Подання числових даних

Кількість двійкових розрядів, які використовуються комп'ютером для записування даних, фіксована (зазвичай дорівнює 32, 64) і називається його розрядною сіткою.

Під машинним поданням числа розуміють спосіб (структуру, порядок) розміщення бітів числа в розрядній сітці комп’ютера.

Через обмеження довжини машинних слів, множина чисел, які можна представити в ЕОМ, є кінцевою. Порівняння різних форм представлення чисел в комп'ютерах зазвичай проводиться на основі оцінки діапазону і точності представлення числа.

Діапазоном подання чисел D=|X|_max / |X|_min називають відношення максимально та мінімально можливих для даного подання абсолютних значень чисел.

Фіксована ширина розрядної сітки не тільки накладає обмеження на діапазон подання чисел, а й обумовлює особливості комп’ютерної арифметики такі як похибки подання чисел, поняття машинного нуля, переповнення розрядної сітки¹ тощо.

У повсякденній практиці найбільш поширеною є форма подання чисел у вигляді послідовності цифр, розділеної комою на цілу і дробову частини. Числа, представлені в такій формі, називаються числами в природній формі. У такій формі число записується в природному вигляді, наприклад, 12560 - ціле число, 0,003572 - правильний дріб, 4,89760 - неправильний дріб.

При поданні чисел у такій формі обов'язково потрібно для кожного числа вказати положення його коми в розрядної сітці, виділеній для представлення числа в машині, що вимагає додаткових апаратних витрат досить великого обсягу. Тому в комп'ютерах набули поширення дві інші форми подання чисел:

• з фіксованою крапкою (комою);

• з плаваючою крапкою (нормальна форма, експоненціальна форма).

Подання чисел у формі з фіксованою крапкою. При даній формі подання положення крапки в розрядній сітці машини фіксується схемотехнічно (тобто апаратними засобами) раз і назавжди. У цьому випадку відпадає необхідність у вказанні її положення.

Положення крапки в розрядній сітці строго фіксується, зазвичай або перед старшим (лівим) розрядом числа (рис. 6 а), або після молодшого (правого) розряду (рис. 6 б). У першому випадку число представляється як правильний дріб (його значення менше від одиниці за абсолютною величиною), у другому - як ціле число. Окремих розрядів для зберігання коми та запису цілої (дробової) частини числа не виділяється, тому що ціла (дробова) частина за замовчуванням дорівнює 0, а положення коми строго фіксовано.

а) б)

Рис. 6.Схема представлення чисел у форматі з фіксованою крапкою

Максимальне за абсолютною величиною машинне число (тобто без урахування знака) при фіксації коми після старшого розряду дорівнює|Х|_max=0,1...1...1 = 1-2^-n, а мінімальне|Х|_min = 0,0...0...01 = 2^-n, деn– кількість числових розрядів у розрядній сітці. Таким чином, значення всіх можливих величин чисел визначається нерівністю2^-n |Х| 1-2^-n.

Аналогічно для чисел, представлених у формі з фіксацією коми після молодшого розряду, максимальне за абсолютною величиною двійкове число зображується одиницями у всіх розрядах, виключаючи знаковий. Тобто, для цілого числа |Х|_max = 1...1...1 = 2^n-1-1,|Х|_min = 0...0...01 = 1і1 |Х| 2^n-1–1.

Діапазон подання чисел з фіксованою комою невеликий і дорівнює D=|Х|_max /|Х|_min = (1-2^-n)/ 2^-n = (2ⁿ-1)/1 = 2ⁿ-1  2ⁿ

Недолік цього способу — малий діапазон подання чисел і необхідність їх масштабування. Тому у даний час в переважній більшості комп'ютерів в форматі з фіксованою точкою представляються лише цілі числа. При цьому використовують два варіанти подання цілих чисел: зі знаком і без знака.

Для числа зі знаком крайній лівий розряд відводиться під знак числа. У цьому розряді записується нуль для додатних чисел і одиниця - для від'ємних. Числа без знака займають усі розряди числа, тобто числа можуть бути тільки додатними. Нумерація розрядів числа зазвичай ведеться справа наліво.

Наприклад, 8-розрядна сітка, у яку записано двійковий код числа (+23)₁₀:

7	6		5		4		3		2		1		0
0		0		0		1		0		1		1		1
біт знаку	64		32		16		8		4		2		1

Кількість розрядів у розрядної сітці, відведених для зображення числа, визначає діапазон і точність представлення числа з фіксованою комою.

Число, абсолютне значення якого менше одиниці молодшого розряду розрядної сітки (мінімального машинного слова для даного подання), називають у цьому випадку машинним нулем. Таке число буде записано в розрядну сітку комп’ютера у вигляді 0, тому що для його подання не вистачає довжини розрядної сітки, хоча воно насправді і не дорівнює 0.

У деяких випадках, коли можна оперувати тільки модулями чисел, вся розрядна сітка, включаючи самий старший розряд, відводиться для представлення числа, що дозволяє розширити діапазон зображення чисел.

Якщо число, отримане в результаті обчислень перевищує за абсолютним значенням максимальне машинне слово для заданого подання, то відбувається так зване переповнення розрядної сіткикомп’ютера.

Подання чисел у формі з плаваючою крапкою. Форму з плаваючою ко­мою застосовують для розширення діапазону і зменшення відносної похибки подання чисел у МП.

Число у формі з плаваючою крапкою(у нормалізованій формі) представляється у вигляді добутку деякого ступеня основи системи числення і цифрової частини, що має, як правило, вид правильного дробу:

Х =  М р ^{ s},

де М–мантисачислаХ,p^± – характеристика числаХ,p– основа системи числення ,s– порядок числа Х.

У мантисі зберігаються значущі цифри числа, а порядок визначає його величину. Знак числа збігається зі знаком мантиси.

Ця форма представлення числа неоднозначна, тому що передбачає плавання крапки:

73,28 = 73,2810⁰ = 7,32810¹ = 0,732810² = 0,0732810³ = 732,810^-1 = ...

Для запису числа у формі із плаваючою комою в розрядній сітці фіксуються чотири поля (рис. 7): розряд знака мантиси, поле цифрових розрядів мантиси довжиною n, розряд знака порядку, поле цифрових розрядів порядку довжиноюk. Чергування полів і значенняnйkможуть бути різні й визначаються конструктивними особливостями конкретного комп’ютера.

Рис. 7.Схема представлення чисел у форматі з плаваючою крапкою

Для однозначності представлення таких чисел і підвищення точності запису значень мантиси Му машинах із плаваючою комою їх представляють у так званомунормалізованому вигляді², при якому2^-1 |М| 1-2^-n, деn– довжина поля мантиси. У свою чергу діапазон подання порядку– (2^k –1) |s| (2^k – 1), деk – довжина поля порядку. Отже, мінімальне число, яке можна представити в розрядній сітці, дорівнює|Х|_min =|М|_min, а максимальне|Х|_max =|M|_max .

Діапазон подання для чисел із плаваючою комою:

.

Частіше за все цей формат використовується для представлення дуже великих або дуже малих дійсних чисел.