9.Мішаний добуток векторів,його обчислення і властивості. Геометричний зміст мішаного добутку. Необхідні і достатні умови для компланарності трьох векторів

Розгланемо мішаний добуток векторів а, в та с,складене наступним чином (axb)c. Тут перші два вектора перемножуються векторно а їх результат скалярно на третій вектор. Такий добуток називається векторно скалярним або мішаним добутком трьох векторів. Представляє з себе деяке число. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах,равен модулю их смешанного произведения. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b , с и вектор d =ахb (см. рис. 22).

 Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • пр_dс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, пр_dс = Н Для правой тройки векторов и пр_dс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипе­да. Получаем: (axb )*c =S *(±H ), т. е. (axb )*c =±V , где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с. 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b )•с=(b х с)•а=(с х а)•b .Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер 2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb )•с=а*(bx с).Действительно, (ахb )•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а , b , с и b , с , а — одной ориентации.Следовательно, (a хb )•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b )с в виде abc  без знаков векторного, скалярного умножения.3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc =-cba .Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.Если abc =0 , то а, b и с— компланарны.Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V 0. Но так как abc =±V , то получили бы, что abc0 . Это противоречит условию: abc =0.Обратно, пусть векторы а, b , с — компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b ,с, и следовательно, d с. Поэтому d •с=0, т. е. abc =0.

10.Рівняння площини що проходить через задану точку,перпендикулярно заданому вектору. Загальне рівняння площини та його дослідження. Геометричний зміст рівняння першого степеня з трьома змінними

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой и вектором, перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точкуи составим вектор. При любом расположении точки Μ на плоскости Q векторыивзаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:, т. е.

         (12.3)Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них ). Уравнение (12.3) называется уравнением  плоскости,   проходящей через данную точкуперпендикулярно вектору. Оно первой степени относительно текущих координат x, y, z. Векторназывается нормальным вектором плоскости.Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей череp точку M0. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) - уравнением связки плоскостей. Общее уравнение плоскости Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными х, у и z: (12.4)Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например , перепишем уравнение (12.4) в виде(12.5) Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку.Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.Частные случаи общего уравнения плоскости:1.  Если D = 0, то оно принимает вид. Этому уравнению удовлетворяет точка. Следовательно, в этом случае плос­кость проходит через начало координат.2.  Если С = 0, то имеем уравнение. Нормальный векторперпендикулярен оси Οz. Следовательно, плоскость параллельна оси Οz; если B = 0 — параллельна оси Оу, А = 0 — параллельна оси Ох.3.  Если С = D = 0, то плоскость проходит черезпараллельно оси Οz, т. е. плоскостьпроходит через ось Οz. Аналогично, уравнениямиAx+Cz=0 отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ох и Оу. 4.  Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид Cz+D=0, т. е. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично, уравнениямиотвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Οxz.5.  Если A = B = D = 0, то уравнение (12.4) примет видCz=0, т. е. z = 0. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у = 0 — уравнение плоскости Οxz; x = О — уравнение плоскости Oyz.