Двійкова арифметика в комп'ютерах

Додавання цілих багаторозрядних чисел у двійковій системі числення здійснюється порозрядно. У результаті додавання 1 + 1 одержуємо 10₂= 2₁₀. Для представлення такого результату потрібно два розряди; при цьому з молодшого розряду в наступний, більш старший розряд, надходить одиниця переносу. Перенос додається до відповідного розряду чисел, що додаються (рис. 8).

Рис.8 Схема додавання цілих багаторозрядних чисел

Наприклад, додавання додатніх цілих чисел:

Додавання дійсн чисел виконується аналогічно додаванню цілих чисел. Номера розрядів визначаються їх розташуванням у числі щодо коми, яка відокремлює цілу частину від дробової. Порядок додавання не залежить від розташування коми. Наприклад,

Операції віднімання, множення, ділення здійснюються за допомогою операції додавання.

Операцію віднімання замінюють операцією додавання у відповідності з наступною формулою:

.

Під час виконання операції алгебраїчного додавання додатні числа подаються прямим кодом, а від'ємні - додатковим. Потім виконується арифметичне підсумовування цих кодів, включаючи знакові розряди, які при цьому розглядаються як старші. У разі виникнення одиниці перенесення зі знакового розряду ця одиниця вилучається.

Приклади.

1. Відмімання цілих чисел, коли зменшуване за абсолютною величиною більше від'ємника:

23 - 13 = 23 + ( -13 ) = 10

(-13)₁₀ = (1 0001101)_пр. = (1 1110010)_об. = (1 1110011)_доп.

2. Відмімання цілих чисел, коли зменшуване за абсолютною величиною менше від'ємника:

7 - 13 = 7 + ( -13) = -6

Оскількирезультат від'ємний (біт знаку містить одиницю), то він представлений у додатковому коді. Для перевірки правильності виконання операції потрібно перейти до прямого коду, який визначає абсолютне значення результату. Для цього потрібно:

1. відняти від додатковогокода 1: 11111010_д - 00000001 = 11111001_о

2. проінвертувати обернений код для переходу до прямого: 10000110_п

3. Відмімання цілих чисел, коли і зменшуване, і від'ємник - від'ємні числа:

- 7 - 13 = (-7) + (-13) = -20

(-7)10 Прямий код: 1 0000111 Обернений код: 1 1111000 Додатковий код: 1 1111001

(-13)10 Прямий код: 1 0001101 Обернений код: 1 1110010 Додатковий код: 1 1110011

1 0010100_п- прямий двійковий код числа( -20 )₁₀

У більшості комп’ютерів операція множення виконується як послідовність операцій додавання та зсуву. Наприклад, множення двох додатних чисел.

х	1101
	1011
	1101
1101
1101
10001111

Перевіримо:

1101₂ =13,

1011₂ =11,

13х11 =143,

10001111₂ =2⁷+2³+2²+2¹+2⁰ = 128+8+4+2+1 = 143

Основою ділення є загальновідомий спосіб ділення за допомогою операцій віднімання чи додавання та зсуву (ділення у стовпчик). Ділення виконується як послідовність віднімань дільника спочатку від діленого, а потім і від часткових залишків, які утворюються у процесі ділення.