matan_bogdanskyj

(необхiднi технiчнi подробицi доведення залишимо студентам. Обмiркуйте!).

Теорема 10 (абсолютна неперервнiсть iнтеграла Лебега ). Нехай f 2 L1.

Тодi для кожного " > 0 iñíó¹ òàêå > 0, ùî

Z

(D) < ) jfj d < " :

D

Доведення. Нехай fn послiдовнiсть простих функцiй, що фундамен-

тальна в середньому i fn ! jfj м.в. Тодi за лемою 3 для кожного " > 0

Множина L1 iнтегровних функцiй утворю¹ лiнiйний простiр. Множина M вимiрних функцiй, що дорiвнюють нулю майже всюди, ¹ пiдмножиною в L1. За послiдовнiсть простих функцiй, що наближують функцiю з M можна

взяти тотожньо нульовi функцi¨. Звiдси також: .

X

M утворю¹ пiдпростiр в L1 i можна розглянути факторпростiр L1=M =

но самостiйно перевiрити). Також коректно визначено: jfej = jffj

X

R

=jfj d . Саме перевiрка першо¨ властивостi норми вимагала переходу до

X

факторпростору: за рiвностi R

jfj d = 0 не виходить рiвнiсть f 0. Àëå

X

161

Посиланням на довiльнiсть " > 0 завершу¹мо доведення.

Доведення теореми. Нехай fn фундаментальна за нормою послiдовнiсть в L1. Для кожного n беремо просту функцiю gn за умови

X

(за означенням iнтегровно¨ функцi¨ i за лемою така функцiя iсну¹). Послiдовнiсть gn простих функцiй також буде фундаментальною за нормою ( = фундаментальною в середньому). Це виходить з нерiвностей:

162

X

Достатньо довести, що iсну¹ функцiя f 2 L1, äî ÿêî¨ çáiãà¹òüñÿ çà íîð- ìîþ L1 пiдпослiдовнiсть gnk послiдовностi gn. Òîäi é óñÿ ïîñëiäîâíiñòü gn буде збiгатись до f в L1, а разом з нею i послiдовнiсть fn, що виходить з нерiвностi (11).

такою, що gnk ! f ì.â. Òîäi f 2 L1 (означення 13) i kgnk fk ! 0 (ëåìà 6).

тож числова послiдовнiсть фундаментальна, що й доводить iсну-

gnk (x)

вання функцi¨ g : X ! R, до яко¨ gnk збiга¹ться майже всюди. Теорему доведено.

163

Зауваження 3. 1) Надалi будемо вважати, що iнтегровним функцiям

еквiвалентна вимiрнiй функцi¨, що

прийма¹ лише скiнченнi значення.

2) Бiльш загально. У випадку неповно¨ мiри (пiдмножина множини нульово¨ мiри необов'язково вимiрна) належнiсть f до L1 розумi¹ться в то- му сенсi, що f еквiвалентна (спiвпада¹ майже всюди) вимiрнiй iнтегровнiй функцi¨.

Означення 15. Збiжнiсть в просторi L1 називають збiжнiстю в середньо -

му (позначення: fn ! f).

ñåð.

Вправа 12. 1) Доведiть, що зi збiжностi fn ! f в середньому виходить

çáiæíiñòü çà ìiðîþ: fn ! f.

2) Доведiть, що збiжностi послiдовностi fn 2 L1 до функцi¨ f 2 L1 çà

мiрою недостатньо для збiжностi fn ! f.

ñåð.

9. Граничний перехiд пiд знаком iнтеграла .

Теорема 12 (Лебег). Нехай fn, f вимiрнi функцi¨ на (X; A; ); g 2 L1; äëÿ âñiõ n: jfnj 6 g ì.â. i fn ! f. Òîäi:

Доведення. З теореми 6 (Рiсса) виходить, що iсну¹ пiдпослiдовнiсть fnk , що пряму¹ до f майже всюди. Тож ма¹ мiсце оцiнка: jfj 6 g майже всюди, а

з твердження 14 робимо висновок про належнiсть f до L1 (див. зауваження 3).

164

якого при всiх n > N : An(") < . Через це при всiх n > N одержимо оцiнку:

Зауваження по довiльнiсть " > 0 завершу¹ доведення теореми.

Теорема 13 (Беппо Левi). Нехай послiдовнiсть iнтегровних функцiй fn

з монотонностi fn виходить, що й fn ! f ì.â. Îöiíêà jfnj 6 jfj + jf1j м.в. (звернiть увагу!) дозволя¹ з теореми Лебега (теорема 12) одержати останню рiвнiсть в теоремi.

Теорема 14 (Лема Фату). Нехай fn > 0; fn 2 L1; fn ! f ì.â.; fn d 6

мiрними. Крiм того, 0 6 gn 6 fn. Òîìó gn iнтегровнi (твердження 14);

X

165

Доведення леми. Оскiльки (p 1)(q 1) = 1, то графiки функцiй y = xp 1 i x = yq 1 спiвпадають в першому квадрантi площини xOy. При будь-

(x; y) 0 6 y 6 b; 0 6 x 6 yq 1 . Çâiäñè:

166

Тепер з твердження 14 виходить iнтегровнiсть функцiй fg, а в результатi iнтегрування обох частин останньо¨ нерiвностi одержимо нерiвнiсть:

Z Z Z Z

q p q p

6 jf + gj(p 1)q d jfjp d + jf + gj(p 1)q d jgjp d :

З теореми 16 робимо висновок про те, що Lp ¹ лiнiйним простором. Спро-

f g, ÿêùî f = g м.в. Функцi¨, що дорiвнюють нулю майже всюди в

167

для факторпростору Lp залишити позначення Lp, ототожнюючи при цьому

з леми 8 виходить, що fn 2 L1 i fn фундаментальна в L1 (за нормою L1). Ç повноти L1 виходить iснування f 2 L1, äî ÿêî¨ ïîñëiäîâíiñòü fn çáiãà¹òüñÿ â L1. Доведемо, що f 2 Lp i fn ! f â Lp.

а з теореми 6 виходить iснування пiдпослiдовностi fnk , ùî çáiãà¹òüñÿ äî f майже всюди.

Ôiêñó¹ìî " > 0. Нехай M вибрано так, що при k; j > M викону¹ться

X

168

äî f в просторi Lp.

Вправа 14. 1) Для p = 2 повний нормований простiр L2

в ньому можна ввести скалярний добуток, узгоджений з нормою:

R

=fg d . Доведiть.

X

2) Çáiæíiñòü fn ! f в просторi L2 назива¹ться "збiжнiстю в середньому квадратичному". Доведiть, що збiжнiсть в середньому квадратичному спри- чиня¹ збiжнiсть в середньому.

3) Позначимо через L1 = L1(X; ) множину всiх обмежених вимiрних функцiй на (X; A; ). Доведiть, що L1 ¹ повним нормованим простором з поточковими операцiями i нормою:

(як i ранiше ототожнюються функцi¨, що спiвпадають майже всюди). Нехай X вiдрiзок [a; b]; A борелiвська або лебегiвська -алгебра

в X; класична мiра Лебега довжина . Вiдповiднi простори Lp(X; ) познача¹мо Lp[a; b].

Теорема 18. Простори Lp[a; b] (1 6 p < 1) сепарабельнi.

Доведення. Крок 1. Нехай p = 1. З означення простору L1 виходить, що простi функцi¨ утворюють щiльну пiдмножину в L1. Тому достатньо довести, що сепарабельним ¹ метричний пiдпростiр в L1[a; b], що склада¹ться з iндикаторiв лебегiвських множин A на [a; b] (чому достатньо?). Для кожного " > 0 ¹ скiнченне об'¹днання числових промiжкiв A", для якого(A" 4 A) < " (див. x3). При цьому промiжки можна брати з рацiональни-

k=1

2 , ¹ щiльною злiченною множиною

169

â L1 (ретельно перевiрте!).

Крок 2. Нехай p > 1. Позначимо через Lb пiдпростiр в Lp, що склада-

¹ться з вимiрних обмежених функцiй на (X; A). Перевiримо, що Lb щiльний в Lp.