Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_bogdanskyj

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

860.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Ðîçäië 3. Криволiнiйнi та поверхневi iнтеграли .

1. Криволiнiйний iнтеграл 1ãî ðîäó.

Нехай крива в R2 i ~r: [a; b] ! ¨¨ параметризацiя. При цьому вiдображення ~r припуска¹ться неперервно диференцiйовним (або кусково неперервно диференцiйовним) i вза¹мно однозначним.

Вза¹мна однозначнiсть ~r				дозволя¹ побудувати на алгебру пiдмножин
на числовими				[a; b]			. Òóò
A за принципом:		A 2 A1	,		~r(A) 2 A		A1 алгебра, що породже-
	промiжками з					(множини з цi¹¨ алгебри ¹ скiнченними

диз'юнктними об'¹днаннями числових промiжкiв). Тим самим множини B ç алгебри A представляють собою скiнченнi диз'юнктнi об'¹днання кривих, а мiру на l на вимiрному просторi ( ; A ) запровадимо саме як довжину

множини B =

k, тобто суму довжин кривих, що складають множину

k=1

. Адитивнiсть довжини криво¨, що вже обговорювалась

B l(B) =

l( k)

k=1

казати про простiр з мiрою:

(обмiркуйте!).

, дозволя¹

( ; A ; l)

1:7

Ìiðà l запроваджу¹ться внутрiшнiм чином i не залежить вiд параме-

тризацi¨ криво¨ .

Означення 1. Криволiнiйним iнтегралом 1ãî роду назива¹ться iнтеграл

на просторi зi мiрою ( ; A ; l).

У вiдповiдностi до 2:1, ìiðà l iндуку¹ мiру l~r на вимiрному просторi

правилом:

[a; b]; A1

çà

l~r(A) = l ~r(A)

2 A1). При цьому функцiя

в тому й тiльки тому разi, якщо складена

f : ! R iнтегровна f 2 D( )

функцiя f ~r iнтегровна на [a; b] i викону¹ться рiвнiсть:

f dl =

(f ~r) dl~r (див. теорему 2.2):

[a;b]

За формулою (1.16) (теорема 1.19), мiра l~r ма¹ щiльнiсть вiдносно мiри

довжина i при цьому

dl~r

r t

Тому, за теоремою 2.2, приходимо до формули:

Z	Z	f x(t); y(t) q		dt:
	f(x; y) dl =[a;b]	f x(t); y(t) q	x0(t) 2 + y0(t) 2	dt:	(1)

В тому випадку, якщо крива ¹ графiком функцi¨ y = y(x); a 6 x 6 b формула (1) перетворю¹ться в наступну:

f(x; y) dl = f x; y(x) 1 + y0(x) 2 dx:

[a;b]

Зауваження 1. При виведеннi формули (1.16) в роздiлi 1, було додаткове

технiчне припущення:		!0( )		= 0		[	; ]
Нескладно перевiрити	(àëå			6
		r t			в жоднiй точцi вiдрiзка параметра		a b .
			це не ¹ обов'язкова вправа), що для формули
(1.16) та формули (1) це припущення ¹ зайвим.
В разi, якщо крива визначена рiвнянням = ('); '1						6 ' 6 '2 â

полярних координатах, то формула (1) перетворю¹ться в наступну:

				q
f(x; y) dl =		f	(') cos '; (') sin '	q	2	(') +	0	(')	2 d': (2)
	['1;'2]

В разi криво¨ в просторi R3, вiдповiдна формула прийма¹ вид:

f(x; y; z) dl =

x(t); y(t); z(t)

(t)

y0(t)

2 +

z0(t)

2 dt: (3)

[a;b]

Вправа 1. Доведiть формули (2) та (3).

Властивостi криволiнiйного iнтеграла 1го роду це традицiйнi властивостi iнтеграла на просторi з мiрою (згадайте, якi!).

2. Криволiнiйний iнтеграл 2ãî ðîäó.

Нехай крива в R2, параметризована вза¹мно однозначним вiдобра-

женням ~r: [a; b] ! R. При цьому вiдображення ~r припуска¹мо неперервно

диференцiйовним з умовою:

0( )

= 0

~r(t)

[a; b]. Ця умова забезпечу¹

в жоднiй точцi вiдрiзка параметра

вого дотичного вектора

iснування в кожнiй точцi

криво¨

;

ненульо-

0( )

2 [

]

t , що неперервно залежить вiд t

Нормований дотичний вектор до криво¨ в точцi ~r(t) ма¹ два значення:

, але додаткова умова неперервностi нормованого дотично-

( )

ãî

( )

òà

вектора уздовж криво¨ визнача¹ два можливих неперервних векторних

~ ~r(t) =

!0( )

~r(t)

ç öèõ äâîõ

поля (уздовж

!0( )

r t

¹ початком криво¨, а

êiíöåì . Друге векторне поле

çàäà¹

векторних полiв

визнача¹ таку орi¹нтацiю криво¨ , для яко¨

~r(a)

~r(b)

протилежну орi¹нтацiю (~r(b) початок, ~r(a) êiíåöü).

Надалi домовимось, що на кривiй = AB фiксована одна з двох можли-

âèõ îði¹íòàöié (A початок, B кiнець), що визначена полем ~ одинично-

ÿêùî

го дотичного вектора уздовж

вважати, що параметризацiя саме

~r(a) = A

~r(b) = B

~ ~r(t)

!0( ) . Çìiíà îði¹íòàöi¨

0( )

на протилежну це замiна

векторного поля!

íà êðèâié

íà

~(~x)

, òî

~(~x)

r t

òàêà, ùî

;

неперервне (або кусково

Нехай

неперервне) векторне поле на

X( )

(орi¹нтованiй) кривiй . Тодi функцiя (X; ~) (скалярний добуток полiв X

назива¹ться криволiнiйним iнтегралом

ãî роду векторного поля

уздовж

òà ~) ¹ кусково неперервна, а тому iнтегровна на ( ; A ). Iнтеграл

(X; ~) dl

X( )

(орi¹нтовано¨) криво¨ .

Нехай

~r(t) =

координатнi функцi¨

векторного поля X~

( ) . Äëÿ

x(t)~i + y(t)~j, ùî âiäïî-

X(x; y) = P (x; y)i + Q(x; y)j P ( ); Q( )

параметризацi¨

âiäà¹ îði¹íòàöi¨ (t 2

[a; b]; ~r(a) = A; ~r(b) = B вiдповiдно початок та кiнець

0 ~ 0 ~

(x (t)i + y (t)j), à òîìó

					1
			1
			1	!0		( )
криво¨) ма¹мо: ~ ~r(t)			=		r	t
X;~	~ (~r(t)) =
X;~	~ (~r(t)) =
		q x0(t) 2 + y0(t) 2

P x(t); y(t) x0(t) + Q x(t); y(t) y0(t) :

Посилаючись на формулу (1) одержимо:

	(X;~ ~) dl = a	P	x(t); y(t) x0	(t) + Q x(t); y(t) y0		(t) dt:	(4)

Слiд вказати на унiверсальний характер формули (4). Якщо b < a, àëå

початком криво¨ залиша¹ться			~r(a), а кiнцем точка ~r(b), то вираз для
(X;~	~) dl прийма¹ вид:	R	P (: : :) x0		(t) +		Q(: : :) y0(t) dt =	b
								: : :. Òîæ ó
R			a		b			R
								a
		[b;a]
формулi (4) границi iнтегрування				òà		вiдповiдають не початку i кiнцю

вiдрiзка параметра, а саме початку i кiнцю криво¨ : ~r(a) початок ; ~r(b)

кiнець (на вiдмiну вiд формули (1), в записi яко¨ завжди a 6 b). Формула (4) поясню¹ наступну символiку в запису криволiнiйного iнте-

грала 2ãî роду: найчастiше вiн познача¹ться наступним чином:							P dx + Qdy,

а в разi замкнено¨ криво¨ (спiвпадають початок та кiнець ): R P dx + Qdy.

	Приклад. Пiдрахувати криволiнiйний iнтеграл 2ãî ðîäó I =H						ydx + xdy,

		x2			y2		H
äå åëiïñ				+		= 1, орi¹нтований проти годинниково¨ стрiлки, (така
äå åëiïñ			a2	+	b2	= 1, орi¹нтований проти годинниково¨ стрiлки, (така
орi¹нтацiя вважа¹ться додатною).
	Розв'язання. За початок = кiнець замкнено¨ криво¨ можна прийняти

будь-яку точку елiпса (обмiркуйте!).

Вiзьмемо параметризацiю: x = a cos t; y = b sin t, t вiд 0 до 2 . За формулою (1):

2		b sin t( a sin t) + a cos t b cos t dt = 0:
I = Z		b sin t( a sin t) + a cos t b cos t dt = 0:
0

Вправа 2. Перевiрте наступнi властивостi криволiнiйного iнтеграла 2ãî

ðîäó.

1) Ëiíiéíiñòü:

Z		( X~ + Y~ ); ~	dl = Z (X;~	~) dl + Z (Y~ ; ~) dl:

2) Адитивнiсть:

Z	(X;~ ~) dl = Z (X;~	~) dl + Z (X;~ ~) dl;	(5)
1+2	1	2

(òóò êiíåöü 1 = початок 2; початок ( 1 + 2) = початок 1; êiíåöü ( 1 +

+2) = початок 2; детальнiше: x1:7).

3)Замiна орi¹нтацi¨ на протилежну не змiню¹ абсолютного значення величини iнтеграла, але змiню¹ його знак:

Z	Z	Z	Z
~
~	~	àáî:	: : : =	: : : :
(X; ~) dl =	(X; ~) dl	àáî:	: : : =	: : : :
x	y

Вправа 3. Узагальнити криволiнiйний iнтеграл на випадок кусково гладких кривих. Таке узагальнення необхiдне для чiткого розумiння формули

(5).

Зауваження 2. Цiлком аналогiчно буду¹ться конструкцiя криволiнiйно- го iнтеграла 2ãî ðîäó â R3 (обмiркуйте!). Вiдповiдний iнтеграл познача¹ться:

~ ~ ~ ~

P dx + Qdy + Rdz, äå X = P i + Qj + Rk.

3. Формула Грiна.

6	6		криволiнiйна трапецiя вiдносно осi

Нехай T = T		[a; b]; f; g			Ox: (x; y)
íà [a; b]; g(x) 6 f(x) (òàêi				;
				f òà g неперервно диференцiйовнi функцi¨
a x	b; g(x)	6 y 6 f(x)

трапецi¨ домовимось називати гладкими ).

Нехай функцiя P (x; y) визначена та неперервна на T = T разом iз частковою похiдною @P@y .

Межа трапецi¨ @T склада¹ться з двох графiкiв функцiй f òà g та двох вертикальних вiдрiзкiв (обов'язково зробiть малюнок!). Фiксу¹мо обхiд гра-

	~	R
ницi проти годинниково¨ стрiлки (це додатна орi¹нтацiя		@T ). P dx ðîç-
клада¹ться в 4 доданки. Оскiльки векторне поле ~		@T
клада¹ться в 4 доданки. Оскiльки векторне поле ~		горизонтальне, то
X = P i

~ ?

на вертикальних дiлянках межi @T поле X ~. Тому цi два доданки дорiвнюють 0. Два iнших доданки з урахуванням орi¹нтацi¨ i при параметризацi¨

параметром x, дають в сумi: a

P x; g(x) dx a

x; f(x)

dx (перевiрте!).

Але те ж саме значення

прийма¹ подвiйний iнтеграл

, ÿêùî

@y dx dt

перейти в ньому до повторного iнтеграла. Дiйсно,

f(x)

dx dy = Z

dx Z

dy =

x; f(x)

P x; g(x)

dx:

g(x)

Таким чином за вiдповiдних умов на функцiю P одержимо рiвнiсть:

P dx = ZZ

dx dy:

(6)

Припустимо тепер, що квадровна замкнена множина

D R2, ìåæà

яко¨ склада¹ться з кусково гладких кривих, може бути розрiзана скiнченною кiлькiстю кусково гладких кривих (вертикальних вiдрiзкiв) на диз'юнктне об'¹днання гладких криволiнiйних трапецiй вказаного вище типу. Для кожно¨ з цих трапецiй викону¹ться рiвнiсть (6). Розпишемо цi рiвностi i шука¹мо суму правих i, незалежно, лiвих частин цих рiвностей. Сума правих

частин да¹ нам dx dy завдяки адитивностi подвiйного iнтеграла. А

ëiâèõ?

Межа кожно¨ з трапецiй може включати в себе дiлянки двох рiзних типiв: це дiлянки межi вихiдно¨ множини D та дiлянки межi, якi з'явились

внаслiдок розрiзiв D на трапецi¨. Кожна з таких дiлянок розклада¹ться

на шматочки, що ¹ спiльною межею двох сусiднiх трапецiй. I цi шматочки враховуються двiчi, але з протилежними орi¹нтацiями (неодмiнно зробiть малюнок!). Тому сума iнтегралiв по цим шматочкам дорiвню¹ нулю. Тож i лiвi частини рiвностi (6) мають адитивну властивiсть. В результатi прихо-

димо до висновку: якщо функцiя P визначена i неперервна разом iз похi- äíîþ @P@y в замкненiй множинi D, що розклада¹ться в скiнченне об'¹днання

				вiдносно осi
гладких криволiнiйних трапецiй T [a; b]; f; g				Ox, òî ìà¹ ìiñöå
формула:	I	P dx = ZZ	@y dx dy:
			@P
	@D	D
	@D	D

Увага! Межа @D не обов'язково склада¹ться з одного замкненого конту-

ра. х може бути декiлька. Iнтеграл по @D розумi¹мо як суму iнтегралiв по цим контурам. Орi¹нтованiсть цих контурiв повинна бути такою, щоб при обходi контурiв область D залишалась çëiâà.

ßêùî æ D роклада¹ться в скiнченне об'¹днання аналогiчних криволi-

нiйних трапецiй, але вiдносно осi Oy; Q та @Q@x неперервнi функцi¨ на D, то аналогiчнi мiркування приводять до рiвностi

I	Qdy = ZZ	@x dx dy:
		@Q
@D	D

Перевiрте!

Шляхом складання двох останнiх рiвностей доводимо наступну теорему. Теорема 1. (формула Грiна) Нехай D замкнена обмежена множина

з кусково гладкою межею, що може бути розбита скiнченною кiлькiстю розрiзiв на скiнченну кiлькiсть гладких криволiнiйних трапецiй вiдносно осi Ox, а також, за допомогою скiнченно¨ кiлькостi iнших розрiзiв на скiнченну

кiлькiсть гладких криволiнiйних трапецiй вiдносно осi Oy. Нехай функцi¨ P та Q визначенi та неперервнi на D разом з @P@y òà @Q@x . Òîäi ìà¹ ìiñöå

формула (Грiна):

I	P dx + Qdy = ZZ	@x	@y dx dy:	(7)
		@Q	@P
@D	D

При цьому межа областi D склада¹ться зi скiнченно¨ кiлькостi замкне-

них кусково гладких контурiв; iнтеграл по межi це сума iнтегралiв по всiм цим контурам i обхiд цих контурiв ма¹ бути додатним в тому сенсi, що область D при обходi залиша¹ться злiва.

Приклад. Обчислити криволiнiйний iнтеграл I =

ydx + xdy, äå

åëiïñ

= 1, орi¹нтований проти годинниково¨ стрiлки.

Розв'язання За формулою Грiна: I =

y dx dy = 0.

За допомогою формули Грiна можна RR

обчислювати площу областi. Дiй-

сно, з формули (7) ма¹мо:

xdy = I

ydx = 2 I

ydx + xdy:

s(D) = ZZ

1 dx dy = I

Приклад. Обчислити площу областi D â R2, що обмежена кривою: x2=3+

+ y2=3 = 1 (астро¨да).

Розв'язання Параметризу¹мо межу @D: x = cos3 t; y = sin3 t; t âiä 0 äî

2 (з урахуванням додатно¨ орi¹нтацi¨ @D). Òîìó

2		2
s(D) = Z0	cos3 t (sin3 t)0 dt = 3 Z0		sin2 t cos4 t dt =
	2	sin2 2t(1 + cos 2t) dt =	8 :
= 8 Z0
3			3

Зауваження 3. Формула Грiна викону¹ться при значно бiльш слабких умовах на множину D. Зокрема достатньо на D накласти таку умову: межа

@D склада¹ться зi скiнченно¨ кiлькостi замкнених кривих (без самоперетинiв) такi кривi назива¹мо контурами (див. також означення 2).

4. Незалежнiсть криволiнiйного iнтеграла в R2 вiд шляху iнтегрування.

Означення 2. 1) Областю D Rn називають вiдкриту множину, що ма¹ наступну особливiсть: для кожно¨ пари ¨¨ точок A; B iсну¹ (кусково гладка) крива, що цiлком належить D, а ¨¨ початок i кiнець спiвпадають

âiäïîâiäíî ç A òà B (достатньо вимагати iснування неперервно¨ криво¨, а тодi iсну¹ i кусково гладка спробуйте це довести). Цю властивiсть називають çâ'ÿçíiñòþ областi D.

2) Замкнену кусково гладку криву (тобто кiнець ¨¨ = початку) в R2

назива¹мо (замкненим) контуром, якщо ця крива ¹ межею деяко¨ областi в

R2.

3) Область D â R2 назива¹мо однозв'язною, якщо кожний контур, роз-

ташований в D ¹ межею областi, що цiлком лежить в D.

(x; y)

x2 + y2

> 0

(x; y) 1 < x2

+ y2 < 4

неоднозв'язнi областi в

Приклади.

Êðóã

x2 + y2

однозв'язна область в

(x; y)

< 1

R2;

R2.

òà

; функцi¨ P òà Q âè-

Теорема 2.

Нехай D однозв'язна область в R

òà

. Òîäi

значенi i неперервнi в областi D разом iз сво¨ми похiдними

наступнi 4 умови еквiвалентнi.

1) Для будь-якого (замкненого) контура , що цiлком належить D, ií-

теграл							1 2		D
2) H							1 2		D
P dx + Qdy äîðiâíþ¹ 0.

Для будь-яких двох кривих								,	в , що мають однаковий початок
i спiльний кiнець,				в областi			H2¹ повним диференцiалом деяко¨ функцi¨
3) Вираз			H1	в областi			H2¹ повним диференцiалом деяко¨ функцi¨
			P dx + Qdy =					P dx + Qdy.
	P dx+Qdy					D
u (тобто P =		@u	; Q =	@u	â D).
u (тобто P =			; Q =		â D).
		@x		@y

4) Ñêðiçü â D викону¹ться рiвнiсть

Доведення.

1) ) 2). Нехай викону¹ться умова 1; кривi 1

i 2, ùî ëå-

æàòü â D, мають початок в точцi A i êiíåöü â òî÷öi B.

ßêùî êðèâi 1 i 2 не мають самоперетинiв i не перетинають одна одну,

то крива = 1

+( 2) (початок криво¨ (

2) â òî÷öi B, êiíåöü â òî÷öi A)

¹ замкненим

1+(R 2)

контуром, а тому

P dx + Qdy = 0. Àëå

: : : =

звiдки й одержимо бажану рiвнiсть.

ßêùî êðèâi 1 i 2 не мають самоперетинiв, але можуть перетинати одна одну (крiм точок A òà B), то треба узяти ще одну криву 3, ùî íå перетина¹ться з жодною з цих кривих i ма¹ разом з ними спiльнi початок та кiнець. Тодi

Z	P dx + Qdy = Z	P dx + Qdy = Z	P dx + Qdy:
1	3	2

За вихiдним означенням криво¨ , з яким нам доводилось працювати, вiдповiдна параметризацiя ~r: [a; b] ! повинна бути вза¹мно однозначним

вiдображенням. Тож кривiй не дозволя¹ться мати точок самоперетину. Можна довести, що результат буде мати мiсце i при вiдмовi вiд вимоги вза¹мно¨ однозначностi ~r.

	2) ) 3). Фiксу¹мо точку (x0; y0)			â D i для кожно¨ точки		(x; y) 2 D
			(x;y)
покладемо: u(x; y) =			P dx + Qdy (це криволiнiйний iнтеграл другого
			(x0;y0)
ðîäó ïî êðèâié ç		початком в точцi		(x0; y0)	òà êiíöåì â òî÷öi	(x; y)	; âèáið
ðîäó ïî êðèâié ç			R	(x0; y0)		(x; y)

цi¹¨ криво¨ за умовою 2 не ¹ принциповим). Тодi u(x + 4x; y) u(x; y) =

(x+4x;y)		ми скористались можливiстю за криву, що з'¹дну¹
R

=P dx + Qdy

(x;y)

точки (x0; y0) òà (x+4x; y) взяти криву мiж (x0; y0) òà (x; y) i до не¨ додати

. âiäðiçîê, ùî ç'¹äíó¹ (x; y) òà (x + 4x; y)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20164.05 Mб7Manual_DIR-300_A1_rev_1_0_RUS.pdf
#
17.03.2016522.24 Кб93manuel.doc
#
07.09.2019411.65 Кб1marketing_1-65.doc
#
17.03.20161.5 Mб28MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia (1) (1).docx
#
17.03.20161.57 Mб17MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia.docx
#
12.05.2015860.79 Кб23matan_bogdanskyj.pdf
#
12.05.20151.15 Mб13Matematyka_vidpovidi_.pdf
#
12.05.2015999.23 Кб12Matemat_vidpovidi_ds.pdf
#
03.08.2019364.7 Кб1materialka.docx
#
01.05.2019169.47 Кб7Materialoznavstvo-ukr.doc
#
12.05.2015597.61 Кб9materialoznavstvofinal.pdf