matan_bogdanskyj
.pdfj |
|
d |
|
sup f |
j |
|
d = sup f |
|
(A). Друга нерiвнiсть |
|
|
R |
|
R |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 6 A |
|
|
A |
|
|
|
A |
|
X |
|
||
|
|
Доведення. |
Îñêiëüêè f |
|
j |
|
sup f |
|
j |
|
(перевiрте!), то |
|
f d = |
|
f |
|
||||||||
|
|
Вправа 10. |
R1) Сформулювати i довести аналоги теорем 5-9 для iнтегра- |
|||||||||||||||||||||
|
A |
|
6 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналогiчно. |
|
|
|
|||
|
A |
|
|
X |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ла по пiдмножинi A 2 A. |
|
|
|
|
|
|
|
RD . |
R |
|
|
|
||||||||||||
|
|
3) ßêùî |
|
|
|
|
(див. вправу 3), то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2) Нехай f; g 2 |
D i fx j f(x) 6= g(x)g = 0. Довести: |
f d = g d . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
Для визначеного iнтеграла (мiра R довжина , див. |
|
2) прийнятi такi |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= c |
|
|
|
|
X |
f d = f(c) (f 2 |
|
) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
позначення: |
R |
f(x) dx = |
|
f(x) dx, ÿêùî a 6 6 6 b òà |
f(x) dx = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
h R; i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R
= f(x) dx, ÿêùî < .
Вправа 11. Довести, що для визначеного iнтеграла властивiсть адитивностi (теорема 10) приводить до рiвностi:
|
|
|
|
|
Z |
f(x) dx + Z |
f(x) dx = Z |
f(x) dx для будь-яких вза¹мних розташувань |
|
|
|
|
|
|
; ; 2 X: |
|
|
|
|
|
Ëåìà 2. |
Нехай ffng послiдовнiсть простих функцiй, що рiвномiрно |
збiга¹ться до функцi¨ f. Тодi для будь-якого A 2 A викону¹ться рiвнiсть:
Z |
Z |
f d = lim |
fn d : |
n!1 |
|
A |
A |
|
Доведення. виходить з нерiвностi: |
A f d A fn d |
6 kf fnk (A). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 11. Нехай |
! |
; |
|
заряд та мiра на вимiрному |
просторi |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(X; A) |
f 2 D i для кожного числового промiжка h ; i X виконуються нерiвностi:
inf f |
|
|
(h |
; |
i) 6 |
! |
(h |
; |
i) 6 sup |
f |
|
|
(h |
; |
i) |
: |
(6) |
||
h |
; |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h ; i |
|
|
|
|
|
|
|
|
21
Тодi для будь-яко¨ множини A 2 A викону¹ться рiвнiсть:
!(A) = Z |
f d : |
A |
|
Доведення. Фiксу¹мо натуральне число n. Нехай fn така проста фун-
1
êöiÿ, ùî kf fnk 6 n. ßêùî íà h ; i функцiя fn прийма¹ стале значення
f |
(k) |
, òî inf f |
f |
(k) |
|
|
|
1 |
|
; sup f |
6 |
f |
(k) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
+ n, а тому з (6) виходить: |
|
|||||||||||||||||||
|
n |
h ; i |
|
> |
n |
h ; i |
|
n |
|
|||||||||||||||||
|
|
fn(k) n |
(h ; i) 6 |
!(h ; i) 6 |
fn(k) + n (h ; i): |
(7) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Îñêiëüêè |
h R; i fn d = fn(k) (h ; i), то (7) перепису¹ться у виглядi: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
fn d n |
(h ; i) 6 |
!(h ; i) 6 |
Z |
fn d + n (h ; i): |
(8) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
h ; i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h ; i |
|
|
|
|
|
З урахуванням адитивностi мiри , заряду ! i iнтеграла як функцi¨ множини, з нерiвностi (8) для будь-яко¨ вимiрно¨ множини A одержимо нерiвностi:
Z fn d n (A) 6 !(A) 6 Z fn d + n (A); |
||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
A |
A |
6 n (X): |
||||
якi рiвносильнi нерiвностi: !(A) A fn d |
||||||
Звiдси, з посиланням на |
ëåìó 2, Rодержимо: |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZZ
!(A) = lim fn d = f d :
n!1
AA
Означення 14. Функцiя f 2 D, що задовольня¹ для кожно¨ вимiр-
R
но¨ множини A ðiâíiñòü !(A) = f d , назива¹ться щiльнiстю заряда !
A
22
вiдносно мiри i познача¹ться: f = d!d . З теореми 11 i твердження 7 ви- ходить, що функцiя f 2 D ¹ ùiëüíiñòþ çiðÿäà ! вiдносно мiри в тому
й тiльки в тому разi, якщо для кожного числового промiжка h ; i X виконуються нерiвностi (6).
5. Iнтеграл та первiсна.
|
|
В цьому параграфi розгляда¹ться виключно визначений iнтеграл. Для |
||||||||
|
|
Твердження 8. |
Нехай f |
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
D. Тодi функцiя F ¹Raнеперервною на X. |
|||||||
функцi¨ f 2 D |
визначимо F за формулою: F (x) = f(t) dt. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+h |
f(t) dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Доведення. F (x+h) F (x) |
= xx |
6 kfk jhj. Òîìó F (x+h) ! |
||||||
|
F (x) ïðè f |
0. |
|
|
|
R |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
! |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
Твердження 9. Нехай f 2 D i f неперервна в точцi x0 2 X. Тодi функцiя |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
F диференцiйовна в точцi x0 i F 0(x0) = f(x0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Доведення. Для кожного " > 0 iñíó¹ > 0 òàêå, ùî |
x |
|
(x0 |
; x0 + |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
jf(x) f(x0)j < " . Òîìó äëÿ x 2 (x0 x ; x0 + 2) x |
X викону- |
|||||||||||||||||||||||||||
+ ) |
|
X |
) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
íåðiâíiñòü: F (x) |
|
F (x |
) |
|
(x x |
)f(x |
) |
= |
|
f(t) dt |
|
f(x |
) dt |
|
|||||||||||||||||
¹òüñÿT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
x0 |
|
|
|
T |
|
|
0 |
|
6 |
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
x |
|
x0 |
|
, звiдки виходить |
ðiâíiñòü: |
|
F (x) |
|
|
F (x0) |
|
||||||||||
6 |
x0 |
|
f(x0) dt |
6 |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
j |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) |
|
|
F (x0) |
|
|
|
||||
(x |
x0)f(x0) = o(x |
|
x |
0) ïðè x |
! |
x0, тобто iсну¹ |
lim |
|
|
|
|
= f(x0). |
||||||||||||||||||||||
x |
x0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!x0 |
|
|
|
|
|
Íàñëiäîê. ßêùî f неперервна на числовому промiжку h ; i, то вона ма¹ на ньому первiсну.
Доведення. Фiксу¹мо p 2 h ; i i розглянемо на h ; i функцiю: H(x) =
x
R
=f(t) dt. Доведемо, що H первiсна функцi¨ f íà h ; i. Ôiêñó¹ìî x0 i
p |
x |
[c; d] h ; i |
|
p òà x0. Çà äîâå- |
беремо довiльний |
|
|||
|
âiäðiçîê |
|
, що мiстить точки |
|
деним функцiя F (x) = Rc |
f(t) dt диференцiйовна на [c; d] i F 0(x0) = f(x0). |
23
Àëå |
c |
|
H òà F |
|
|
[c; d] |
|
H(x) |
||||
|
|
функцi¨ |
|
|
|
вiдрiзняються на |
|
|
лише на константу |
|||
F (x) = p |
f(t) dt . |
|
|
|
|
|
f неперервна |
|||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 12 (Формула Ньютона-Лейбнiця). Нехай функцiя |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
íà [a; b] i äîâiëüíà ïåðâiñíà f íà [a; b]. Òîäi |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Za |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) dx = (b) (a): |
(9) |
Доведення. Оскiльки будь-якi двi первiснi функцi¨ f на [a; b] вiдрiзняються на константу то рiвнiсть (9) достатньо перевiрити для первiсно¨ = F
(перевiрте!).
Теорема 13 (iнтегрування частинами). Нехай функцi¨ u та v неперервно диференцiйовнi на вiдрiзку [a; b]. Тодi ма¹ мiсце формула:
|
|
|
|
Z |
b |
|
|
|
Z |
b |
|
|
|
|
|
|
|
u v0 dx = (u v)(x) ab |
|
v u0 dx; |
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
( |
)0( ) = |
||||||
òóò f(x) ab = f(b) f(a) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
v ¹ первiсною неперервно¨ функцi¨ uv |
x |
||||||||
|
Доведення. Функцiя u |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= u0(x)v(x) + u(x)v0(x), а тому за формулою (9): |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z (u0v + uv0) dx = (uv)(x) ab : |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Теорема 14 (теорема про замiну змiнно¨). |
Нехай функцiя ' визначена |
|||||||||||
|
|
|
|
[ ; ]; f неперервна на областi |
|||||||||
та неперервно диференцiйовна на вiдрiзку |
значень '([ ; ]) функцi¨ '. Тодi функцiя f('(t)) '0(t) iнтегровна на [ ; ]
24
i ì๠ìiñöå ðiâíiñòü:
|
|
'( ) |
|
Z |
f('(t))'0(t) dt = |
Z |
f(x) dx: |
|
|
'( ) |
|
Доведення. Функцiя g(t) = f('(t))'0(t) неперервна на [ ; ] i òîìó
iнтегровна. Нехай первiсна f íà '([ ; ]). Òîäi dtd ('(t)) = f('(t))'0(t) i ('(t)) ¹ ïåðâiñíîþ íà [ ; ] для функцi¨ g. Двiчi застосову¹мо формулу
Ньютона-Лейбнiця:
|
|
'( ) |
|
Z |
f('(t))'0(t) dt = ('( )) ('( )) = |
Z |
f(x) dx: |
|
|
'( ) |
|
Зауваження 3. Iнодi пошук первiсно¨ функцi¨ на вiдрiзку може бути технiчно обтяжливим перевiркою в кiнцевих точках цього вiдрiзка. Так, наприклад, для функцi¨ f(x) = arcsin x класична технiка пошуку первiсно¨
|
|
|
R |
R |
x dx |
|
= x arcsin x + p1 x + C. Проте |
|
|
||||
спрацьову¹ на ( 1; 1), àëå íå íà [ 1; 1]: |
arcsin x dx = x arcsin x p1 x2 = |
|||||
|
2 |
|
знайдена функцiя насправдi ¹ первiсною |
|||
|
|
|
i на всьому вiдрiзку [ 1; 1]. Перевiрка рiвностей 0(1 0) = f(1); 0( 1 +
+ 0) = f( 1) нетривiальна, але необхiдна для застосування формули (9) у
|
|
|
Íà |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
âàðiàíòi: |
f(x) dx = (1) ( 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
допомогу приходить наступне твердження. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Твердження 10. Нехай функцiя f 2 C[a; b] i ïåðâiñíà f на iнтервалi |
|||||||||||||||||
( |
a |
; |
|
|
|
|
|
|
x!a+0 |
( |
x |
) := ( ) |
|
( |
b |
0) = x!b 0 |
( |
x |
) := |
||
|
|
b). Тодi iснують (a + 0) = lim |
|
|
a |
; |
|
|
lim |
|
|
||||||||||
:= (b) i довизначена функцiя ¹ первiсною f íà âiäðiçêó [a; b]. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Доведення. Фiксу¹мо p 2 (a; b). Тодi, за доведеним вище, iсну¹ таке |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
число C, ùî äëÿ âñiõ ax 2 (a; b) викону¹ться b |
|
|
|
|
f(t) dt + C. |
||||||||||||||||
|
|
|
(x) = Rp |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ðiâíiñòü: |
|
|
|
|
|
|
|||
Покладемо: (a) := Rp |
f(t) dt + C; (b) := Rp |
f(t) dt + C. За твердженням |
25
9, довизначена функцiя неперервна на [a; b], çâiäêè (a + 0) = (a),
(b 0) = (b) i при цьому 0(a) = f(a); 0(b) = f(b).
Вправа 12. 1) Нехай функцiя f неперервна на [ a; a]. ßêùî f ¹ парною
|
|
a |
a |
a |
функцi¹ю, то |
Ra |
f(x) dx = 2 f(x) dx, à ÿêùî f непарна, то |
f(x) dx = |
|
0. Довести. |
R0 |
Ra |
2) Нехай функцiя f неперервна на ( 1; +1) i перiодична з перiодом T .
a+T |
f(x) dx не залежить вiд вибору a 2 R. Довести. |
Тодi значення iнтеграла R |
a
У подальшому нам буде корисне наступне твердження.
Ðîçiá'¹ìî âiäðiçîê [a; b] на маленькi вiдрiзки точками x1; x2; : : : ; xn 1, à точнiше покладемо: a = x0 6 x1 6 : : : 6 xn 1 6 xn = b i на кожному
ç |
âiäðiçêiâ |
[xi 1; xi](1 6 i 6 n) ôiêñó¹ìî ïî îäíié òî÷öi: x~k 2 [xi 1; xi]. |
n |
Ñóìó P f(~xk) (xk xk 1) будемо називати iнтегральною сумою . Для
k=1
кожного розбиття (позначимо його символом 4) запровадимо число, що ¹ кiлькiсною характеристикою його дрiбностi:
d(4) = max (xk xk 1):
16k6n
Твердження 11. Нехай f 2 C[a; b] i 41; 42; : : : послiдовнiсть розбит-
òiâ, äëÿ ÿêèõ d(4m) |
! 0; m ! 1. Нехай Sm(f) вiдповiнi iнтегральнi |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
суми для функцiй f. Òîäi iñíó¹ lim Sm(f) i âií äîðiâíþ¹ |
|
f(x) dx. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m!1 |
|
|
|
|
a |
|
|
íà âiäðiç- |
|
Доведення. Беремо " > 0. Рiвномiрна нерерервнiсть |
функцi¨ |
f |
|||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jx yj < ) |
||||||||||
êó [a; b] дозволя¹ |
стверджувати iснування |
> 0 |
, для якого: |
|||||||||||||||||
|
. Нехай |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
f(x) |
|
f(y) . < " |
|
|
|
M натуральне число, для |
якого |
m > M |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
) dj ( |
4 |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
||
m) < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Äëÿ |
розбиття |
m |
вiдповiдна iнтегральна сума Sm(f) ìîæå áóòè iíòåð- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
претована як iнтеграл |
|
fm dx для функцi¨ fm, що визначена за формулою: |
||||||||||||||||||
fm(x) = f(~xk), ÿêùî x Ra |
[xk |
|
1; xk), k = 1; 2; : : : ; m; fm(b) = f(b). При цьому |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для кожно¨ точки x 2 [a; b] викону¹ться нерiвнiсть: jf(x) fm(x)j 6 " (m >
26
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цим твердження доведене. |
|
R |
|
|
R |
j |
|
|
|
j |
|
6 |
|
|
|
|
|
||
a |
|
6 a |
fm |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
M) (обмiркуйте!), а тому |
Sm(f) |
|
f(x) dx |
|
|
|
|
f |
|
dx |
|
"(b |
|
a). |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n + 1 |
||||||||
|
Вправа 13. 1) Застосуйте твердження 11 до пошуку границi |
lim |
|
|
|
|
|
+n + 2 + : : : + n + n .
2)Доведiть аналог твердження 11 для ступiнчастих (простих) фукнцiй.
3)Доведiть узагальнення твердження 11 для довiльно¨ функцi¨ f 2 D.
6. Застосування визначеного iнтеграла для обчислення площi множин на площинi .
В середнiй школi запроваджу¹ться поняття площi многокутника. При цьому пiд базовими маються на увазi такi властивостi площi (цi властивостi можуть бути покладенi в аксiоматику):
1) Адитивнiсть площi: якщо многокутник C склада¹ться з двох менших
A i B (що не перетинаються), то s(C) = s(A) + s(B). Òóò s(F ) площа
многокутника F .
2)Íåâiä'¹ìíiñòü ïëîùi: s(F ) > 0 для кожного многокутника F .
3)Iíâàðiàíòíiñòü площi вiдносно метричних перетворень площини: якщо
g паралельне перенесення, поворот чи симетрiя, то s g(F ) = s(F ) äëÿ
кожного многокутника F .
4) Нормування площi. Якщо F квадрат, сторона якого ма¹ одиничну
довжину, то s(F ) = 1.
Але цей пiдхiд потребу¹ неабияких зусиль при визначеннi площi бiльш складних множин, таких, як, скажiмо, круг.
Наступний пiдхiд дозволя¹ нам поширити поняття площi на значно бiльший запас множин.
Нехай X квадрат в R2, сторони якого паралельнi осям координат. Розглянемо всiляки прямокутники в X (¨х сторони також паралельнi осям координат). Цi прямокутники утворюють сiм'ю пiдмножин N â X i можна розглянути алгебру A0 пiдмножин в X, що породжена сiм'¹ю множин N.
27
Нескладно перевiрити, що множина A належить A0 â òîìó é òiëüêè òîìó разi, якщо вона ¹ об'¹днанням скiнченно¨ кiлькостi прямокутникiв зi сторонами, паралельними осям координат. При цьому, коли ми кажемо про прямокутник зi сторонами [a; b] òà [c; d], òî ìà¹ìî íà óâàçi äîâiëüíó ìíî-
жину, що задовольня¹ вкладення: (a; b) (c; d) [a; b] [c; d], тобто
нам байдуже, якi точки межi прямокутникiв до них залученi.
Вправа 14. Перевiрте останн¹ твердження та переконайтесь, що функцiя : A0 ! R, яка ставить у вiдповiдь кожнiй множинi з A0 ¨¨ площу, ¹ ìiðîþ íà A0.
Нехай A довiльна пiдмножина в X. ¨ можна покрити (i не ¹диним чи- ном) скiнченною кiлькiстю прямокутникiв в X. Кожному такому покриттю
m |
m |
A k поставимо у вiдповiднiсть число |
( k). Оскiльки принаймi |
=1 |
k=1 |
kS |
P |
m |
|
|
m |
|
|
m |
|
|
(A) = inf |
X |
( k) |
|
[ |
: |
|
k=1 |
A k=1 k |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Означення 15. Число (A) назива¹ться |
зовнiшньою мiрою множини |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
A.
Твердження 12. Зовнiшня мiра ма¹ наступнi властивостi:
1)(A) > 0;
2)A B ) (A) 6 (B) ;
3)(A SB) 6 (A) + (B);
4) |
j (A) |
(B)j 6 (A 4 B); |
(10) |
5) äëÿ A 2 A0 |
ì๠ìiñöå ðiâíiñòü: (A) = (A). |
|
Доведення. Властивiсть 1) очевидна; властивiсть 2) ¹ наслiдком тi¹¨ обставини, що кожне покриття B ¹ також покриттям для A. Доведемо
28
властивiсть 3). Для кожного " > 0 iснують такi покриття |
A k=1 k; |
|||||||
|
|
n |
|
|
m |
n |
|
|
B |
k, ùî |
( k) < (A) + "; |
( k) < (B) + ". Îñêiëü- |
|||||
|
|
m+1 |
|
=1 |
k=m+1 |
|
|
|
êè |
k=Sn |
|
kP |
P |
n |
|
||
|
|
k |
k=1 ¹ покриттям для A B, òî (A |
B) 6 ( k) < (A) + |
||||
|
B |
". I посилання на довiльнiсть " > 0. |
k=1 |
|
||||
+ |
P |
|
||||||
|
( ) + 2 |
|
S |
S |
|
|||
|
|
Властивiсть 4) ¹ наслiдком властивостi 3) та вкладень: A B (A4B); |
||||||
B A |
(A 4 B) (обмiркуйте!). Для доведення 5) насамперед |
зауважимо, |
||||||
S |
||||||||
ùî |
A |
|
A |
, тому що множина A |
2 A0 |
розклада¹ться в скiнченне |
||
|
|
(S) 6 |
( ) |
|
|
|
об'¹днання прямокутникiв, що попарно не перетинаються i цi прямокутники утворюють одне з можливих покриттiв множини A. А з iншого боку,
m |
m |
k) 6 |
m |
для будь-якого покриття A |
k ìà¹ìî: (A) 6 ( |
( k) |
|
k=1 |
k=1 |
k=1 |
|
(перевiрте!), звiдки й приходимоSдо зворотно¨ нерiвностi.S |
|
P |
Означення 16. Множину A â X назвемо квадровною (або жордановою),
якщо для кожного " > 0 iсну¹ множина A" 2 A0, äëÿ ÿêî¨ (A 4 A") < ". Сiм'ю всiх квадровних множин (в X) позначимо через A. Як виходить з твердження 12, A0 A. Доведемо, що A ¹ алгеброю множин, а обмеження
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
äëÿ |
|
(A) |
|
|
çîâíiøíüî¨ ìiðè íà |
задовольня¹ всi аксiоми мiри |
A 2 A |
: |
i ¹ |
||||||||||||||||||
площа множини AA; познача¹мо ¨¨ також: s(A) |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jA ¹ |
|||||||
|
|
Теорема 15. |
Квадровнi пiдмножини в X |
утворюють алгебру i |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìiðîþ. |
|
|
Нехай A; B 2 A; " > 0. Беремо A"; B" 2 A0, äëÿ ÿêèõ |
|||||||||||||||||||
|
|
Доведення. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(A 4 A") < "; (B 4 B") < ". Мають мiсце такi вкладення: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(A B) |
|
|
(A" |
|
B") |
|
(A A") (B B"); |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(A SB) |
4 |
(A" |
|
SB") |
|
(A |
4 A") S(B 4 B"); |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(A TB) |
4(A" |
|
TB") |
|
(A |
4A") |
S(B |
4B"), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
4 |
|
|
n |
|
4 |
S |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
звiдки з твердження 12 виходить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(A SB) 4 (A" SB") < 2"; |
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A |
B) |
(A" |
B") |
< 2"; |
(12) |
|
|
(A TB) |
4(A" |
TB") |
< 2". |
|
||
|
|
n |
4 |
n |
|
|
|
ST
З довiльностi " > 0 виходить: A B 2 A; A B 2 A; A n B 2 A.
S
A B äî A i скористатись тим,
ùî (X n A) 4 (X n A") = A 4 A".
Таким чином, A ¹ алгеброю. Залишилось перевiрити лише адитивнiсть
íà A.
T
Нехай A; B 2 A; A B = ?. Беремо A"; B" 2 A0 за тим же сценарi¹м. Òîäi ç (10)-(12) одержимо:
(A _B) (A) (B) |
6 (A _B) (A" [B") + |
|||||
+ (A) |
|
(A") + (B) |
|
(B") + (A" |
B") < 6": |
|
|
|
|
|
|
|
|
При цьому |
була використана |
тотожнiсть: |
(A") + (B") = (A" |
B") + |
||||||||
" |
" |
|
|
|
|
|
( |
T |
) = (?) |
S |
|
|
тельно |
T |
|
|
|
|
|
|
|
= 0. Ðå- |
|||
+ (A |
B ) (див. твердження 2) та рiвнiсть |
|
A B |
|||||||||
|
перевiрте останню нерiвнiсть! |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Посилання на довiльнiсть " > 0 завершу¹ доведення теореми. |
|
|
A; |
|||||||||
Вправа 15. |
1) Нехай A |
2 |
A; (A) = 0; B |
|
A. Довести: |
B |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(B) = 0.
2)Нехай A X i для кожного " > 0 iñíó¹ B 2 A, для якого (A4B) <
<". Доведiть: A 2 A (Висновок: подальше розширення алгебри A вказаною
процедурою неможливе).
Зауваження 4. Аналогiчнi мiркування приводять до поняття жорданових множин в Rn при будь-якому натуральному n. Далi нас буде цiкавити
також випадок n = 3 ( кубовнi множини ).
Зауваження 5. Природне питання про iнварiантнiсть алгебри жорданових множин i площi вiдносно паралельних перенесень, поворотiв та симетрiй площини залишаються повз уваги. Перевiрку цього факту нескладно зробити, якщо скористатись вказаною вище iнварiантнiстю площi для ме-
30