28.Нескінченно великі і нескінченно малі функції і зв’язок між ними. Властивості н.М.Ф.

Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х₀, если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Например, функция у=1/(х-2) есть б.б.ф. при х—>2.Если ƒ(х) стремится к бесконечности при х→х_о и принимает лишь положительные значения, то пишутесли лишь отрицательные значения, тоФункция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой,называется бесконечно большой при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Коротко:Например, у=2х есть б.б.ф. при х→∞.Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. хєN, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность v_n=n²+1, n є N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки х_о является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у=хsinх.)Однако, если limƒ(х)=А при х→x₀, где А — конечное число, то функция ƒ(х) ограничена в окрестности точки х_о.Действительно, из определения предела функции следует, что при х→ х₀ выполняется условие |ƒ(х)-А|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х_о-ε; х_о+ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена. Функция у=f(х) назівается бесконечно малой при х→x_0,еслиПо определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа ε>0 найдется число δ>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-x₀|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|<ε.Аналогично определяется б.м.ф. при х→х_о+0, х→x₀-0, х→+∞, х→-∞: во всех этих случаях ƒ(х)→0.Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, ß и т. д.Пример:х_n=1/n, nєN, — бесконечно малая последовательность. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. . Если функция α(х) — бесконечно малая (α 0), то функция  1/α(х) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция ƒ(х)— бесконечно большая, то 1/ƒ(х) — бесконечно малая.

29.Властивості функцій,що мають границю(обмеженість). Теорема про представлення функції,що має границю. Теорема про єдність границі

30.Арифметичні операції над границями(сума,добуток,наслідки,частка)Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.Следствие 17.3. Функция может иметь только один предел при х→х_о.ПустьПо теореме 17.7 имеем:Отсюда А-В=0, т. е. А=В.Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так какгде α(х) и ß(х) — б.м.ф. СледовательноВыражение в скобках есть б.м.ф. ПоэтомуОтметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Следствие 17.4 . Постоянный множитель можно выносить за знак предела: ▼Следствие 17.5 . Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:Доказательство аналогично предыдущему. Из равенствВторое слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.

14 19 29