Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_bogdanskyj

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

860.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

тричних перетворень многокутникiв. Доведення без посилань на недостатньо обгрунтованi факти шкiльно¨ геометрi¨ бiльш складне.

æèíà		2		назива¹ться		2	[a; b]. Ìíî-
Означення 17. Нехай f; g			C[a; b]; g(x) 6 f(x) äëÿ âñiõ x				[a; b]. Ìíî-
					"криволiнiйною тра -
							A
	(x; y) j a 6 x 6 b; g(x) 6 y 6 f(x)

пецi¹ю". Бiльш загально: криволiнiйною трапецi¹ю назива¹мо множину ,

для яко¨ мають мiсце вкладення: A

(x; y)

a < x < b; g(x) < y <

< f(x)

. (x; y) j

a 6 x 6 b;1g(x)

6 y 6 jf(x)

= A2. Позначення:

A = T

[a; b]; f; g

f(x) > 0

Теорема 16.

Нехай

C[a; b]

;

íà

[a; b]

. Тодi криволiнiйна

трапецiя

A =

(x; y)

b; g(x)

f(x)

(13)

¹ квадровною множиною.

Доведення. Фiксу¹мо " > 0. Нехай > 0 таке, що з нерiвностi jx1 x2j <

< виходить: jf(x1) f(x2)j < " (скористатись рiвномiрною неперервнiстю f). Вiзьмемо набiр аргументiв: a = x0 < x1 < : : : < xm = b таким чином, щоб для кожного k = 1; : : : ; m: xk xk 1 < .

Визначимо uk i vk умовами:

xk		1 6 uk 6 xk; xk		1 6 vk 6 xk; f(uk) =	min f; f(vk) =	max f;
					[xk 1;xk]	[xk 1;xk]

k = 1, 2, . . . , m (за теоремами Вей¹рштрасса такi точки iснують).

Нехай Pk = [xk 1; xk]

[0; f(uk)]; Qk = [xk 1; xk]

[0; f(vk)]. Òîäi

(çðîáiòüS

" >S0

A k=1 Qk; k=1 Pk; k=1 Qk 2 A0 i при цьому (k=1 Qk n k=1 Pk) < " (b a)

вiдповiдний малюнок). Довiльнiсть

доводить квадровнiсть

T [a; b]; f; g

множиною.

¹ квадровною

Íàñëiäîê.

Будь-яка криволiнiйна трапецiя

проводиться аналогiчно. При

< b; 0 < y < f(x)

A B

Доведення.

Доведення квадровностi трапецi¨

B =

(x; y)

a < x <

цьому площа

прийняти довжину , то для будь-якого

äèâ. (13) äîðiâíþ¹ 0 (

AnB це об'¹днання чотирьох кривих на площинi; зробiть малюнок i обмiркуйте!). Тому за вправою 15,1) будь-яка трапецiя

			> >(зробiть малюнок!). У загальному випадку нехай
T	[a; b]; f; 0
T [a; b]; f; 0		T [a; b]; g; 0				¹ рiзницею трапецiй:
	Â ðàçi, ÿêùî f		g	0, трапецiя T	[a; b]; f; g
	n

¹ квадровною множиною.

C = min g(x). Тодi паралельним перенесенням вихiдна трапецiя переходить

[a;b]

у квадровну трапецiю T [a; b]; f c; g c (g(x) c > 0) (зробiть малюнок!).

Теорема 17. Нехай f; g 2 C[a; b]; f > g íà [a; b]. Òîäi

s T [a; b]; f; g

f(x) g(x) dx:

(14)

Доведення. Вищенаведенi мiркування доводять, що формулу (14) достатньо одержати лише у випадку g 0 з подальшим двокроковим узагальненням (обмiркуйте!). Скориста¹мось теоремою 11.

позначимо плоДля будь-якого промiжка h ; i [a; b] через ! h ; i

вихiдно¨ криволiнiйно¨ трапецi¨ над промiжком

щу частини T h ; i	h ; i
(це також криволiнiйна трапецiя, а тому ¹ квадровною).
m	[a; b] значення ! покладемо рiвним сумi:
Для множин W h k; ki

k=1

. Тим самим одержано заряд на алгебрi

! h k; ki

A1 числових про-

k=1

мiжкiв в X (перевiрте адитивнiсть !). Якщо тепер за мiру на A1

числового промiжка h ; i [a; b]

;

i [0;

;

i h

;

[0; sup f];

inf f]

h i

h ; i

à òîìó: inf f ( ) 6 !(h ; i) 6 sup f ( ).

h ; i

		b					R
Тож за теоремою 11, для будь-якого					A 2 A1: !(A) = f dx. Зокрема
Означення							A
Означення		R	['1	; '2]	[0; 2 ]	g
		R	['1	; '2]	[0; 2 ]	g
s T [a; b]; f; 0	=	f(x) dx.
		a
	18.	Нехай			;		неперервна функцiя на

['1; '2]; g(') > 0 äëÿ ' 2 ['1; '2]. Множина на площинi, що визначе-

на в полярнiй системi координат нерiвностями:

8'1 6 ' 6 '2

назива-

<0 6

6. Бiльш загально:

g(')

¹ться криволiнiйним сектором. Позначення: C ['1:; '2]; g

C ['1; '2

]; g

('; )

'1 6 ' 6

('; )

'1 < ' < '2; 0 < < g(')

6 '2; 0 6 6 g(')

Ми не будемо ретельно перевiряти квадровнiсть криволiнiйного сектора. Для доведення цього факту слiд спочатку перевiрити квадровнiсть кругового сектора (g const), а потiм, за аналогi¹ю з криволiнiйною трапецi¹ю,

наблизити криволiнiйний сектор об'¹днанням кругових. Вправа 16. Довести квадровнiсть криволiнiйного сектору.

Теорема 18. Площа криволiнiйного сектора може бути знайдена за фор-

мулою: s C ['1	; '2]; g	=	1	'2	g2(') d'.
			2	'1
				R

Доведення. За аналогi¹ю з доведенням теореми 17, для кожного h ; i

позначимо площу частини криволiнiйного секто-

['1; '2], через ! h ; i

i продовжимо

['1; '2].

ðà: C h ; i

('; ) j ' 2

h ; i

C ['1; '2]; g

! ïî

адитивностi на алгебру числових промiжкiв

íà

(

) j

2 h ;

i ; 0

h ; i

;

< < inf

(

) j

2 h ;

i ; 0 6

6 h ; i

sup g

Використову¹мо вiдому формулу площi кругового сектора.

2 h ; i

( ) 6

h ; i 6 2

h ; i

(

inf g(')

sup g(')

Залишилось застосувати теорему 11 з функцi¹ю f(x) = 12g2(').

7. Застосування iнтеграла до обчислення довжини криво¨ .

Кусково неперервно диференцiйовне вiдображення ~r: [a; b] ! R2 (~r íå-

перервне; ~r 0(t) iсну¹ крiм скiнченно¨ кiлькостi точок i ма¹ лише скiнченну

кiлькiсть розривiв першого роду) назива¹мо шляхом ; образ = ~r [a; b] назива¹мо кривою в R2. ~r(a), ~r(b) âiäïîâiäíî початок та кiнець криво¨ .

Слiд сказати, що ця термiнологiя не ¹ загальноприйнятою. Iнодi кривою

образом криво¨. Вiдображення

називають вiдображення ~r, à = ~r [a; b]

~r також називають параметризацi¹ю криво¨ .

Нехай a = a0 < a1 < a2 < : : : < am = b. З'¹дна¹мо точки криво¨ ~r(ak) послiдовно ламаною. Вона назива¹ться вписаною в криву . ¨ довжина сума довжин хорд, що складають цю ламану.

Означення 19. Крива назива¹ться спрямлюваною, якщо множина

довжин вписаних в не¨ ламаних ¹ обмеженою. При цьому довжиною L( )

(спрямлювано¨) криво¨ назива¹ться точна верхня межа довжин вписаних

в не¨ ламаних.

Означення 20. Домовимось казати, що параметризацi¨ ~r: [a; b] ! òà e~r: [ ; ] ! еквiвалентнi, якщо iсну¹ вза¹мно однозначне вiдображення ': [ ; ] ! [a; b], для якого '( ) = a; '( ) = b; ' òà ' 1 неперервно диференцiйовнi i e~r = ~r '.

Нехай 1 i 2 äâi êðèâi òàêi, ùî êiíåöü 1 спiвпада¹ з початком 2. Тодi, перейшовши, якщо необхiдно, до еквiвалентно¨ параметризацi¨, вiдпо-

вiднi параметризацi¨ !1 : [ ;

] ! R

!2 : [ ; ] ! R

2 задовольняють умову:

r a b

b c

) =

. Поклавши ~r

]

! R

за формулою: ~r t

t , ÿêùî

(

( )

: [ ;

( ) =

( )

t 2 [a; b]

;

t , ÿêùî t

, матимемо (кусково неперервно дифе-

~r(t) = !2

( )

[ ;

]

ренцiйовний) шлях. Вiдповiдну криву позначимо 1 + 2.

Зауваження 6. Для цiлей математичного аналiзу i, зокрема, диференцiально¨ геометрi¨, доцiльно розрiзняти кривi, якщо вiдповiднi параметризацi¨

не ¹ еквiвалентними. Але спрямлюванiсть криво¨ та ¨¨ довжина не залежать вiд вибору параметризацi¨.

Твердження 13. Нехай 1, 2 спрямлюванi кривi, для яких кiнець 1

спiвпада¹ з початком 2. Тодi крива 1 + 2 ¹ спрямлюваною i L( 1 + 2) = = L( 1) + L( 2).

Доведення. Довжина ламано¨, вписано¨ в криву 1 + 2, вершини яко¨ вiдповiдають точкам fakg вiдрiзка параметра [a; c]: a = a0 < a1 < : : : < < am = c може лише збiльшитись, якщо до цього набору точок додати ще точку b: a = a0 < a1 < : : : < ap < b < ap+1 < : : : < am = c. Тому довжина кожно¨ ламано¨, вписано¨ в 1 + 2 не перебiльшу¹ L( 1) + L( 2). Звiдси виходить спрямлюванiсть 1 + 2 òà íåðiâíiñòü L( 1 + 2) 6 L( 1) + L( 2).

Зворотню нерiвнiсть одержимо з таких мiркувань. Для кожного " > 0 iснують ламанi K1 i K2, вписанi в 1 òà 2, довжини яких задовольняють нерiвностi: L(K1) > L( 1) "; L(K2) > L( 2) ". Ламана K1 + K2 (здога- дайтесь, що ма¹ться на увазi!) вписана в 1 + 2 i ¨¨ довжина бiльше, анiж

L( 1) + L( 2) 2". Òîæ L( 1 + 2) > L( 1) + L( 2) 2" i залишилось звернути увагу на довiльнiсть вибору " > 0.

Ëåìà 3. Нехай крива в R2 ¹ графiком неперервно диференцiйовно¨

функцi¨ y = f(x); x 2 [a; b]. Тодi крива спрямлювана i L( ) =

dx.

Доведення. Параметризу¹мо криву параметром x: ~r(x) =

0 2

1 + f (x)

f(x) . Âi-

зьмемо довiльний промiжок

;

[a; b], розiб'¹мо його точками

но хордами., позначимо через

ïîñëiäîâ-

k 1; f( k 1)

= 0

< 1

< : : : < m = i з'¹дна¹мо точки криво¨

k; f( k)

'k. Òîäi

inf

f0(x) 6 tg 'k

6 sup

f0(x)

Кут нахилу до осi

хорди, що з'¹дну¹ точки

Lëàì

äîðiâ-

x2h ; i

(застосуйте теорему Лагранжа!); а довжина одержано¨ ламано¨

íþ¹ k=1 p
	1 + tg2	'k( k k 1).
P

Звiдси одержу¹мо нерiвнiсть:

h ; i q	1 +	f	0	(	)	2	(	)	6	L	ëàì	6 h ; i q	1 +	f	0	(	)	2
inf		f		x		2	(	)		L		sup		f		x		2

( ): (15)

З обмеженостi неперервно¨ функцi¨ f0(x) на кожному вiдрiзку [ ; ] тепер робимо висновок про спрямлюванiсть криво¨ i ¨¨ ланки, що розташо-

âàíà íàä ïðîìiæêîì h ; i.

позначити довжину ланки

Якщо через ! h ; i

, з початком в точцi

i кiнцем в , то з (15) одержимо нерiвнiсть:

; f( ) ; f( )

h ; i q	1 +		0	(	)	2	(				) 6	h	;		i 6 h ; i q	1 +		0	(	)	2	(
inf		f		x		2						!			sup		f		x		2				);

i залишилось використати теорему 11.

Теорема 19.

Нехай крива в R2, вiдповiдна параметризацiя яко¨

x(t)

~r(t) =

y(t)!, t 2 [a; b] ¹ неперервно диференцiйовною i

0(t) = q

x0(t)

+ y0(t)

2 6= 0

â êîæíié òî÷öi

. Тодi спрямлювана крива i

[

;

]

L( ) = Za

dt:

x0(t) 2 + y0(t) 2

(16)

Доведення. Нехай спочатку x0(t) 6= 0 íà [a; b]. Òîäi ïîõiäíà x0(t) повинна

мати сталий знак на [a; b], iсну¹ обернена функцiя t = t(x), що визначена i неперервно диференцiйовна на вiдрiзку мiж точками x(a) та x(b). Тож кри-

ва ¹ графiком неперервно диференцiйовно¨ функцi¨ y = f(x) = y t(x)

Â ðàçi ÿêùî x0(t) > 0 íà [a; b], областю визначення функцi¨ f(x) ¹	âiäði-

тому за лемою 3:
çîê x(a); x(b) , àx(b)			b
çîê x(a); x(b) , àx(b)			b	s1 + x00(t)
L( ) = Z q		dx = Za					2	x0		(t) dt =
L( ) = Z q	1 + f0(x) 2	dx = Za						x0		(t) dt =
						y (t)
x(a)
x(a)
			b
		= Za		q					dt:
		= Za		q	xt0 2 + yt0 2				dt:
ßêùî æ x0(t) < 0 íà [a; b], то, аналогiчно,
x(a)			a
x(a)			a	s1 + x00(t)
L( ) = Z q		dx = Z					2	x0		(t) dt =
L( ) = Z q	1 + f0(x) 2	dx = Z						x0		(t) dt =
						y (t)
x(b)			b
x(b)			b
			b
		= Za		q					dt:
		= Za		q	xt0 2 + yt0 2				dt:
Загальний випадок. В кожнiй точцi			t	2	[a; b]: x0(t) = 0 àáî y0(t) = 0.
				2			6			6

Використовуючи лему Гейне-Бореля нескладно довести, що вiдрiзок [a; b]

можна розбити на скiнченну кiлькiсть вiдрiзкiв [ak 1; ak] (a = a0 < a1 < < : : : < am = b), на кожному з яких або x0(t) 6= 0 â æîäíié òî÷öi àáî y0(t) 6= 0 в жоднiй точцi (обмiркуйте!).

Якщо, наприклад, x0(t) 6= 0 íà [ak 1; ak], то з неперервностi x0(t) виходить, що x0(t) > 0 àáî x0(t) < 0 ñêðiçü íà [ak 1; ak]. Тодi iсну¹ обернена функцiя t = t(x); вiдповiдна дiлянка k криво¨ ¹ графiком неперервно

i набувають чинностi наведенi вище

диференцiйовно¨ функцi¨ y = y t(x)

мiркування. Якщо ж y0(t) = 0 íà [a

k 1

; a

], òî

графiк функцi¨ x = x(y)

i, аналогiчно,

L( k) =aZ

xt0

yt0

2 dt:

k 1

Тепер з посиланням на твердження 13, одержу¹мо:

L( ) = k=1

L( k) = k=1aZ

q xt0

2 + yt0

2 dt = Za

q xt0

2 + yt0

2 dt:

X k 1

Наслiдок. Нехай крива задана в полярних координатах рiвнянням = = ('); '1 6 ' 6 '2; функцiя ( ) неперервно диференцiйовна i 2(') +

+ 0(')

> 0 ñêðiçü íà ['

; '2]. Тодi крива спрямлювана i

L( ) = 'Z q

2(') +

0(')

2 d':

(17)

Доведення.

Переходимо до декартово¨ системи координат, традицiйно

узгоджено¨ з полярною: x(') = (') cos '; y

) =

(') sin '. x

= 2(') +

0(')

2, що й доводить (17).

(

Зауваження 7. 1) Результат теореми 19 та останнього наслiдка нескладно узагальнити на випадок кусково гладко¨ параметризацi¨ криво¨.

2) Цiлком аналогiчно задаються шлях ~r: [a; b] ! R3 òà êðèâi â ïðî- ñòîði R3, довжина кривих в R3 i для криво¨ в R3, що параметризована

обчислю¹ться за формулою:			0		(t)	6
гладким (або кусково гладким) шляхом (за умови				~r		= 0), довжина
L( ) = Za	b

	q	xt0 2 + yt0 2 + zt0 2		dt:

8. Обчислення об'¹му та площi бiчно¨ поверхнi тiла обертання .

Теорiя об'¹му тривимiрних тiл буду¹ться цiлком аналогiчно до теорi¨ площi множин в R2. Надалi ми скориста¹мось (без доведення) тим фактом,

що прямий круговий цiилiндр ¹ кубовним тiлом (жордановою множиною)

â R3 i формулу його об'¹му запозичимо зi шкiльного курсу. Крiм того, ско-

риста¹мось тривимiрним аналогом твердження, яке було сформульоване у вправi 15 (n 2) (перевiрте його!).

	Нехай f 2 C [a; b]; f > 0 i криволiнiйна трапецiя T					оберта¹-
	Нехай f 2 C [a; b]; f > 0 i криволiнiйна трапецiя T				[a; b] ; f; 0
ться навколо осi		Ox	. Тiло обертання позначимо через V .
		Ox
	Теорема 20.	Òiëî V ¹ кубовною множиною i його об'¹м v(V ) ìîæå áóòè

знайдено за формулою:
			v(V ) = Za	b
			v(V ) = Za	f2(x) dx:		(18)
	Доведення.	Беремо " > 0. З посиланням на рiвномiрну неперервнiсть

функцi¨ f2 ðîçiá'¹ìî [a; b] на скiнченну кiлькiсть маленьких вiдрiзкiв, [ak 1;

k] (

< a

< : : : < a

, на кожному з яких

max f2

)

[ak 1;ak]

min

f2 < ". Позначимо через A

цилiндр, що утворю¹ться обертанням

[ak 1;ak]

; a

i через

f .

що утворю¹ться обертанням

min

навколо осi Ox прямокутника

k 1

; a

max

öèëiíäð,

0; [ak 1;ak]

прямокутника

[ak 1;ak]

k 1

Òîäi k=1 Bk V k=1 Ak; v

k=1 Ak v k=1 Bk < (b a) " (ïåðå-

âiðòå!).

Оскiльки множина k=1 Ak кубовна, а

V 4 k=1 Ak < (b a) ", òî,

W" > 0, робимо висновок W

зважаючи на довiльнiсть

про кубовнiсть

;

частину множини

;

i V

;

виходить з тих h

;

Позначимо через V

V : V

= (x; y; z)

j 2 h

. Кубовнiсть

же мiркувань. Нехай

íà [a; b]

! h ; i

= v

V h ; i

. ! ¹ зарядом на алгебрi A1 числових промiжкiв

(наслiдок адитивностi об'¹му

). При цьому виконуються очевиднi

властивостi:

inf

) (

) 6

sup

) (

);

h ; i

(

;

i 6 h ; i

(

, а справа об'¹м цилiндра, (злiва об'¹м цилiндра, що мiститься в V h ; i

що мiстить V h ; i

Залишилось застосувати теорему 11.

Приклад. Знайти об'¹м бублика , що утворю¹ться обертанням навколо осi Ox круга x2 + (y R)2 6 r2 (r < R).

Розв'язання Шуканий об'¹м ¹ рiзницею двох об'¹мiв. Перший з нихце об'¹м v1 тiла, що утворене обертанням навколо осi Ox криволiнiйно¨ трапецi¨, що вiдповiда¹ функцi¨ y = f(x), яка ма¹ параметричне завдання:

8x = r cos '

[0; ]. Òîìó v1 =

f2(x) dx =

y2(')x0(') d'.

<y = R + r sin ';

v2 = y (')x0(') d'

Аналогiчно:

(обмiркуйте!);

v = v1 v2 =

y2(')x0(') d' =

(R + r sin ')2( r sin ') d' =

= Z0

2Rr2 sin2 ' d' = 2 2Rr2:

sin2k 1 ' d' = 0 äëÿ k

(ми скористались тим, що

У подальшому функцiюR

f вважа¹мо неперервно диференцiйовною на

2 N

[a; b]

f 2 C1 [a; b] ; f > 0. Як i ранiше V утворено обертанням навколо осi

Ox криволiнiйно¨ трапецi¨ T [a; b] ; f; 0

Площа поверхнi тiла це складне i дуже делiкатне поняття. Ретельнiше ми розглянемо його далi в курсi. Але для означення площi поверхнi тiла обертання ¹ наступний пiдхiд.

Нехай K ламана, що вписана в	криву , яка ¹ графiком функцi¨ f
з вершинами в точках ak; f(ak) , äå	a = a0 < a1 < : : : < am = b. Ïðè

обертаннi цi¹¨ ламано¨ навколо осi Ox утворю¹ться поверхня , яка склада¹ться зi скiнченно¨ кiлькостi бiчних поверхонь зрiзаних конусiв (зробiть

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20164.05 Mб7Manual_DIR-300_A1_rev_1_0_RUS.pdf
#
17.03.2016522.24 Кб93manuel.doc
#
07.09.2019411.65 Кб1marketing_1-65.doc
#
17.03.20161.5 Mб28MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia (1) (1).docx
#
17.03.20161.57 Mб17MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia.docx
#
12.05.2015860.79 Кб23matan_bogdanskyj.pdf
#
12.05.20151.15 Mб13Matematyka_vidpovidi_.pdf
#
12.05.2015999.23 Кб12Matemat_vidpovidi_ds.pdf
#
03.08.2019364.7 Кб1materialka.docx
#
01.05.2019169.47 Кб7Materialoznavstvo-ukr.doc
#
12.05.2015597.61 Кб9materialoznavstvofinal.pdf