kontrolnye_raboty_1_2_3_kgasu_zo
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Кафедра высшей математики
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Вычисление пределов.
Производная и её приложения.
Варианты контрольных работ № 1, 2, 3
для студентов бакалавриата I курса заочного отделения.
Казань
2011
5354.ru
УДК 512
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Вычисление пределов. Производная и её приложения. Варианты контрольных работ № 1, 2, 3 для студентов бакалавриата I курса заочного отделения / Сост.: А.Г. Лабуткин, В.В. Селезнёв, Р.Р. Шарипов. – Казань: КГАСУ, 2011. – 28 с.
c Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 2011
5354.ru
Контрольная работа № 1
Состав контрольной работы
В контрольную работу входит 4 задания.
Первое задание относится к теме \Векторная алгебра\ и состоит из восьми вопросов к одному условию.
Второе задание посвящено составлению уравнения прямой на плоскости и относится к разделу математики \Аналитическая геометрия\.
Втретьем задании используются основные определения кривых второго порядка.
Вчетвертом, студенту необходимо построить кривую в полярной системе координат.
Определение варианта
Номер выполняемого варианта совпадает с последней цифрой номера зачётной книжки. Значение параметра m, входящего в условие задачи, определяется, как вторая цифра с конца номера. Значение параметра l, определяется, как третья цифра с конца номера зачётной книжки. Например, зачётная книжка № 0806540, тогда вариант № 10, m = 4 и l = 5.
Задание № 1
Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4. Найти:
длину ребра A1A2;
угол между ребрами A1A2 и A1A4;
угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3;
площадь грани A1A2A3;
объём пирамиды;
уравнение прямой A1A2;
уравнение плоскости A1A2A3;
уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3.
3 |
5354.ru |
Вариант |
Координаты вершин |
1 |
A1(m; 2; 5); A2(l; 7; 2); A3(0; 2; 7); A4(1; 5; 0): |
2 |
A1(4; m; 10); A2(l; 10; 2); A3(2; 8; 4); A4(9; 6; 4): |
3 |
A1(m; 5; 6); A2(l; 2; 1); A3( 1; 4; 5); A4( 2; 3; 5): |
4 |
A1(4; m; 6); A2(l; 9; 4); A3(5; 10; 3); A4(3; 1; 3): |
5 |
A1(10; 6; m); A2( 2; l; 2); A3(1; 3; 4); A4(2; 3; 2): |
6 |
A1(6; 3; m); A2(7; l; 7); A3(4; 1; 4); A4(4; 3; 2): |
7 |
A1(m; 8; 0); A2( 2; 2; l); A3(0; 4; 4); A4( 2; 4; 1): |
8 |
A1(2; m; 2); A2( 2; l; 7); A3(2; 2; 5); A4( 1; 2; 5): |
9 |
A1(6; m; 6); A2( 3; l; 7); A3(3; 1; 6); A4(0; 1; 2): |
10 |
A1( 1; 0; m); A2(l; 3; 4); A3( 2; 1; 3); A4( 2; 4; 3): |
Задание № 2
Решить задачу в соответствии с вариантом.
Вариант № 1
Уравнение одной из сторон квадрата (l +1)x+2y +5 = 0. Составить уравнения остальных сторон, если P (m + 1; 0) - точка пересечения диагоналей квадрата. Сделать чертеж.
Указание. Составить уравнения двух прямых, проходящих через точку P и образующих с данной прямой угол в 45 градусов, используя формулу
tg ' = k2 k1 ;
1 + k1k2
где ' - угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k1, k2. Найти вершины A и B квадрата, как точки пересечения двух прямых. Составить уравнения сторон, проходящих через точки A и B, и использовать условие перпендикулярности двух прямых. Найти координаты вершин C и D. Составить уравнение прямой CD.
Вариант № 2
Уравнения сторон параллелограмма x + 2y + m = 0 и x + y 1 = 0, уравнение одной из диагоналей x + l = 0. Найти координаты вершин параллелограмма. Сделать чертеж.
Указание. Координаты трёх вершин параллелограмма найти как координаты точек пересечения прямых с известными уравнениями. Затем записать уравнения двух других сторон параллелограмма, используя условие параллельности двух прямых (k1 = k2, где k1; k2 - угловые коэффициенты прямых). Найти координаты четвертой вершины как координаты точки пересечения этих прямых.
4 |
5354.ru |
Вариант № 3
Даны две вершины A( 3; 0) и B(9; 6) и точка D(m; l) пересечения высот треугольника. Составить уравнение сторон треугольника. Сделать чертеж.
Указание. Записать уравнения высот, опущенных из вершин с известными координатами. Записать уравнения сторон треугольника, на которые эти высоты опущены, используя условие перпендикулярности двух прямых (k1 =1=k2, где k1, k2 - угловые коэффициенты прямых).
Вариант № 4
Две стороны треугольника заданы уравнениями (m + 5)x 2y 8 = 0 и (l 6) 2y 8 = 0. Середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны. Сделать чертеж.
Указание. Составить уравнения сторон параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых с известными уравнениями, а диагонали пересекаются в начале координат. Для этого найти координаты вершины D, противоположной точке A пересечения прямых с известными уравнениями, учитывая, что начало координат является серединой отрезка AD. Записать уравнения сторон BD и CD, используя условие параллельности двух прямых (k1 = k2, где k1, k2 - угловые коэффициенты прямых). Зная координаты вершин треугольника, составить уравнения сторон.
Вариант № 5
Даны уравнения двух сторон треугольника 8x (m + 3)y + (m + 1) = 0 и 8 x+(l+1)y 8(l+3) = 0. Его медианы пересекаются в точке P (2; 2). Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.
Указание. Найти основание M медианы, проведённой из вершины A, через которую проходят прямые с известными уравнениями. При этом используется свойство медианы треугольника: AP = 2P M. Составить уравнения сторон параллелограмма, две стороны которого лежат на прямых с известными уравнениями, а диагонали пересекаются в точке M. Для этого найти координаты вершины D, противоположной вершине A, учитывая, что точка M является серединой отрезка AD. Записать уравнения прямых, проходящих через точку D, используя условие параллельности двух прямых (k1 = k2, где k1, k2 - угловые коэффициенты прямых). Найти координаты вершин B и C треугольника. Записать уравнение стороны BC.
Вариант № 6
Даны вершины A(m + 4; m) и B(2; 2) и точка P (1; m=2) пересечения медиан треугольника. Составить уравнение высоты треугольника, опущенной из вер-
5 |
5354.ru |
шины C. Сделать чертеж.
Указание. Найти координаты точки M - середины отрезка AB и записать уравнение медианы MC. Найти основание N медианы, учитывая, что BP = 2P N. Составить уравнение стороны AC. Найти координаты вершины C, как координаты точки пересечения прямых MC и AC. Записать уравнение высоты, используя условие перпендикулярности двух прямых (k1 = 1=k2, где k1; k2 - угловые коэффициенты прямых).
Вариант № 7
Даны уравнения двух высот треугольника y = (m+1)x и 2x+3y = l +6 и одна из его вершин A( 1; 1). Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.
Указание. Составить уравнения двух сторон треугольника, на которые опущены высоты с известными уравнениями, используя условие перпендикулярности двух прямых (k1 = 1=k2, где k1; k2 - угловые коэффициенты прямых). Эти прямые пересекаются в точке A. Затем найти координаты вершин B и C, как координаты точек пересечения прямых с известными уравнениями. Составить уравнение стороны BC.
Вариант № 8
Даны уравнения одной из сторон ромба x 2y + (m + 1) = 0 и одной из его диагоналей x+2y l = 0. Диагонали ромба пересекаются в точке P (6; (l 6)=2). Найти координаты вершин ромба. Сделать чертеж.
Указание. Найти координаты одной из вершин ромба, как координаты точки пересечения двух прямых (стороны и диагонали). Составить уравнение другой диагонали, используя условие перпендикулярности двух прямых (k1 = 1=k2, где k1; k2 - угловые коэффициенты прямых). Найти координаты второй вершины ромба. Координаты двух других вершин определить с учетом того, что диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.
Вариант № 9
Даны вершины A(6; 4); B(5; l); C(m 8; l + 2) трапеции ABCD (AD параллельна BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D. Сделать чертеж.
Указание. Составить уравнение диагонали AC. Составить уравнение другой диагонали BD, используя условие перпендикулярности двух прямых (k1 =1=k2, где k1; k2 - угловые коэффициенты прямых). Составить уравнение прямой AD, используя условие параллельности двух прямых (k1 = k2). Найти координаты вершины D как координаты точки пересечения BD и AD.
6 |
5354.ru |
Вариант № 10
Даны уравнения двух медиан треугольника y = m + 1, (l + m + 1)x 6y + 4(m + 1) 2l = 0 и одна из вершин A(2; m + 5). Составить уравнения его сторон. Сделать чертеж.
Указание. Найти точку O пересечения медиан. Найти основание N медианы, проведённой из вершины A, учитывая, что AO = 2ON. Записать уравнения сторон параллелограмма, построенного на данных медианах, диагонали которого пересекаются в точке N. Для этого найти координаты вершины M, противоположной точке O, учитывая, что ON = NM, и использовать условие параллельности двух прямых (k1 = k2, где k1; k2 - угловые коэффициенты прямых). Найти координаты вершин B и C треугольника. Составить уравнения сторон треугольника.
Задание № 3
Решить задачу в соответствии с вариантом.
Вариант |
Задача |
||
1 |
Составить уравнение и построить линию, расстояния каж- |
||
|
дой точки которой от начала координат и от точки A(m + |
||
|
1; l) относятся как 2 : 1. |
||
2 |
Составить уравнение и построить линию, расстояния каж- |
||
|
дой точки которой от точки A(2; m 4) и от прямой |
||
|
(l + 1)x + m = 0 относятся как 1 : p |
|
. |
|
m + 2 |
||
3 |
Составить уравнение и построить линию, расстояния каж- |
||
|
дой точки которой до точки A( 1; l 5) и до прямой |
||
|
x = m 2 относятся как 5 : 4. |
||
4 |
Составить уравнение и построить линию, каждая точка ко- |
||
|
торой находится вдвое дальше от точки A(m 5; 0), чем от |
||
|
точки B(l + 5; 0). |
||
5 |
Составить уравнение и построить линию, расстояние каж- |
||
|
дой точки которой от точки A(2; l 5) и от прямой (m + |
||
|
1)x + l = 0 относятся как 4 : 5. |
||
6 |
Составить уравнение и построить линию, каждая точка ко- |
||
|
торой находится от точки A(0; l + 5) на расстоянии вдвое |
||
|
меньшем, чем от точки B(0; m 5). |
||
7 |
5354.ru |
|
Задание № 3 (продолжение) |
|
|
Вариант |
Задача |
7 |
Составить уравнение и построить линию, каждая точка ко- |
|
торой равноотстоит от точки A(m; l 5) и прямой y = m+5. |
8 |
Составить уравнение и построить линию, каждая точка ко- |
|
торой равноотстоит от прямой x = m и от окружности |
|
x2 + y2 = 2(l + 1)x. |
9 |
Составить уравнение и построить линию, каждая точка ко- |
|
торой отстоит от точки A( m 1; l 5) втрое дальше, чем |
|
от начала координат. |
10 |
Составить уравнение и построить линию, каждая точка ко- |
|
торой равноотстоит от прямой y = l и от окружности |
|
x2 + y2 = 2(m + 1)y. |
|
Задание № 4 |
Линия задана уравнением r = r(') в полярной системе координат.
Вариант |
Уравнение линии |
|||||
1 |
r = |
|
m + 1 |
|
||
|
1 + cos ' |
|||||
|
|
|
||||
2 |
r = |
|
l + 2 |
|||
|
|
|
|
|
||
2 3 cos ' |
||||||
3 |
r = |
|
m + 2 |
|
||
2 + 2 cos ' |
||||||
4 |
r = |
|
l + 1 |
|||
|
|
|
||||
|
3 cos ' |
|||||
5 |
r = |
|
l + 2 |
|||
|
|
|||||
2 3 cos ' |
||||||
6 |
r = |
|
m + 1 |
|
||
3 4 cos ' |
||||||
7 |
r = |
|
m + 2 |
|
||
|
2 + cos ' |
|||||
|
|
|
||||
8 |
r = |
|
l + 1 |
|||
|
|
|||||
1 2 cos ' |
||||||
9 |
r = |
|
m + 1 |
|
||
|
1 cos ' |
|||||
|
|
|
||||
10 |
r = |
|
l + 2 |
|||
|
|
|||||
6 + 3 cos ' |
||||||
Требуется: построить линию по точкам в полярной системе координат, начиная от ' = 0 до ' = 2 и придавая ' значения через промежуток 4 .
8 |
5354.ru |
Контрольная работа № 2
Состав контрольной работы
В контрольную работу входит 4 задания.
Первое задание посвящено разделу математики \Линейная алгебра\ и относится к теме \Системы линейных уравнений \.
Во втором задании требуется получить канонический вид уравнения кривой второго порядка и построить её.
В третьем, необходимо использовать понятие комплексного числа. Четвёртое состоит из четырёх задач в каждом из которых требуется вычис-
лить предел функции.
Определение варианта
В 1, 2 и 3-м задании номер выполняемого варианта совпадает с последней цифрой номера зачётной книжки. В 4-м задании номер варианта совпадает с двумя последними цифрами номера зачётной книжки и определяется из приведённой таблицы.
Значение параметра m, входящего в условие задачи, определяется, как вторая цифра с конца номера. Если данная цифра равна нулю, то m = 1. Значение параметра n, определяется, как последняя цифра текущего года. Например, зачётная книжка № 0806506 и текущий год 2012, тогда вариант № 6, m = 1 и n = 2.
Задание № 1
Дана система линейных уравнений. Доказать её совместность и решить двумя способами:
методом Гаусса;
средствами матричного исчисления.
Вариант |
|
Система уравнений |
|
1 |
8 |
m x1 + 2x2 + x3 = 5 + n |
|
2x1 + 3x2 + x3 = 1 |
|||
|
< |
2x1 + (m 1)x2 + 3x3 = 11 |
|
|
:m x1 + 4x2 + 2x3 = 8 + n |
||
2 |
8 |
2x1 |
(m 6)x2 3x3 = 4 |
|
< x1 + 5x2 + x3 = 0 |
||
|
: |
|
|
9 |
5354.ru |
Задание № 1 (продолжение)
Вариант |
|
|
|
|
|
Система уравнений |
|||||
3 |
8 2x1 |
+ (m 2)x2 |
4x3 = 20 |
||||||||
|
< |
|
m x1 |
2x2 + 3x3 = 6 + n |
|||||||
|
|
3x1 2x2 5x3 = 6 |
|
||||||||
|
: m x1 + x2 x3 = 1 + n |
||||||||||
4 |
|
8 |
|
8x1 3x2 6x3 = 2 |
|
||||||
|
|
< |
|
4x1 + (m 7)x2 3x3 = 3 |
|||||||
|
|
: m x1 3x2 + 2x3 = 9 + n |
|||||||||
5 |
|
8 |
|
2x1 + (m 3)x2 3x3 = 4 |
|||||||
|
|
< |
|
5x1 + 6x2 2x3 = 18 |
|||||||
|
|
: m x1 4x2 2x3 = 3 + n |
|||||||||
6 |
|
8 |
|
|
3x1 |
|
(m 8)x2 + x3 = 5 |
||||
|
|
< |
|
|
3x1 |
5x2 6x3 |
= |
|
9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:m x1 + x2 + 2x3 = 1 + n |
|||||||||
7 |
8 |
2x1 x2 + 2x3 = 4 |
|
||||||||
|
< |
4x1 (m 4)x2 + 4x3 = 2 |
|||||||||
|
: |
|
|
7x1 + (m + 9)x2 = 31 + n |
|||||||
8 |
|
8 |
4x1 + (m + 9)x3 = 43 |
||||||||
|
|
< |
2x1 + 3x2 + 4x3 |
= 20 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:m x1 x2 x3 = 4 + n |
|||||||||
9 |
8 |
|
3x1 + 4x2 2x3 = 11 |
||||||||
|
< |
|
3x1 2x2 + (m 5)x3 = 11 |
||||||||
|
:(m + 1)x1 + 2x2 + 4x3 = 31 + n |
||||||||||
10 |
8 |
5x1 + (m 2)x2 + 2x3 = 20 |
|||||||||
|
< |
3x1 |
|
x2 + x3 = 9 |
|
|
|
||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание № 2
Привести к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Сделать чертежи.
Вариант |
|
|
|
|
|
|
Уравнения линий |
|||||
1 |
m x2 + 2y2 |
|
x2 |
m y2 |
= 3; 2x2 4m x + 2y + 1 = 0 |
|||||||
= 2; |
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
2 |
|
||||||||||
2 |
x2 |
m y2 |
= 3; y2 |
m x2 |
|
= 2; x2 + 2m x 3y 3 = 0 |
||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||
3 |
2 |
4 |
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
m y2 |
||||
2m x2 + 3y2 |
= 1; 2x2 |
|
|
= 3; 3x2 30m x + y + 4 = 0 |
||||||||
2 |
|
|||||||||||
4 |
4m x2 + y2 = 2; 2m y2 x2 = 1; 2y2 + 3m x + 4y + 4 = 0 |
|||||||||||
10 |
5354.ru |