;

-є суттєві недоліки в оформленні пояснювальної записки – 25…34;

-записка не оформлена неналежним чином або не оформлена – 0.

Б) Якість захисту роботи. Ваговий бал – 50. Критерії оцінювання:

-повне володіння матеріалом, є несуттєві недоліки – 40…50;

-неповне володіння матеріалом, є помилки при викладанні – 30…39;

-суттєві недоліки в викладенні матеріалу – 20…29.

-матеріал викладено невірно – 0.

Максимальна кількість балів за виконання курсової роботи складає 100.

Необхідною умовою допуску до захисту курсової роботи є стартовий бал

RC 25 балів.

Для отримання студентом відповідних оцінок (ECTS та традиційних) його

рейтингова оцінка RD переводиться згідно з таблицею:

11

Кришталь В.Ф. ДИНАМИКА. ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДВОМА СТЕПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ

Приклад виконання.

Приклад 1. Механічна система складається з трьох тіл (рис.2, а), маси яких

дорівнюють: m1=m, m2=2m, m3=m. Момент М, який прикладено до нерухомого блоку 1 радіусом R1=2r, – сталий. Радіус блока 2 дорівнює r. Блоки вважати однорідними суцільними циліндрами.

Скласти рівняння руху системи в координатах q1 = x i q2 = φ1 при

Р о з в ’ я з а н н я .

Ч а с т и н а 1 . Обєктом дослідженя задачі є механічна система, яка складається з трьох тіл. Положення даної механічної системи у будь-який момент часу визначається двома координатами, тобто вона має два степеня вільності і її рух буде описуватися двома динамічними рівняннями.

Для розв’язання задачі скористаємось методом перерізів і складемо динамічні рівняння руху кожного тіла окремо.

12

Кришталь В.Ф. ДИНАМИКА. ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДВОМА СТЕПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ

Спочатку оберемо нерухомий блок 1. До блока прикладається (рис.2, б)

пара сил з моментом М, сила ваги Р1 m1g , реакція циліндричного шарніра

RO XO YO , сила натягу нитки T12 , яка є внутрішньою силою. Оскільки блок здійснює обертальний рух, на підставі теореми про зміну кінетичного моменту,

загальних теорем динаміки, рівняння руху блока 2 у системі координат O2x2y2z2,

зв’язаній з центром мас блока 2, запишуться так:

13

Кришталь В.Ф. ДИНАМИКА. ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДВОМА СТЕПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ

Динамічне рівняння руху тіла 3, яке здійснює поступальний рух, у проекціїї на вісь координат O3x3 можна подати так:

m3a3 = m3g – T32.

Зазначимо, що рух тіла 3 є складним, який можна подати як сукупність двох поступальних рухів: поступального переносного руху разом з центром тіла

2 та поступального руху у вертикальному напрямі відносно центра тіла 2. Тоді

a3 a3e a3r ,

де a3е = ε1R1, a3r = x . Враховуючи це, динамічне рівняння руху тіла 3 запи– шеться так

скласти рівняння руху у кординатах φ1 та x, виключимо внутрішні сили у рівняннях тих тіл, положення яких визначається вказаними координатами,

тобто тіла 1 та тіла 3. Виключимо спочатку внутрішню реакцію T12 з рівняння руху тіла 1. Для цього виразимо силу T21 з рівняння (3) та підставимо її вираз у рівняння (1):

I1ε1 = M – ( m2a2x + T23 + m2g )R1.

Невідому T23 виключимо користуючись рівнянням (4). Після підстановки виразу для T23

1

T23 = I2ε2 R2 ,

маємо

1

I1ε1 = M – ( m2a2x + I2ε2 R2 + m2g )R1.

У цьому рівнянні потрібно виразити прискорення точок та кутові прискорення тіл через кординати φ1 та x.

14

Кришталь В.Ф. ДИНАМИКА. ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДВОМА СТЕПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ

Після перенесення доданків з прискоренням у ліву частину рівняння,

отримаємо

Для складання другого динамічного рівняння руху системи тіл виключимо невідому силу натягу T32 з рівняння руху тіла 3. Скористаємось рівнянням (4):

Таким чином, рівняння (6) та (7) складають систему рівнянь руху даної механічної системи.

Ч а с т и н а 2 . Складемо рівняння руху, користуючись рівняннями Лагранжа другого роду.

Механічна система, рух якої досліджується, має два степеня вільності,

тому система рівнянь Лагранжа другого роду має вигляд:

де Т – кінетична енергія системи, Π – потенціальна енергія, Qx*,Q* - узагальнені сили, які мають непотенціальний характер.

координат і швидкостей, де Ті – кінетична енергія окремих тіл.

Для блока 1, який обертається навколо нерухомої осі (рис.2,а) маємо:

15

Кришталь В.Ф. ДИНАМИКА. ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДВОМА СТЕПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ

Кінетична енергія цього тіла має вигляд:

16

Кришталь В.Ф. ДИНАМИКА. ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДВОМА СТЕПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ

Знайдемо частинні похідні від кінетичної енергії:

T 12mr2 1 2mrx.

1

Після диференціювання двох останніх виразів за часом отримаємо:

Переміщення s2 центра мас тіла 2 визначається на підставі кінематичного співвідношення (3). Запишемо його у диференціалах та домножимо на dt:

17

Кришталь В.Ф. ДИНАМИКА. ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДВОМА СТЕПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ

ds2=R1dφ1 .

Після інтегрування цього виразу на інтервалі [0;t] отримаємо: s2(t)−s2(0)=R1(φ(t)−φ1(0)).

Звідси, при нульових початкових умовах за координатою φ та s2, дістанемо s2(t)=R1φ1(t).

Тоді потенціальна енергія системи як функція узагальнених координат x та

φ1 приймає вигляд:

узагальнених координат в виразі елементарної роботи непотенціальних сил. До останніх відноситься пара сил з моментом М.

Зафіксуємо координату х і надамо механічній системі елементарне переміщення 1 в бік додатних значень зміни кута повороту 1. Відповідна елементарна робота має вигляд

δА = Мδφ1,

18

Кришталь В.Ф. ДИНАМИКА. ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДВОМА СТЕПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ

4

5

2

Рис.3, а

19

Кришталь В.Ф. ДИНАМИКА. ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ З ДВОМА СТЕПЕНЯМИ ВІЛЬНОСТІ

горизонтальної шорсткої поверхні, коефіцієнт тертя ковзання при русі тіла 1

дорівнює f = 0,1. Блок 4 - східчатий, причому радіуси ступенів дорівнюють r та

0,5r, а його радіус інерції – i. Блоки 3 та 5 мають однакові радіуси що дорівнюють r. До блока 3 прикладена пара сил з моментом M. Скласти диференціальні рівняння руху механічної системи, якщо тіла з’єднані невагомою нерозтяжною ниткою.

Р о з в ’ я з а н н я .

Ч а с т и н а 1 . Обєктом дослідженя задачі є механічна система, яка складається з п’яти тіл. Дана механічна система має два степеня вільності,

тобто у будь-який момент часу її положення визначається двома координатами і її рух буде описуватися двома динамічними рівняннями. В якості координат,

що визначають положення даної системи тіл оберемо переміщення x тіла 1 у

правий бік та поворот тіла 3 на кут φ.

Для розв’язання задачі скористаємось методом перерізів і складемо динамічні рівняння руху кожного тіла окремо.

20