Фізичний зміст інтеграла Мора:

Це робота одиничної сили на переміщенні її точки прикладення від заданого навантаження, якщо інтеграл Мора має знак «+» то напрям одиничного навантаження співпадає з напрямком шуканого переміщення, знак «-» напрямки протилежні.

Послідовність визначення переміщення за допомогою інтеграла Мора:

1. Скласти рівняння згинальних моментів для кожної з ділянок від зовнішніх сил.

2. Звільнивши балку від заданого навантаження, прикласти до неї силу, яка дорівнює одиниці в тій точці де визначається прогин і в напрямку прогину. Якщо визначається кут повороту, то в точці потрібно прикласти одиничний безрозмірний момент .

3. Скласти рівняння згинаючих моментів від одиничної сили або від одиничного моменту для кожної ділянки балки.

4. Обчислюємо суму інтегралів Мора по ділянках.

Лекція № Спосіб Верещагіна

Обчислення інтегралів Мора суттєво спрощується для систем, які складаються з прямих брусів, оскільки для них епюри від одиничного навантаження обмежені прямими лініями.

Обчислимо інтеграл

у випадку, коли епюра від зовнішнього навантаження

довільна, а від одиничної – прямолінійна.(рис. 7.4).

Позначимо:

- площа нелінійної епюри M_P(x) від зовнішнього навантаження,

C – її центр ваги,

- ордината епюри від одиничного навантаження під центром ваги епюри M_P(x).

Очевидно, .

Тоді

.

Інтеграл є статичний момент площівідносно осі y, тому.

Підставляючи це рівняння, одержимо:

, тобто.

Отже, якщо одна з епюр лінійна, то інтеграл Мора дорівнює добутку площі нелінійної епюри на ординату прямолінійної епюри, взятої під центром ваги епюри нелінійної. Оскільки епюра M_P(x), як правило, складна – це ряд графіків різних кускових функцій, то обчислення виконують, розбиваючи епюри на ділянки так, щоб одна з епюр була обов’язково лінійна на цій ділянці, а для другої можна було б визначити площу і положення центра ваги.

Загальна формула для визначення переміщення способом Верещагіна має вигляд:

(7-5)

Це математичний вираз правила Верещагіна: переміщення дорівнює сумі добутків площі нелінійної епюри згинальних моментів на ординатулінійної епюри, взяту під центром ваги нелінійної, поділеному на жорсткість перерізуEI_Z при згинанні.

Оскільки ми розглядаємо балки постійної жорсткості, тобто EI_Z=const, то її можна винести за знак суми.

Обчислення інтеграла Мора за правилом Верещагіна часто називають способом перемноження епюр. При цьому епюру M_P(x) називають вантажною, а - одиничною.

Площі епюр на відстані до їх центрів ваги

hl

hl

hl

 hl

Дані для параболічних епюр вірні за умовою, що т.я. – це вершина параболи, тобто дотичне в цій точці паралельна осі балки.

Практичні рекомендації щодо застосування способу Верещагіна

1. Добуток площі вантажної епюри на ординату лінійної вважається додатнім, якщо епюри розташовані по один бік від базової лінії.

2. Якщо в межах однієї силової ділянки вантажна і одинична епюри прямолінійні, то все одно , площу якої епюри брати, і на ординату якої множити.

3. Якщо в межах силової ділянки одна із епюр криволінійна, а інша ламана, то слід розбити другу епюру на ділянки, в межах яких вона лінійна.

4. Якщо вантажна епюра і одинична епюра ламані і границі їх ділянок співпадають, то треба розбити ці дві епюри на лінійні ділянки. При цьому може статися, що на одній з ділянок краще брати площу епюри Mp, а на іншій площу епюри M1. Завжди треба брати площу тієї епюри, яка в межах даної ділянки однозначна.

Mp

M1

5.Складні епюри розбивають на ділянки, в межах яких одна з епюр обов’язково лінійна, і беремо ординату лінійної епюри, площу – будь-якої, потім підсумовуємо їх добутки по всій довжині балки.

6. Епюри, побудовані спеціально для застосування правила Верещагіна, не штрихують.

7.Іноді виявляється зручним будувати вантажну епюру у так званому розшарованому вигляді. Суть цього розшарування полягає в наступному: рівняння згинального моменту M(x) являє собою складну функцію.

Наприклад, для балки на рис. 7.5, для ІІІ ділянки

M(x) = -Px + M – q(x-b)²/2.

Замість того, щоб будувати графік цієї складної функції, для (рис. 7.5,а) перемноження епюр доцільно побудувати графіки від кожного доданку (тобто окремі епюри) (рис.7.5,б).

При цьому розшаровану вантажну епюру будують по одиничній в залежності від місця зламу на одиничній епюрі.

Лекція №

Основи розрахунку статично невизначених систем

реакції зв’язків визначалися за допомогою рівнянь рівноваги, а Раніше ми розглядали конструкції (або системи), для яких всі потім за методом перерізів (який також базується на рівняннях рівноваги) визначалися внутрішні зусилля у перерізі. Такі системи називаються статично визначеними .

Існують і так звані статично невизначені системи, які мають так звані “зайві” зв`язки, і рівнянь статики не достатньо для визначення реакцій зв’язків відповідно і внутрішніх зусиль. “Зайвий” зв`язок є таким з умови рівноваги або з геометричної незмінності системи, але може бути необхідним виходячи з умов міцності або жорсткості. Таким чином статично- невизначеними називаються конструкції ,зусилля в елементах яких не можна визначити тільки з рівнянь статики. У статично невизначених системах кількість невідомих зусиль ,що треба визначити, більше ніж кількість рівнянь статики, які для цього можна використати. Різниця між кількістю невідомих і кількістю рівнянь статики визначає кількість зайвих невідомих або ступінь статичної невизначеності конструкції. Коли є одна зайва невідома – це один раз статично невизначена система, дві зайві невідомі – двічі статично невизначена система і т. д.

Приклади статично невизначених систем

Для розв’язку статично невизначених задач потрібні додаткові рівняння ,окрім рівнянь статики. Такими рівняннями є рівняння переміщень, тобто рівняння, що встановлюють зв’язок між переміщеннями в системі . Їх називають рівняннями сумісності деформації і одержують їх з розгляду переміщень і деформації в заданій конструкції. Найбільш загальним методом вирішення статично невизначених задач (або розкриття статичної невизначеності) є метод сил.

Його сутність у наступному : задану статично невизначену систему перетворюємо у статично визначену, усуваючи зайві зв’язки, а їх дії заміняємо відповідно реакціями. Значення цих реакцій визначаємо так, щоб ця система деформувалася так як задана статично невизначена система. І оскільки невідомими тут виявляться сили, звідси і назва – метод сил.

Отже порядок розрахунку за методом сил полягає у наступному:

1. Відкидаємо зайві зв’язки, перетворюючи задану статично невизначену систему у статично визначену і геометрично незмінну. Знявши і зовнішнє навантаження, маємо основну систему.

2) Основна система, що навантажена заданим зовнішнім навантаженням та реакціями усунутих зв’язків які треба визначити, має бути еквівалентна заданій системі (тобто напруження та деформації мають бути однаковими). Умовою еквівалентності навантаженої основної системи і заданої системи буде рівність нулю переміщення точки у тому місці де був відкинутий зайвий зв'язок по його напрямку, тобто:

Р

Х₁

Δ₁ = 0

Д

Р

Р

ля багато разів статично-невизначеної системи:

Х₁

Х₂

Х₃

Для n – разів статично-невизначеної системи:

Δ₁ = Δ₂ = … = Δ_n = 0

Таких рівнянь можна скласти стільки, скільки зайвих зв’язків має система. Виходячи з принципу незалежності дії сил кожне таке рівняння можна записати у вигляді:

Δ₁ = Δ₁₁ + Δ₁₂ + … + Δ_1n + Δ_1p = 0

Δ₂ = Δ₂₁ + Δ₂₂ + … + Δ_2n + Δ_2p = 0

Де перший індекс – напрямок переміщення, а другий – це сила, яка викликає це переміщення. Тобто певні переміщення Δ_i ; i = 1,2 … подаються у вигляді суми переміщень, які викликаються окремо кожної з невідомих сил Х₁, Х₂, .. Х_n та заданого навантаження Р.

Так як переміщення пропорційні навантаженню (система лінійно деформована) то можна записати:

Де Х₁, Х₂, .. Х_n - невідомі реакції, δ_11,…δ_n – питоме переміщення точки 1 від одиничних сил Х₁ = 1, Х_n = 1; δ_12,…δ_1n – питоме переміщення точки 1 від сил Х₂ = 1, Х_n = 1.

Тоді для будь-якої кількості невідомих можна записати систему рівнянь:

Тоді система рівнянь може бути записана у вигляді:

Ці рівняння називають канонічними рівняннями метода сил. Питомі переміщення δ_ij та переміщення Δ_iP визначають за методом Мора або способом Верещагіна. Кожне рівняння вказує на те, що сумарне переміщення за напрямком відкинутого зв’язка, викликане зовнішнім навантаженням та реакціями відкинутих зв’язків, дорівнює нулю

Відмітимо що:

δ₁₂ = δ₂₁ δ_1n = δ_n1 δ_ij = δ_ji

Питомі переміщення, що мають однакові індекси називаються головними коефіцієнтами канонічних рівнянь, вони завжди додатні ( >0 )

Питомі переміщення δ_ij , i≠j називаються побічними коефіцієнтами.

Наприклад при згині:

При розтягу-стиску:

При крученні:

.

Оскільки величини тає переміщеннями, відповідно- одиничні переміщення відХ_i=1; і - переміщення від зовнішнього навантаження, для їх визначення зручно використовувати спосіб Верещагіна.

Приводимо тут формули Верещагіна для визначення переміщень, відповідно:

при розтягу-стиску (перемножуються епюри поздовжніх сил)

, (8-2)

де N_P – поздовжня сила від заданого навантаження;

- поздовжня сила від X_i=1;

при крученні (перемножуються епюри крутних моментів)

, (8-3)

де - жорсткість при крученні;

при згинанні (перемножуються епюри згинальних моментів)

, (8-4)

де EI_Z – жорсткість при згинанні.

Відмітимо, що і т.д.

Оскільки ми обмежуємося розкриттям статичної невизначеності найпростіших систем, приводимо систему канонічних рівнянь для два рази статично невизначеної конструкції:

(8-5)

і канонічне рівняння для один раз статично невизначеної конструкції:

. (8-6)