24.Матриці і дії над ними

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или у столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в видеМатрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n x n  называют матрицей n-го порядка.Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой O. Сложения и умножение на число. А+В=В+А (а и в числа)

1. А+(В+С)=(А + В) + С

2. А+О=А

3. А-А=О

4. 1*А=А;

5. а*(А+В)=аА+аВ;

6. (а+в)*А=аА+вА

7. а*(вА)=(ав)*А,

8. А*(В*С)=(А*В)*С;

9. А * (В + С) = АВ + АС

10. (А+В)*С=АС+ВС;

11. а(АВ) = (аА)В,

25.Обернена матриця і її застосуванняМатрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие

A*A^-1=A^-1*A=E

где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Теорема 3.1 Всякая невырожденная матрица имеет обратную.Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. ПустьСоставим союзную матрицуи инайдем произведение матриц A,A*

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). Аналогично убеждаемся, чтоРавенства (3.2) и (3.3) перепишем в видеСравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

26.Ранг матриці. Елементарні перетворення матриці(25). Теорема Кронекелля-Капеллі

Выделим в ней k строк и k столбцов (k≤min(m;n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких минoров можно составить  штук, где—число сочетаний изn элементов по k.)Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается  r(A) или rang A.Очевидно, что 0≤r≤min(m; n), где min(m; п) — меньшее из чисел m и n.Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы. Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений

27.Границя функції. Односторонні границі. Границі послідовності

Односторонние пределыПусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки х_о, кроме, быть может, самой точки х_о.Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x₀ (или при х х_о), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, n є N (x_nx₀), сходящейся к х_о последовательность соответствующих значений функции ƒ(х_n), n є N, сходится к числу АВ этом случае пишутили ƒ(х)—>А при х→х_о. Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х_о, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.Определение 2 (на «языке ε», или по Коши).число А называется пределом функции в точке х_о (или при х→х_о), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все хх_о, удовлетворяющих неравенству |х-х_о|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Геометрический смысл предела функции:если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х_о, что для всех ххо из етой  δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).В   определении   предела   функциисчитается, что х стремится к x₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем x₀ (слева от х₀), большим, чем х_о (справа от х_о), или колеблясь около точки x₀.Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х_о существенно влияет на значение придела  функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.Число А₁ называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке х_о, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х₀-δ;x_o), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х₀-0 или коротко: ƒ(х_о-0)=А₁ (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают ƒ(х_о+0)=А.Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует  , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А₁=А₂.Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х₀-0) и ƒ(х₀+0) и они равны, то существует предел и А=ƒ(х₀-0).Если же А₁А₂, то етот придел не существует.Число α называется пределом последовательности (х_n), если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство|х_n-α|<ε                                             (15.2)В этом случае пишут  и говорят, что последовательность {х_n} (или переменная х_n, пробегающая последовательность x₁, x₂, х₃,...) имеет предел, равный числу α (или х_n стремится к α). Говорят также, что последовательность сходится к а.Коротко определение предела можно записать так: