matan_bogdanskyj

a1 g(x) dx çáiãà¹òüñÿ ) a1 f(x) dx çáiãà¹òüñÿ .

+

+

R

Скористу¹мось

R

Êîøi i íåðiâíiñòþ:

Доведення.

x2

критерi¹м

x2

Z

f(t) dt

6

Z

g(t) dt

x1

x1

(обмiркуйте!):

Твердження 17 (друга теорема порiвняння). Нехай 0

6 f(x) 6 g(x);

)

,

f

x

) =:

O g

x

x

(тобто iснують C > 0 i R > a, для яких при

(

(

! +)1. Òîäi

+1

g(x) dx

çáiæíèé

+1

f(x) dx

x > R

jf(x)j 6 Cjg(x)j

a

)

a

çáiæíèé .

R

R

Доведення.

+1

+1

Z

g(x) dx çáiæíèé

)

Z

Cg(x) dx çáiæíèé )

a

+1

R

+1

)

Z

f(x) dx çáiæíèé

)

Z

f(x) dx çáiæíèé

:

R

a

Вправа 25. Сформулюйте та доведiть аналоги теорем про властивостi

змiнно¨ в невласному iнтегралi.

Приклади.

1

+1

dx

I = R0

+ px + x3 треба дослiджувати як суму

1) Iнтеграл

iнтегралiв I1 = R0

dx

1

dx

1

I 1öå

px + x3 òà I2 =

R1

px + x3 . Çáiæíiñòü

iнтеграла

.

одночасна збiжнiсть

обох iнтегралiв I1 òà I2. Ïðè x ! 0+0:

p

p

x + x3

x

Тому iнтеграл I1

за другою теоремою порiвняння збiга¹ться одночасно з

1

dx

1

1

iнтегралом R0

p

. À ïðè x !

+1:+

p

. Посила¹мось на вже

x3=2

x

x + x3

вiдому ранiше збiжнiсть iнтеграла

1 dx

Вiдповiдь: iнтеграл I çáiæíèéR1(i абсолютно, оскiльки f(x) > 0).

x3=2 та твердження 17.

+1

2) Iнтеграл I =

cos x

dx дослiдимо на збiжнiсть при довiльних

cos x

R1

1 x

2

òíî çáiæíèé

ïðè > 1.

Iнтегру¹мо частинами:

R. Îñêiëüêè

x

6 x ; то за твердженням 16 вихiдний iнтеграл абсолю-

A

x

dx =

x

1

+

A

x +1 dx:

Z

Z

1

cos x

sin x

A

1

sin x

sin x

A

1

. Iсну¹ границя i другого доданка при

A!+1 x

Ïðè > 0 iñíó¹

lim

+

1

A

+

збiжнiсть iнтеграла

sin x

. Òîæ ïðè

> 0

âèõiäíèé ií-

!

1

+1 dx

1

x

2

x

1

cos 2x

З iншого боку,R

cos x

>

cos

=

+

теграл збiга¹ться.

+

1 cos 2x

x

x

2x

2x . Îñêiëü-

êè ïðè

:

çáiãà¹òüñÿ

(доведення аналогiчне збiжностi

x

2+1 sin x R1

dx

+1 dx

(0; 1]

iнтеграла

dx), а iнтеграл

R1

cos x

+ R1

x

ðîçáiæíèé, òî ðîçáiæíèì ¹ é

11

x

iнтеграл

dx, тобто при 2 (0; 1] вихiдний iнтеграл I умовно

x

çáiæíèé.

R

Перевiримо, що при 6 0 вихiдний iнтеграл розбiжний.

Нехай < 0.

+1

R

cos x dx. Розбiжнiсть перевiрте самостiйно.

Ïðè = 0: I =

1

Òîäi

+2n

2

x

2

+ 2 n

!1! 1

Z

cos x

dx >

2

(перевiрте!):

2 +2n

n

êöiÿ f(x)

визначена на [1; +1), монотонно не зроста¹ i невiд'¹мна. Не-

õàé f(x)

iнтегровна на кожному вiдрiзку [1; a] [1; +1). Тодi iнтеграл

+1

+1

R

P

f(x) dx i ðÿä

f(n) збiгаються або розбiгаються одночасно.

1

n=1

x: R1

f(t) dt 6 C. Òîäi

k

n

n

n

Z

f(t) dt = Z

k=2 f(k) 6 k=2

f(t) dt 6 C

(обмiркуйте!);

X

Xk 1

1

i ряд збiга¹ться за критерi¹м збiжностi ряду з невiд'¹мними членами.

x

Зворотне твердження. Оскiльки функцiя F (x) = R1

f(t) dt монотонно не-

спадна, то достатньо довести лише ¨¨ обмеженiсть

òîäi iñíó¹ lim F (x) =

+

1

x!+1

1

n

k+1

n

+1

Z

F (x) 6 F (n + 1) = k=1

f(t) dt 6 k=1 f(k) 6 k=1 f(k):

X k

X

X

+1

1

+1 1

Приклад. Ðÿä

R1

dx i çà

p збiга¹ться одночасно з iнтегралом

p

доведеним ранiше, критерiй збiжностi ряду: p > 1.

P

x

n=1 n

+1

R

V.P. Z

f(x) dx

:= R!+1 Z

f(x) dx:

lim

1

R

_

2) Нехай f визначена в проколеному околi Va = (b; c) n fag точки a 2 R

_

i iнтегровна на кожному [x; y] Va. Аналогiчно:

1

V.P. Z

:= "!0+0

0Z

+ Z

( )

c

a "

c

f(x) dx

lim

@ b

f(x) dx

f x dx

A

iнтеграл

b

a+"

(çáiæíèé) в сенсi головного значення:

Приклади.

1) V.P.1

+1

R

x dx =

lim

x dx = 0;

2)

1

x =

R1

"

x

R!+1 RR

1

"!0+0

"

x +

1

= 0.

R

dx

lim

R

dx

R

dx

ному сенсi виходить ¨х збiжнiсть в сенсi головного значення i при цьому

+1

+1

V.P.

R

R

f(x) dx =

f(x) dx (i аналогiчний факт ма¹ мiсце для невласних

1

1

визначено на функцiях f 2 D формулою:

f d = nlim

fn d , äå ffng

X

!1X

f

.

послiдовнiсть простих функцiй, що

ðiâíîìiðíî çáiãà¹òüñÿ äî

R

R

Теорема 1.

Нехай E A така сiм'я вимiрних множин, що будь-яка

A 2 A може бути розкладена в диз'юнктне об'¹днання множин з E (A =

äëÿ

W

W A

WE задовольняють систему нерiвностей:

= A1

A2

: : :

Am; Ak

2 E). Нехай заряд ! :

A ! R та функцiя f 2 D

кожного

2

A

(A)

6

!(A)

6

A

(A):

inf f

sup f

!(A) = Z

f d

f =

d!

ùiëüíiñòü ! вiдносно :

d

A

!(A) = Z

f d :

(1)

A

Тодi рiвнiсть (1) викону¹ться для всiх A 2 A.

Доведення. Нехай

f

sup f(x) = M. Беремо A

A, " > 0 òà

k

k = X

2

множини B; C 2 A0, äëÿ ÿêèõ (C n B) < "; B A C. Òîäi

!(A) Z f d 6 !(C) Z f d =

Z

f d 6 M" ;

A

B

CnB

!(A) Z f d > !(B) Z f d = Z

f d > M":

A

C

CnB

: AY

! R

(перевiрте властивостi мiри

мiра на вимiрному просторi

(Y; AY ), то вона iндуку¹ мiру

F

f

(Y; AY ) â

F íà (X; AX) за правилом: F (A) = F (A)

äëÿ

). Функцiя ¹ простою на

òîìó é òiëüêè â òîìó ðàçi, ÿêùî

Z1

(f F ) d F = Z

f d :

(2)

F (A)

A

ßêùî æ # ìiðà íà (X; AX), äëÿ ÿêî¨ iñíó¹ ùiëüíiñòü g =

d F

2 D(X),

d#

то для кожного A 2 AY

викону¹ться рiвнiсть:

Z

f d =

Z

(f F )

d F

d#:

(3)

d#

A

F 1(A)

Доведення. Спочатку доводимо рiвнiсть (2). ¨ достатньо довести для

A = Y . Äiéñíî, ÿêùî jA iндикатор множини A

2

AY , òî jF 1(A)

= jA

F .

Òîìó

Z1

(f F ) d F = Z (f jA) F d F :

F (A)

X

m

Нехай f =

f(k)jAk проста функцiя на Y . Òîäi f F проста на X

i при цьому:

kP

=1

m

m

Z

Z (f F ) d F = k=1 f(k) F

F 1(Ak) = k=1 f(k) (Ak) =

f d :

X

X

X

Y

Y

X

òàêà ùî, fn f, òî fn

F

f

F (обмiркувати!) i

Z

Z (

f

F

)

d

F = n!1 Z

(

n

F

)

d

F

n!1 Z

n

=

lim

f

= lim

f d

f d :

X

X

Y

Y

Z

Z

f d! =

(f g) d#:

(4)

m

ßêùî f проста функцiя: f =

f(k)jAk , òî

kP

=1

f d! =

m

f(k)!(Ak) =

m

f(k)

g d# =

m

f(k)jAk g! d# =

fg d#:

Z

k=1

k=1

Z

Z

k=1

Z

X

X

2

X

Ak

X

X

X

X

Äëÿ äîâiëüíî¨ f

D(X)

беремо послiдовнiсть простих fn f. Òîäi

Z

n!1 Z

n

= n!1 Z

f

n

g d# =

Z

g d#:

f d! = lim

f d!

lim

f

X

X

X

X

подвiйним iнтегралом i познача¹ться:

Rf(x; y) dx dy.

2 D(X) назива¹ться

¨¨ через s або, iнодi, через ). Iнтеграл

f ds äëÿ f

.

(X; A) f 2 D(X)

Доведення.

У випадку замкненостi скориста¹мось теоремою Кантора.

~x2X