Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan_bogdanskyj

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

860.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

гальнений sup, для послiдовностi вимiрних функцiй в цiй версi¨ supffng iсну¹ на всьому X i формулювання твердження спрощу¹ться: supffng вимiрна функцiя на (X; A) (обмiркуйте!).

Твердження 10. Нехай ffng послiдовнiсть вимiрних функцiй на (X; A);

. Òîäi

Y = x

nlim!1fn(x) 2 R

Y 2 A i функцiя f(x) = nlim!1fn(x) âèìiðíà

íà

. Аналогiчне твердження для g

= lim

(

AY )

. ßêùî

Доведення. Скориста¹мось формулою: lim fn(x) = inf sup fm(x)

n!1

,n òîm>n

позначити

(x) = sup f

(x)

= x

sup fm(x)

= Y

äëÿ êî-

m>n

m>n 1 12 R

жного n; hn âèìiðíi íà (Y1; AY1 ) i Y =

n=1 m=1

hm(x) > n

2 A

(перевiрте!).

При цьому, як виходить з твердження 9, f âèìiðíà íà (Y; AY ). Вправа 6. Сформулюйте i доведiть аналог твердження 10 для версi¨

функцiй з X â [ 1; +1].

Твердження 11. Нехай ffng послiдовнiсть вимiрних функцiй на (X; A).

Òîäi Y	=		9 n!1	n( ) 2 R	2 A	n!1	n(	x	)	âèìiðíà íà
Òîäi Y		x	lim f	x		i функцiя f(x) = lim f		x		âèìiðíà íà

(Y; AY ).

		n	n!1 n		2 R
n!1				(x)
Доведення. Y = x	lim f (x) =		lim f

= x lim fn(x) 2

n!1

= lim f (x)				!1	n!1
	Tn
2 R		x	nlim fn(x)		lim fn(x) = 0 2 A (обмiркуйте!) i при цьому f =
				Y . Залишилось застосувати твердження 4.
n!1				Y . Залишилось застосувати твердження 4.
	Означення 8. Функцiя f : X					!	R, що визначена на вимiрному просторi
						!

(X; A), назива¹ться простою, якщо вона прийма¹ лише скiнченну кiлькiсть

значень c1; c2; : : : ; cm, причому кожне з цих значень f прийма¹ на вимiрнiй

				kP
iндикатор множини A).			2	kP
множинi, тобто Ak =	x	f(x) = ck	2	A. Iнакше: f = ck jAk (jA
				=1

Вправа 7. Перевiрте вимiрнiсть просто¨ функцi¨.

Теорема 4. Нехай f вимiрна обмежена функцiя на вимiрному просторi (X; A). Тодi iсну¹ послiдовнiсть fn простих функцiй, що рiвномiрно на X

151

n ! 1.

fn çáiãà¹òüñÿ äî f çà ìiðîþ, ÿêùî

пряму¹ до f.

Доведення. Нехай c < f(x) 6 d äëÿ âñiõ x 2 X. Для кожного n 2 N òà

k = 1; 2; : : : ; n покладемо: ak;n =

(n k)c+kd

, Ak;n = x

1;n < f(x) 6 ak;n

òà fn =

ak;njAk;n. Òîäi fn простinфункцi¨ i sup fn(x)

f(x)

d c.

x2X

k=1

Для кожно¨ вимiрно¨ фукцi¨

ïîñëiäîâíiñòü

простих

Íàñëiäîê.

f iñíó¹

функцiй fn, що поточково пряму¹ до f.

Для кожного n 2 N покладемо gn = max n; min(f; n)

Доведення.

Функцi¨

обмеженi, вимiрнi. Нехай

проста

функцiя, для яко¨

sup g (x)

f (x)

поточково збiга¹ться до

n. Òîäi ïîñëiäîâíiñòü

(перевiрте!)

5. Збiжнiсть послiдовностей вимiрних функцiй .

Нехай ¹ простiр з мiрою (X; A; ) (нагаду¹мо: тут i надалi A -алгебра

множин) i f; f1; f2; : : : послiдовнiсть вимiрних функцiй на

(X; A). Íàñ

будуть цiкавити три типи збiжностей послiдовностi fn до функцi¨ f i çâ'ÿçêè

мiж цими типами збiжностей.

Означення 9.

Послiдовнiсть функцiй fn çáiãà¹òüñÿ äî f майже всюди,

ÿêùî x

fn(x) 9 f(x) = 0. Позначення: fn

ì.â.

f (àáî fn

f (mod )).

x fn(x) 9 f(x)

Вправа 8. Перевiрте, що

¹ вимiрною множиною для

f; f1

f ; : : : вимiрних функцiй на

(X; A)

будь-яко¨ послiдовностi

; 2

У подальшому фраза про те, що якась властивiсть викону¹ться майже всюди на X, означа¹, що множина точок, для яких ця властивiсть не викону¹ться, ма¹ нульову мiру.

Означення 10. Послiдовнiсть функцiй

викону¹ться умова: 8" > 0: x fn(x) f(x) > " ! 0 ïðè

Позначення: fn ! f.

Означення 11. Послiдовнiсть функцiй fn çáiãà¹òüñÿ äî f майже рiвно-

мiрно, якщо викону¹ться умова: 8 > 0 9A 2 A: (A ) < ; fn f.

XnA

152

Iнакше кажучи, вилученням множини як завгодно мало¨ мiри досяга¹ться рiвномiрна збiжнiсть. Позначення: fn ! f.

)

ì.ð.

(Лебег)

Теорема 5

ì.â.

f .

fn(x) f(x)

> "o

2 A.

Доведення. Фiксу¹мо " > 0 i нехай An(") = nx

An(") ! 0; n ! 1.

Треба довести:

Послiдовнiсть множин Bn(") =

k>n

Ak(") ¹ монотонно спадною, тому

Bn(")

! n=1 Bn(")

x 2 n=1 Bn(") ) 8n 9k >

(вправа 3). Але

> " (перевiрте!). Тому

> n:

fk(x) f(x)

x 2 n=1 Bn(") ) fn(x) 9

= 0. Висновок: Bn(")

0, звiдки й виходить

f(x)

Bn(")

An(") Bn(")

n=1

результат, оскiльки

Зворотне твердження, взагалi кажучи, не викону¹ться.

Контрприклад. X = [0; 1]; A борелiвська (або лебегiвска) -алгебра

íà X; класична мiра Лебега ( довжина ). Послiдовнiсть функцiй fn

буду¹мо за правилом:

äëÿ n

1; 2; : : : ; 10 : f

(x) = 1, ÿêùî x

(

n 1

;

]; f

(x) = 0, ÿêùî

n 1

2 f

x = (

;

];

n 11

n 10

äëÿ n

2 f

11; : : : ; 110 : f

(x) = 1, ÿêùî x

(

;

]; f

(x) = 0, ÿêùî

100

x = (

n 11

;

n 10

] i т.д. (побудуйте графiки!).

100

0, тому що для будь-якого "

(0; 1) числова послiдовнiсть

Òîäi fn

An(")

! 0; n ! 1;

( An(") =

, n = 1; 2; : : : ; 10; An(")

100

n = 11; 12; : : : ; 100

x 2 (0; 1]

fn(x)

; i т.д.). Однак для всiх

ïîñëiäîâíiñòü

розбiжною (перевiрте!).

Вправа 9. Доведiть, що в позначеннях наведеного контрприкладу послiдовнiсть функцiй f1; f11; f111; : : : збiга¹ться до f 0 майже всюди.

Теорема 6 (Ðiññ). Кожна послiдовнiсть вимiрних функцiй fn, ùî çáiãà¹-

ться за мiрою до вимiрно¨ функцi¨ f, ма¹ пiдпослiдовнiсть fnk , ùî çáiãà¹òüñÿ

153

äî f майже всюди.

Доведення. Нехай fn ! f. Тодi в позначеннях доведення теореми 5,

Доведемо: fn k 2 Nf.

nk 2 N

Ank k

ì.â.

, що задовольня¹ умову:

для кожного

iñíó¹

(Y c)

= 0.

. Òîäi

для кожного x

Y .9Залишилось довести:

fnk (x) !

Нехай Y =

m 8 k

> m:

fnk (x) f(x)

< k1

Îñêiëüêè Y = m=1 k>m Ank

, òî Y c = m=1 k>m Ank

< 21k .

f(x)

Ank

1 (див. вправу 3). Мно-

æèíè

(Y ) =

BS ( ) =

утворюють спадну послiдовнiсть. Тому

k>m

= m!1

m k

lim B

= 0 (див. вправу 3).

Ym 2 A

Теорема 7.

m 2 N

)

ì.ð.

ì.â.

Доведення.

Для кожного

iсну¹ множина

, äëÿ ÿêî¨

(Ym)

òà fn f. Òîìó â êîæíié òî÷öi x 2

Ymc

¹ çáiæíiñòü

XnYm

для кожного k. Òîìó (Z) = 0.

Ym. При цьому Z Yk

fn(x) ! f(x). Доповненням цi¹¨ множини ¹ Z =

Теорема 8 ( горов).

" > 0

Доведення.

ßê i â

)

ì.â.

ì.ð.

доведеннi теореми 5 буду¹мо для

множини

)

n 0; n

n(. )

, äëÿ ÿêî¨

A (") òà B

" . За умов теореми 8 (та теореми 5) було доведено: B

! 1

ìà¹ ìàëó ìiðó:

Фiксу¹мо > 0. Iсну¹ послiдовнiсть множин Bnk

Bnk

(чому?). Тодi множина Y =

Bnk

i <

(вправа 3):

(Y ) 6 k=1

hBnk k

154

Доведемо: fn f.

Y c

Y c = k=1hBnk

k i

= k=1 m>nkhAm k i

\ \

= k=1nx

8 m > nk : fm(x) f(x) < ko:

А це гаранту¹ рiвномiрну збiжнiсть послiдовностi

fn äî f íà Y .

Вправа 10.

1) Нехай fn

ì.â.

f; fn

ì.â.

g. Доведiть: f = g (mod ).

2) Нехай fn

f; fn

g. Доведiть: f = g (mod ).

3) Нехай fn

ì.â.

f; gn

ì.â.

g. Доведiть: fn + gn

ì.â.

f + g; fngn

ì.â.

fg.

4) Нехай fn

f; gn

g. Доведiть: fn + gn

f + g; fngn

fg.

6. Iнтегрування простих функцiй.

Нехай (X; A; ) простiр з мiрою, f

ckjAk проста функцiя

k=1

íà(X; A). Iнтеграл I(f) =

f d =

визначимо рiвнiстю:

f(x) (dx)P

ck (Ak):

I(f) =

(6)

Вправа 11. Перевiрте коректнiсть означення iнтеграла (незалежнiсть значення лiво¨ частини рiвностi (6) вiд вибору множин Ak).

Äëÿ A 2 A iнтеграл просто¨ функцi¨ f по пiдмножинi A визначимо

формулою:

Z Z m

f d = f jA d = ck (Ak \ A):

AX k=1

Твердження 12. На множинi простих функцiй iнтеграл Лебега ма¹ наступнi властивостi:

1)	f > 0 )	X f d > 0	(невiд'¹мнiсть iнтеграла);
		R

155

2) R f d 6 R jfj d 6 sup f(x) (X);

f d = f d +R

f d

X ( f + g) d = X f d + X g d ( ; 2 R) (лiнiйнiсть iнтеграла);

(адитивнiсть iнтеграла).

Доведення.

Проведiть самостiйно.

R i

Нехай

Доведення.

Наслiдок. Нехай f; g простi; f 6 g м.в. Тодi

f d 6

g d .

x f(x) 6 g(x)

A =

Òîäi

A 2 A (A ) = 0

Покладемо c = max f(x) + g(x) . Òîäi g f+c jXnA > 0 (на всiй множинi

x2X

X). З твердження 12 виходить: I(g) I(f) + cI(jXnA) > 0. Залишилось зауважити, що, за означенням iнтеграла, I(jXnA) = 0.

Означення 12. Послiдовнiсть простих функцiй fn назива¹ться фунда- ментальною в середньому, якщо для кожного " > 0 iсну¹ такий номер N =

= N("), ùî äëÿ âñiõ i; j > N ìà¹ ìiñöå íåðiâíiñòü:

jfi fjj d < ":

Ëåìà 3. Нехай послiдовнiсть простих функцiй fn фундаментальна в се-

	множиниn		o			, äëÿ ÿêî¨
редньому. Тодi: 1) числова послiдовнiсть		fn d		збiжна; 2) для кожного
" > 0 iñíó¹ òàêå > 0, ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨		R	D		A		(D) <
		X		2
				2

i âñiõ n ìà¹ ìiñöå íåðiâíiñòü:

jfnj d 6 ":

Доведення. Твердження 1) ¹ наслiдком фундаментальностi числово¨

послiдовностi R

fn d , що виходить з нерiвностi:

Z	fn d Z	fm d	6 Z	jfn fmj d :
X	X		X

156

Доводимо друге твердження. Фiксу¹мо " > 0 i нехай N òàêå, ùî ïðè

âñiõ i; j > N: jfj fij d < ".

X	x2X;k6N	k		C
ìà¹ìî:
Покладемо C =	max	f (x)	òà = "

. ßêùî (D) < , òî äëÿ n > N

Z Z Z

jfnj d 6 jfn fN j d + jfN j d 6 " + C 6 2";

D D D

à äëÿ n 6 N ìà¹ìî: jfnj d 6 C (D) 6 ".

7. Розширення класу iнтегровних функцiй .

Фiксу¹мо простiр з мiрою (X; A; ).

Означення 13. Вимiрну функцiю f : X ! R назива¹мо iнтегровною,

якщо iсну¹ послiдовнiсть простих функцiй fn, яка фундаментальна в сере- дньому i збiга¹ться до f майже всюди. При цьому iнтегралом вiд f за мiрою

назива¹ться число, що визначено рiвнiстю:

I(f) =	f d = lim fn d :	(7)
	n!1
X	X

Коректнiсть цього означення поляга¹ в тому, що границя у формулi

(7) iсну¹ (що ¹ наслiдком леми 3) i не залежить вiд вибору послiдовностi простих функцiй зi вказаними в лемi властивостями. Останн¹ твердження виходить з наступно¨ леми.

Ëåìà 4. Нехай fn i gn послiдовностi простих функцiй, що фундаментальнi в середньому i збiгаються майже всюди до однi¹¨ вимiрно¨ функцi¨

f. Òîäi lim I(fn) = lim I(gn).

n!1 n!1

Доведення. Скориста¹мось теоремою 8 та лемою 3. Фiксу¹мо " > 0. За лемою 3 iсну¹ таке > 0, що для будь-яко¨ множини D з (D) < для

157

кожного n ìà¹ ìiñöå íåðiâíiñòü:

fn d	+	gn d	6 ":	(8)

За теоремою горова iсну¹ множина Y , для яко¨ (Y ) < , а послiдовностi fn òà gn рiвномiрно прямують до f íà X nY (обмiркуйте!). Тому iсну¹ такий номер N, що для кожного n > N викону¹ться нерiвнiсть:

sup

(x)

(9)

(обмiркуйте!).

x2XnY

Тепер з (8) та (9): при кожному n > N ìà¹ìî:

+ Z

fn d Z

gn d

6 Z

fn d

gn d

jfn gnj d 6

6 " 1 + (X) ;

що й доводить лему (обмiркуйте!).

Множину iнтегровних функцiй будемо позначати через L1 = L1(X; ). Ëåìà 5. Нехай f 2 L1; A 2 A. Òîäi f jA 2 L1.

Доведення. Нехай fn послiдовнiсть простих функцiй, що фундамен-

тальна в середньому та fn ! f. Тодi функцi¨ fn jA ¹ також простими,

ì.â.

збiгаються до f jA майже всюди, а фундаментальнiсть в середньому послiдовностi функцiй fn jA ¹ наслiдком нерiвностi: jfn jA fm jAj 6 jfn fmj.

Остання лема ¹ пiдгрунтям до наступного означення.					A 2 A
назива¹ться число			f 2 L1		A 2 A
Означення 14. Iнтегралом Лебега функцi¨				по пiдмножинi
	R	R

f d = (f jA) d .

A X

Теорема 9.		Мають мiсце наступнi властивостi.
1)	f 2 L1	; f > 0 ì.â. )	X f d > 0 ;
			R

158

2) f 2 L1 ) jfj 2 L1;		6 R jfj d ;
2) f 2 L1 ) jfj 2 L1;	R f d	6 R jfj d ;

X X

f вимiрна, обмежена

; X

f d

sup

(X)

)

6 X j

;

4) f; g 2 L1; ; 2 R ) f + g 2 L1;X ( f

+ g) d = X f d +

+ X g d ;

A B f d = A f d + B f d ;

5) f 2 L1; A; B 2 A; A B = ? )

6) f; g 2 L1; f 6 g

ì.â.

)

R f d 6 R g d .

Доведення. Якщо fn послiдовнiсть простих функцiй, яка фунда-

ментальна в середньому i збiга¹ться майже всюди до f, то з нерiвностi

fn jfmj

6 fn fm виходить фундаментальнiсть в середньому послi-

довностij j

функцiй

, ÿêà,

крiм того, майже всюди збiга¹ться до функцi¨

jfj. Òîæ

f 2 L1

)

jfj 2 L1

Êðiì òîãî,

ÿêùî

f > 0

ì.â., òî

ì.â.

= f

. Звiдси властивiсть

j ! j

1). Граничним переходом з нерiвностi

X fn d

6 X jfnj d одержимо вла-

ñòèâiñòü 2).

З теореми 4 та ¨¨ доведення виходить, що для вимiрно¨ обмежено¨ функцi¨ f iсну¹ послiдовнiсть простих функцiй fn, яка рiвномiрно пряму¹ до f i при цьому sup jfnj 6 sup jfj. Властивiсть 3) тепер виводиться з властивостi

2)твердження 12 граничним переходом.

	Доведення властивостi 4) стандартне (перевiрте!).
	Властивiсть 5) ¹ наслiдком 4), оскiльки						jA WB = jA + jB; властивiсть 6)
виходить з властивостей 1) та 4).							jA WB = jA + jB; властивiсть 6)
	Твердження 13 (нерiвнiсть Чебишова).						Нехай f 2 L1 i c > 0. Òîäi
							Z jfj d :
			x	f(x)	> c 6 c		Z jfj d :	(10)
		n			o	1
		n			o		X

159

Доведення. Покладемо Yc = nx	f(x)	> co. Òîäi

jfj d > jfj d > c (Yc):

X Yc

X jfj d ) f = 0 ì.â. .

Íàñëiäîê.

Доведення.

x f(x)

x f(x) > 0 = n=1

> n

6 n=1

> n

[

6 n=1 n

Z jfj d = 0:

Твердження 14.

= max(

f âèìiðíà; g 2 L1

; jfj 6 g

) f 2 L1

Доведення.

Покладемо f

; f

max(

f; 0). Òîäi f =

= f+ f ; 0 6 f+ 6 g; 0 6 f 6 g. Тому твердження достатньо довести лише для невiд'¹мних функцiй f.

Тож нехай f âèìiðíà; 0 6 f 6 g; g 2 L1. Покладемо fn = min(f; n). f вимiрна, обмежена. Тому fn 2 L1. При цьому fn % f (монотонно неспадна, поточкова збiжнiсть); I(fn) 6 I(g). Тому (за класичною теоремою Вей¹рштрасса) числова послiдовнiсть I(fn) ¹ фундаментальною.

За теоремою 4 iснують простi функцi¨ gn, äëÿ ÿêèõ gn(x)						fn(x) 6 n1
(äëÿ âñiõ x	2	X). Òîæ gn	!	f м.в., а фундаментальнiсть	в середньому

послiдовностi gn виходить з низки нерiвностей, що виконуються при n > m:

Z Z Z Z Z

jgn gmj d 6 jgn fnj d + jgm fmj d + fn d fm d 6

X	X		X	X	X
6	n	+ m (X) + Z		fn d Z fm d
	1	1

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20164.05 Mб7Manual_DIR-300_A1_rev_1_0_RUS.pdf
#
17.03.2016522.24 Кб93manuel.doc
#
07.09.2019411.65 Кб1marketing_1-65.doc
#
17.03.20161.5 Mб28MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia (1) (1).docx
#
17.03.20161.57 Mб17MASTER DIPLOMA_Kireeva Anastasia.docx
#
12.05.2015860.79 Кб23matan_bogdanskyj.pdf
#
12.05.20151.15 Mб13Matematyka_vidpovidi_.pdf
#
12.05.2015999.23 Кб12Matemat_vidpovidi_ds.pdf
#
03.08.2019364.7 Кб1materialka.docx
#
01.05.2019169.47 Кб7Materialoznavstvo-ukr.doc
#
12.05.2015597.61 Кб9materialoznavstvofinal.pdf