- •Лекція №
- •Епюри q та m при згині
- •Диференціальні залежності при згинанні
- •Побудова епюр при згині балок
- •Лекція №
- •Вибір раціональної форми перерізу
- •Енергетичні методи визначення переміщень Теорема Клапейрона :
- •Інтеграл Мора
- •Фізичний зміст інтеграла Мора:
- •Послідовність визначення переміщення за допомогою інтеграла Мора:
Епюри q та m при згині
1)
Q(x) =-P
M(x) =-P*x
2)
Q(X) =-
M(X) =
3)
Ra=Rb=
Q(X)=Ra-
M(X)=
M()=-max момент
4)
Ra=Rb=
Q(X)=Ra
M(X)=
M(a)=
5)
Диференціальні залежності при згинанні
Виділимо малий елемент dx- це О1О2
q=dQ/dx |
∑Y=0 Q+q∙dx-(Q+dQ)=0
∑Mo2=0 M+Q∙dx+(q∙dx∙dx)/2-(M+dM)=0
M+Q∙dx+q∙ (dx)2/2-M-dM=0
q∙ (dx)2/2=0 в силу його малості
Q=dM/dX |
q=d2M/dx2 |
Побудова епюр при згині балок
∑МА=0 qa∙2a-q∙2a∙a-2qa2-RB∙2a=0
RB=-qa
∑МB=0 qa∙4a-q∙2a∙3a+RA∙2a-2qa2=0
RA=2qa
∑Yi=0 P-2qa+RA-RB=0
qa -2qa+2qa-qa=0
I 0 ≤ x ≤ 2a
Q(x)= qa-qx M(x)= Px-qx2/2=qa∙x-qx2/2
Q(0)=qa; Q(2a)=-qa M(0)=0 M(2a)=2qa2-2qa2=0
Q(x)=qa-qx=0 x=a M(a)= qa2-qa2/2=qa2/2
II 2a ≤ x ≤ 4a
Q(x)=qa-2qa+2qa=qa M(4a)=4qa2-6qa2+4qa2=2qa2
M(x)=qa∙x-2qa∙ (x-a)+2qa∙ (x-2a) M(2a)=2qa2-2qa2=0
Лекція №
Визначення нормальних напружень при згинанні
При прямому поперечному згинанні у поперечному перерізі балки виникають два внутрішніх зусилля Q та М; залежності між цим зусиллям та напруженнями у поперечному перерізі балки такі:
.
Отже, в поперечних перерізах балки при згинанні виникають як дотичні напруження так і нормальні напруження. Дотичні напруження при згинанні балок у переважній більшості випадків не враховуються. Особливі випадки коли величиною дотичних напружень знехтувати не можливо, тут не розглядаються.
Статична сторона задачі
Для виводу формул, що визначають нормальні напруження, які виникають в поперечному перерізі балки, розглянемо балку, що знаходиться в умовах чистого згину (рис. 6.13), тобто Q = 0 і дотичні напруження відсутні. Двома нескінченно близькими поперечними перерізами виділимо з цієї балки елемент довжиною dx (рис. 6.13,а).
Переріз балки прямокутник. В площині перерізу проведемо координатні осі (рис.6.13,б).
Приймаємо, що вісь збігається з силовою лінією (лінію перетину силової площини з площиною перерізу); вісь z проведемо перпендикулярно осі у ; вісь х направлена перпендикулярно до площини перерізу. У перерізі виділимо елемент з площею dF (точка А), його координати – у, z. При чистому згинанні (Q=0, ) на елемент діє зусилля dN = dF. Тоді з шести інтегральних рівнянь можна використати три:
Але цих трьох рівнянь статики не достатньо для визначення , тому що невідомий закон розподілу σ по перерізу та розташування осі Z.
Геометрична сторона задачі
Розглянемо картину деформацій цієї балки. Якщо на еластичну балку нанести сітку з ліній паралельних і перпендикулярних осей, то при чистому згинанні прямокутна сітка деформується так що:
поздовжні лінії викривлюються по дузі кола;
поперечні лінії лишаються прямими і нахиляються одна до одної;
поперечні лінії з поздовжніми перетинаються під прямим кутом (рис. 6.13,в).
На основі такої картини можна вважати, що при чистому згині поперечні перерізи лишаються плоскими і повертаються, лишаючись перпендикулярними до осі балки , тобто при чистому згинанні справедлива гіпотеза плоских перерізів.
Можна вважати, що відстань а між поперечними перерізами змінюється а1 < a, a2 > a , а саме верхні волокна скорочуються, а нижні – витягуються. Очевидно, що серед них є такі волокна які не змінюють своєї довжини. Сукупність таких волокон називають нейтральним шаром (рис. 6.13). Лінія перетину нейтрального шару із площиною поперечного перерізу балки називається нейтральною лінією Будемо вважати вісь z нейтральною віссю. Беручи до уваги картину деформацій, зобразимо деформований стан елемента dx ( рис. 6.14).
Виділимо елемент балки двома суміжними поперечними перерізами m – m та n – n, які розташовані один від одного на відстані dx.
Розглянемо тепер цей елемент після деформування :
Н.С.
- радіус кривизни.
Фізична сторона задачі.
На елементарній площадці дотичних напружень немає. Волокна матеріалу не тиснуть одне на одне. Таким чином волокно a b перебуває в лінійному напруженому стані:
;
/ \
дотичних волокна не
напружень тиснуть одне
нема на одне
Синтез:
- закон Гука при згині; (добуток) – називається жорсткістю перерізу при згині
- формула Нав’є.
Формула Нав’є показує, що при згині нормальні напруження розподіляються за лінійним законом.
- Показує, що центр ваги лежить на осі Z.
- Показує, що вісі Z та y головні центральні. Тобто вісь Z нейтральна лінія перерізу проходить через центр ваги, а осі y та z – головні центральні осі перерізу.
Тобто вісь z – нейтральна лінія перелізу проходить через центр вала, а вісі у та z – головні центральні вісі перелізу. Формула Нав’є показує, що незалежно від формі та розмірів перерізу балки, напруження в точках нейтральної лінії завжди дорівнюють 0. Величина змінюється лінійно по товщині балки.
Максимальні напруженнямають місце в найбільш віддалених від нейтральної лінії волокнах. У випадку симетричного перерізу:
- осьовий момент опору
де
осьові моменти опору
Якщо переріз балки не має горизонтальної осі симетрії, то нейтральна лінія зміщена відносно середини висоти перерізу, але знову
; де
Для простіших перерізів:
П рямокутник:
Wz = 2Iz/h = bh32/12h = bh2/6 (6-5)
Wy = Iy2/b = hb2/6
К оло:
Wy = Wz = 2Iocн/d = d4/64d = (6-6)
Кільце:
Wz = Wy = D3 (1-α4 )/32, (6-7)
де α = d/D – відношення внутрішнього до зовнішнього
діаметра кільця.
Для прямокутного перерізу
Для кругового
Для кільцевого
Для прокатних профілів значення Wz та Wy вказані у таблицях
Якщо переріз складний то визначаємо . Далі знаходимопотім.
Затрати матеріалу пропорційна площі поперечного перерізу F. Отже чим більше відношення W/F, тим більший згинальний момент витримує переріз заданою площею.
тобто переріз має бути розташованим так, щоб осьовий момент інерції був найбільший.
Умова міцності для нормальних напружень:
Тепер можна записати умову міцності для нормальних напружень при згинанні:
max = Mmax/Wz ≤ [] (6-8)
Умова міцності при згинанні дозволяє виконувати три типи розрахунків: перевірочний, проектувальний та визначення допустимого навантаження. Значення [] береться те ж, що і при розтяганні – стисканні; Мmax – у небезпечному перерізі за епюрою згинального моменту.
Якщо розглядаються балки з пластичного матеріалу, не має різниці для яких волокон записати умову міцності – стиснутих або розтягнених, для пластичних матеріалів [+] = [ -] .