5. Геометричний метод знаходження ймовірності

Розглядається експеримент з рівноможливими наслідками, які можна зобразити точками деякої області -вимірного простору ;– це простір елементарних подій. Подіями є всі вимірні підмножини області. “Рівноможливість” наслідків означає, що ймовірність попадання точки у будь-яку підмножинупропорційна її мірі (довжині, площі, об’єму тощо) і не залежить від розташування та форми. У цьому випадку може бути використаний геометричний метод знаходження ймовірності, згідно з яким ймовірність подіївизначається за формулою:

, (19)

де – міра Лебега на. Розглянемо деякі типові приклади.

Приклад 1 (задача про зустріч). Два приятелі домовилися зустрітися протягом певного часу . Перший приятель може чекати другого не більше ніж час, а другий чекає першого лише час. Чому дорівнює ймовірність зустрічі приятелів, якщо кожен з них незалежно від іншого може прийти рівноймовірно у будь-який момент проміжку часу.

Розв’язання. Позначимо моменти приходу першого та другого приятелів через тавідповідно. Тоді простір елементарних подіймає вигляд (рис. 2):

Рис. 2.

Множина точок, що сприяють зустрічі, визначається нерівностями

Очевидно, що

,

Тому згідно з (19) маємо

Приклад 2 (голка Бюффона). Розглянемо площину, що розділена паралельними прямими, які знаходяться на відстані одна від одної (рис. 3). На площину навмання кидається голка, що має довжину. Треба знайти ймовірність того, що голка перетне хоча б одну з прямих (у випадкуголка може перетнути декілька прямих).

Рис. 3.

Розв’язання. Положення голки однозначно визначається відстанню від центра голки до найближчої прямої та кутом, що утворює голка з цією прямою. Очевидно, щоі, тобто простір елементарних подійє прямокутником (рис. 4 та 5):

Для того, щоб голка перетнула одну з прямих необхідно і достатньо виконання умови , тобто

Розглянемо два випадки.

А. (рис. 4). Очевидно, що

,

В. (рис. 5). У цьому випадку маємо

У випадку за допомогою голки Бюффона можна наближено обчислити число. Дійсно, нехай було проведеноекспериментів, в кожному з яких досліджувалось чи перетнула голка пряму, чи ні. Позначимо черезкількість експериментів, у яких відбувся перетин. Згідно з посиленим законом великих чисел

з ймовірністю 1.

Звідси випливає, що

з ймовірністю 1,

тобто за допомогою достатньої кількості експериментів можна обчислити число з будь-якою точністю.

Приклад 3 (парадокс Бертрана). У колі навмання будується хорда. Чому дорівнює ймовірність того, що її довжина перевищує довжину сторони рівностороннього трикутника, вписаного в це коло?

Розв’язання 1. Розглянемо коло з довільним діаметром . З міркувань симетрії можна наперед визначити напрямок хорди(рис. 6). Проведемо діаметр, що перпендикулярний цьому напрямку. Хордаможе перетнути діаметру будь-якій його точці (міра цих точок дорівнює). В той же час лише точки, що лежать у проміжку віддозадовольняють умові задачі. Тобто шукана ймовірність дорівнює.

Рис. 7.

Розв’язання 2. З міркувань симетрії можна наперед зафіксувати один з кінців хорди на колі у деякій довільній точці (рис. 7). Побудуєморівносторонній трикутник , вписаний у коло. Легко бачити, що дотичнадо кола у точціта дві сторони трикутникаірозбивають кут уна три рівні частини. Довжина хордиперевищує довжину сторони рівностороннього трикутника тоді і тільки тоді, коли ця хорда проходить всередині кута. Тому ймовірність бажаної події дорівнює.

Розв’язання 3. Для того, щоб визначити положення хорди, достатньо задати місцезнаходження її середини (рис. 8). Хорда задовольняє умову задачі, якщо її центр попадає в середину кола, вписаного у правильний трикутник . Радіус цього кола удвічі менший за радіус описаного кола.Оскільки площа круга пропорційна квадрату його радіуса, то ймовірність бажаної події дорівнює .

З’ясуємо, чому були отримані три різні відповіді, на перший погляд, однієї й тієї ж задачі. Відповідь криється у першій же фразі у постановці задачі: “У колі навмання будується хорда”. Термін “навмання” допускає неоднозначність інтерпретації. В залежності від інтерпретації розв’язуються фактично три різні задачі.

У першому випадку центр хорди рухається уздовж фіксованого діаметру кола (одновимірна задача), у той час як у третьому випадку центр хорди може попасти у будь-яку точку круга (двовимірна задача). У другому ж випадку хорда закріплюється на шарнірі у точці кола і її положення визначається кутом із дотичною до кола у точці, який може приймати значення віддо(також одновимірна задача).