kontrolnye_raboty_1_2_3_kgasu_zo
.pdf
42. а) y = 1=(1 + x3); б) x = a cos3 t; y = a sin3 t:
p
43. а) y = e x; б) x = a cos2 t; y = a sin2 t:
p
44. а) y = 1 x2; б) x = ln t; y = t2 1:
p
45. а) y = 1 x2 arcsin x; б) x = arcsin t; y = ln(1 t2):
46. а) y = sin2(2x); б) x = a t cos t; y = a t sin t: 47. а) y = x2 x 1; б) x = sin 2t; y = e t:
48. а) y = sin4 x + cos4 x; б) x = t ln cos t; y = t + ln sin t:
49. а) y = (x2 1)2; б) x = cos3(2t); y = sin3(2t): 50. а) y = tg(2x); б) x = ln(1 + t); y = 1 +2 t: 51. а) y = ln(3x); б) x = 2 cos t + 1; y = sin2 t:
52. а) y = (x3 2)ex; б) x = cos 2t; y = t + sin t: 53. а) y = (2x + 1)3(3x 1)2; б) x = e t2 ; y = t2: 54. а) y = 4 x2 ; б) x = cos(3t); y = sin(3t):
55. а) y = ln(1 x2); б) x = t2 + 2t; y = (t + 1)3:
p
56. а) y = ln(x + 1 + x2); б) x = cos 2t; y = sin2 t:
57. а) y = arctg 11 +xx2 ; б) x = ln(2t); y = ln2 t: 58. а) y = 13p(1 + x2)3; б) x = tg t; y = cos1 t:
59. а) y = arctg x1; б) x = cos 4t; y = cos4 t:
60. а) y = ln p 1
1 + x2
Задание № 3
61 – 90. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке
[a; b].
61. |
y = x3 12x + 7; [0; 3] |
62. |
y = x5 35x3 + 2; [0; 2] |
|||||||
|
p |
|
|
|
64. |
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
63. |
y = |
3 |
x + cos x; [0; 2 ] |
y = 3x |
|
|
16x + 2; [ 3; 1] |
|||
2 |
|
|||||||||
21 |
5354.ru |
65. |
y = x3 3x + 1; [21; 2] |
|||||||||
67. |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
3 |
x sin x; [0; 2 ] |
||||||||
2 |
|
|||||||||
69. |
y = 3 2x2; [ 1; 3] |
|||||||||
71. |
y = 2x3 + 3x2 12x; [0; 2] |
|||||||||
73. |
y = x2 |
x4 |
; [ 1; 1] |
|||||||
4 |
||||||||||
75. |
y = |
x3 |
2x2 + 3x; [0; 2] |
|||||||
3 |
||||||||||
77. |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
y = x + 2 x; [0; 4] |
||||||||||
79. |
y = x3 3x2 + 6x; [ 1; 1] |
|||||||||
81. |
y = (x 1)(x + 1); [0; 4] |
|||||||||
83. |
y = x3 + 6x2 + 9x + 2; [ 2; 0] |
|||||||||
85. |
y = x2=(1 + x2); [ 1; 1] |
|||||||||
87. |
y = 2x3 6x2 18x; [ 2; 0] |
|||||||||
89. |
y = x ln(1 + x); [ 21; 21] |
|||||||||
66. y = x4 + 4x; [ 2; 2]
68. y = 81x x4; [ 1; 4]
70. y = x sin x; [ ; ]
72. y = 3x4 + 4x3 + 1; [ 2; 1]
74. y = x3 3x2 + 3x; [0; 2]
76. y = x4 2x2 + 5; [ 2; 2]
78. y = x5 5x4 + 5x3; [ 1; 2]
p
80. y = 70 x2; [ 6; 8]
82. y = sin 2x x; [ 2 ; 2 ]
84. y = 14(1 x2)2; [ 2; 0]
86. y = 2x3 3x2; [0; 2]
88. y = 2x3 6x + 5; [ 52; 32]
90. y = 1 x+x2 ; [0; 1]
1+x x2
Задание № 4
91 – 120. Решить задачу в соответствии с условием.
91.Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической формы без крышки данного объёма V . Каковы должны быть высота ведра и радиус его дна, чтобы на изготовление ушло наименьшее количество жести.
92.Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей.
93.Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
94.Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему числом, даёт наименьшую сумму?
22 |
5354.ru |
95.Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
96.Объём правильной треугольной призмы равен V . Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?
97.Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объёме наименьшую полную поверхность.
98.Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?
99.Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.
100.Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.
101.Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.
102.Найти высоту прямого круглого конуса наименьшего объёма, описанного около шара радиуса R.
103.При каких размерах коробка (без крышки), изготовленная из квадратного листа картона со стороной a, имеет наибольшую вместимость?
104.Среди всех прямоугольников, имеющих данный периметр 2a, найти тот, площадь которого наибольшая.
105.Какой из прямоугольных треугольников с заданным периметром 2p имеет наибольшую площадь?
106.Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны по 10 см. Определить её большее основание так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.
107.Число 10 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
108.Объём правильной четырёхугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?
109.Число 64 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
110.Из куска проволоки длиной l согнуть прямоугольник, чтобы его площадь была наибольшей.
23 |
5354.ru |
111.Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие отгораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 м2, а длина забора была наименьшей.
112.Найти размеры цилиндрической закрытой цистерны с заданным объёмом V и с наименьшей полной поверхностью.
113.Какое отрицательное число, будучи сложенным с обратным ему, даёт наибольшую сумму?
114.Число 10 разбить на два таких слагаемых, чтобы их произведение было наибольшим.
115.Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 10 см. Построить треугольник с наибольшей площадью.
116.Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в эл-
липс |
x2 |
+ |
y2 |
= 1. |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
117.Найти наименьший по площади эллипс, описанный около данного прямоугольника (площадь эллипса с полуосями a и b равна ab).
118.Ряд опытов привёл к различным значениям: x1; x2; :::; xn для исследуемой величины A. Часто принимают в качестве значения A такое значение x, что сумма квадратов отклонений его от x1; x2; :::xn имеет наименьшее значение. Найти x, удовлетворяющий этому требованию.
119.Через данную точку P (1; 4) провести прямую так, чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей.
120.Около данного цилиндра описать конус наименьшего объёма (плоскости оснований цилиндра и конуса должны совпадать).
Задание № 5
121 – 220. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y = f(x) и, используя результаты исследования, построить её график.
121. |
y = 3 + 3x x3 |
122. |
y = x3 3x + 1 |
|||
123. |
y = x3 |
x2 |
124. |
y = x2(1 x) 2 |
||
|
6 |
|
|
|
|
|
24 |
5354.ru |
125. y = x3 + 3x2 9x + 1
127. y = x3 3x2 9x + 9
129. y = x3 x2 8x
3
131. y = x3 x2
133. y = (x + 1)(x + 2)2
135. y = x2 x3
137. y = x3 3x + 1
139. y = x3 3x2 9x
141. y = 4x x3
3
143. y = x3 + 3x2 1
145. y = x3 x2 + 2 3
147. y = 3x2 x3
149. y = 9x + 3x2 x3
151. y = x2 + x2
x2
153. y = x 1
1
155. y = x2 1
x 3
157. y = 7 x
Задание № 5 (продолжение)
126. y = x3 34x2 32x + 1
128. y = x4 5x2 + 4
130. y = (2x 1)2x
132. y = 36x 3x2 2x3
134. y = x4 2x2 + 3
136. y = x3 x2 2x + 3 3 2
138. y = 2x3 + 3x2 12x + 1
140. y = 3x4 4x3 + 2
142. y = x(1 x)2
144. y = x3 12x 3
146. y = x3 3x 3
148. y = x(x + 1)(x + 2)
150. y = 2 + (x 1)3
152. y = x2 x + 1
154.y = 3 x2 x + 2
x 3
156.y = 2 + x2
158. y = 21x + 4x
25 |
5354.ru |
x
159. y = x2 + 1
161.y = x2 + 1 x + 3
163. y = x2 x + 4
4
165. y = x + x + 2
167. y = x + x1
169.y = x2 3 x + 2
171.y = x2 + 3 x + 1
x2
173. y = x 3
x2 3
175. y = x 1
177.y = x2 + 8 x + 1
179.y = x2 + 5 x + 2
181. y = x ln x
183. y = ln(2x 1)
185. y = e x
187. y = x2px
Задание № 5 (продолжение)
x
160. y = x2 1
x2
162. y = x 1
164.y = x 1 x + 5
1
166. y = 2x + x2
168. y = x + x9
170. y = x2 + 4 x
x2 + 3
172. y = x 1
174.y = x2 2 x + 1
176. y = x2 + 9 x
x + 8
178. y = x 1
x2 + 5
180. y = x 2
182. y = x ln x
184. y = e2x 2
p
186. y = x x
1
188. y = p
x
26 |
5354.ru |
189. |
y = x ex |
|||||||||||||||
191. |
y = ex2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
193. |
y = p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
||||||||||||||||
195. |
y = |
ex + e x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
197. |
y = (x + 3)3=2 |
|||||||||||||||
199. |
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x x |
|||||||||||||||
y = 3 |
||||||||||||||||
201. |
y = xp3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
||||||||||||||||
203. |
y = ctg 2x |
|||||||||||||||
205. |
y = |
arctg x |
|
|
||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
207. |
y = arccos(x=2) |
|||||||||||||||
209. |
y = cos 3x |
|||||||||||||||
211. |
y = x + |
5 |
|
|
||||||||||||
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
213. |
ln x |
|||||||||||||||
y = |
p |
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
215. |
y = |
x + 3 |
|
|
||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
x 2 |
|||||||||||||||
217. |
y = 3 + 3x x3 |
|||||||||||||||
219. |
y = |
(x 2)2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||
Задание № 5 (продолжение)
190. y = x 2 ln x
192. y = 2x ln x
p
194. y = 3 x
196. y = ex e x
2
198. y = 12x px
200. y = x + e x
p
3 x
202. y = x
204. y = tg 2x
206. y = 5 2x2 x3
208. y = arcsin x
210. y = sin 2x
212. y = x(x + 1)(x + 2)
214. y = x2 2 x
ex
216. y = x2
218. y = (x + 1) ex
2x
220. y = x 1
27 |
5354.ru |
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Вычисление пределов.
Производная и её приложения.
Варианты контрольных работ № 1, 2, 3
для студентов бакалавриата I курса заочного отделения.
Составители: Лабуткин Александр Григорьевич,
Селезнёв Валерий Витальевич, Шарипов Руслан Рашатович
Редактор: Н.Х.Михайлова
Редакционно–издательский отдел Казанского государственного архитектурно–строительного университета Лицензия ЛР № 020379 от 22.01.92 г.
Печатно–множительный отдел КГАСУ Лицензия № 03/380 от 16.10.95 г. 420043, Казань, Зелёная, 1.
5354.ru