mehanika

2) Принцип постоянства скорости света. Во всех инерциальных системах отсчёта скорость света в вакууме одинакова.

5. Преобразования Лоренца в случае совпадения координатных осей абсцисс записываются в виде:

где c скорость света в вакууме.

6.Из преобразований Лоренца вытекает ряд следствий:

1)Предельный характер скорости света, т.е. скорость тела не может превышать скорость света в вакууме.

2)Относительность одновременности событий в различных системах отсчёта, т.е. два независимых события, одновременные в одной инерциальной системе отсчёта, могут оказаться неодновременными в другой.

3)Зависимость длины тела и длительности событий от скорости движения име-

ет вид: l′ = l 1 −υ2 / c2 , t′ = t 1 −υ2 / c2 . Здесь l длина неподвижного тела, l′длина того же тела, движущегося со скоростью υ; t′ время, измеренное по ча-

1 −υ2 / c2 < 1, тоизприведённыхсоотношенийследует, чтодлинатела, измеренная всистемеотсчёта, относительно которойонодвижется, меньшедлины, измереннойв системе, в которой оно покоится. При этом длительность события имеет наименьшее значениевтойинерциальнойсистемеотсчёта, вкоторойэтотелонеподвижно. Таким образом, время и длина тел являются относительными величинами, зависящими от выбора системы отсчёта, в отличие от классической механики, где они являются абсолютными, т.е. одинаковымивовсехинерциальныхсистемахотсчёта.

тела в инерциальных системах отсчёта K′ и K, υ скорость системы K′ относительно системы K.

80

8.Закон взаимосвязи массы и энергии (закон Эйнштейна) W = mc2, где m — масса тела, c — скорость света в вакууме.

9.Релятивистская механика включает в себя классическую механику как предельный случай механических движений со скоростями, значительно меньшими скорости света. Все соотношения релятивистской механики переходят в

формулы классической механики при υ « c, когда членами υ2/c2 и xυ/c2 можно пренебречь в силу их малости.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сформулируйте принцип относительности Галилея.

2.Выведите преобразования Галилея. В чём их сущность?

3.Каковы следствия, вытекающие из преобразований Галилея? Получите их.

4.Каковы причины возникновения специальной теории относительности?

5.Сформулируйте постулаты специальной теории относительности.

6.Запишите преобразования Лоренца. В чём их смысл? При каком условии они переходят в преобразованияГалилея?

7.Запишите релятивистский закон сложения скоростей. На чём основан его вывод?

8.Назовите следствия, вытекающие из преобразований Лоренца. В чём их смысл?

9.Запишите основной закон релятивистской динамики.

10.Какова взаимосвязь между массой и энергией в релятивистской теории?

ЗАДАЧИ

6.1.При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит 30%?

6.2.Во сколько раз увеличивается продолжительность существования нестабильной частицы по часам неподвижного наблюдателя, если она движется со скоростью υ = 0.99 с?

6.3.На сколько возрастает масса α-частицы при её ускорении от начальной скорости, равной нулю, до скорости, равной 90% от скорости света в вакууме?

6.4.Во сколько раз релятивистская масса электрона, обладающего кинетической энергией 1,53 МэВ, больше его массы покоя?

6.5.Мощность излучения Солнца равна 3,9·1026 Вт. За какое время его масса уменьшится в 2 раза? Излучение считать постоянным.

81

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

При изучении механики были рассмотрены законы, управляющие движением тел. При этом совсем не интересовались строением этих тел и их свойствами, поскольку в механике важно лишь, какова масса тела, каковы его размеры, форма и агрегатное состояние. Однако совершенно очевидно, что окружающие нас тела отличаются друг от друга многими другими свойствами: тепловыми, электрическими, оптическими и т.д. Свойства же тел зависят от их строения, от связи молекул или атомов друг с другом и от многого другого. Поэтому, в первую очередь, важно знать строение вещества. Этот вопрос и является одним из основных в курсе, называемом молекулярная физика.

Молекулярная физика — это раздел физики, в котором рассматриваются свойства тел (газы, жидкости, твёрдые тела), состоящих из огромного числа молекул и атомов. В практической деятельности человека жизненно необходимо знание тепловых свойств различных тел и систем, так как на таком знании основывается работа тепловых машин, без которых человечество существовать уже не может. Поэтому вопросы теплоты, энергии систем, превращения энергии в работу составляют основу молекулярной физики и термодинамики. Доказано, что все тела состоят из мельчайших частиц (молекул, атомов, ионов), находящихся в непрерывном хаотическом движении, называемом тепловым движением, и взаимодействующих между собой. Теория строения вещества, основывающаяся на этихположениях, получиланазваниемолеку- лярно-кинетической теории. Эта теория позволяет объяснить, например, давление и температуругаза, непосредственноизмеряемыхэкспериментально, атакжеразличные физические явления (теплопроводность, диффузию, тепловое расширение тел и т.п.), каксуммарныйрезультатдействиямолекулилиатомов. Приэтомонаиспользуетстатистическийметод, которыйпозволяетвычислятьсредниезначенияфизическихвеличин, характеризующих движение молекул (средние скорости, среднее значение энергиимолекулит.д.). Отсюдаеёдругоеназвание— статистическаяфизика.

Изучением свойств и изменений состояния вещества занимается также и термодинамика, не раскрывая при этом их внутреннего строения. Несмотря на это, она позволяет делать различные выводы относительно протекания различных процессов и явлений. В основе термодинамики лежат два закона, часто называемые началами термодинамики, являющиеся обобщением огромного числа опытных фактов. Подходя к изучению тел и физических явлений с различных точек зрения, молекулярно-кинетическая теория и термодинамика, дополняя друг друга, образуют, по существу, единое целое.

ГЛАВА 7. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МОЛЕКУЛЯРНОКИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ

§31. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ

Важным понятием в молекулярной физике и термодинамике является понятие термодинамической системы.

82

1.Термодинамической системой (или просто системой) называют совокуп-

ность большого числа молекул, атомов или ионов, находящихся в тепловом движении и взаимодействующих между собой. Такими системами являются твёрдые тела, жидкости, газы. Термодинамическая система может быть замкнутой. В этом случае она не получает энергию извне и не отдаёт её телам, не входящим в неё.

Состояние термодинамической системы характеризуется совокупностью небольшого числа физических величин, называемых параметрами состояния. В качестве таких параметров обычно используют давление, объём и температуру. Необходимо отметить, что, в основном, будет изучаться лишь идеальный газ, так как это простейшая термодинамическая система.

2.Газ является идеальным, если выполняются следующие условия:

а) Размеры молекул исчезающе малы.

б) Силы притяжения между молекулами отсутствуют.

в) Столкновения молекул между собой и со стенками сосуда упругие, т.е. в результате этих соударений кинетическая энергия и импульс всех молекул, находящихся в сосуде, не изменяются.

Хотя, строго говоря, идеальных газов в природе не существует, реальные газы при обычных условиях (при малых давлениях и не слишком низких температурах) в достаточно хорошем приближении можно рассматривать как идеальные. Поведение реальных газов достаточно просто описывается в результате несложных обобщений законов идеальных газов. В целом же термодинамический подход применим также к жидкостям и твёрдым телам.

§32. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа принято называть соотношение, связывающее давление газа и кинетическую энергию поступательного движения молекул, содержащихся в единице объёма.

Выясним сначала, чем обусловлено давление газа. Вследствие теплового движения, молекулы непрерывно бомбардируют стенки сосуда, в котором газ находится. При этом они действуют на поверхность сосуда с некоторой силой, равномерно распределённой по всей поверхности, поскольку все направления движения молекул равновероятны в силу хаотичности движения. Давление P газа находим по формуле:

где F — модуль силы, действующей перпендикулярно поверхности, S — площадь поверхности (см. (20.1)).

Для простоты вывода основного уравнения предположим, что газ заключён в сосуд сферической формы радиуса R. В этом случае площадь поверхности равна площади сферы, т.е.

83

ния импульса всех молекул, бомбардирующих поверхность сосуда, за единицу времени, т.е.

где t — промежуток времени, за который происходит это изменение импульса. Очевидно, что изменение импульса всех молекул должно складываться из из-

сосуда. Поэтому рассмотрим сначала движение одной какой-либо молекулы массой mi и скоростью υi. Предположим, что она двигалась прямолинейно, а затем ударилась о стенку под углом αi. Ударяясь о поверхность сосуда, молекула отскакивает от неё под тем же углом и с той же по модулю скоростью, так как удар упругий (рис. 32.1). Путь, проходимый молекулой от одного удара о стенку до другого, равен хорде АВ. Длина хорды равна АВ = 2R·cosαi. Фактически молекула может пролететь такой путь лишь в сильно разреженных газах. При обычных же условиях она на этом пути столкнётся с другими молекулами и изменит направление движения. Однако среди множества молекул, которые будут ударяться о стенку сосуда в точке B, всегда найдётся какая-нибудь молекула, обладающая таким же модулем скорости и направлением, какой обладала бы первая молекула, если бы она пролетела весь путь AB. Поэтому считаем, что молекулы движутся без соударений.

Найдём теперь изменение импульса одной молекулы. Как известно, оно равно векторной разности конечного и начального импульса молекулы (рис. 32.2). Из этого рисунка видно, что модуль приращения импульса равен

84

Число ударов найдём, если путь υi· t, проходимый за промежуток времени t, разделим на расстояние, пролетаемое молекулой между последовательными соударениями со стенкой, равное AB, т.е.

ноевыражениеневходитуголпаденияαi . Этоозначает, чтоданноевыражениесправедливо для всех молекул, летящих на поверхность сосуда под любыми углами. В силу этого суммарное изменение импульса pм всех молекул за время t равно:

правуючастьэтогоравенствана2, получим:

где εki = 12 miυi2 — кинетическая энергия поступательного движения отдельных

молекул, Wk — кинетическая энергия всех молекул. Из выражений (32.3) и (32.7) запишем:

мый газом, равный объёму сферы. Однако Wk / V = wk — это кинетическая энергия поступательного движения молекул, содержащихся в единице объёма. С учётом этого имеем:

т.е. давление газа равно двум третям кинетической энергии поступательного движения молекул, находящихся в единице объёма. Выражение (32.9) и называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории иде-

ального газа.

85

§33. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Распределение Максвелла

При тепловом движении молекулы газа непрерывно сталкиваются между собой. Это приводит к тому, что скорости молекул при любой температуре различны. Методы статистической физики, основанные на применении теории вероятности к изучению поведения огромного числа молекул, позволили Максвеллу установить закон распределения молекул идеального газа по скоростям. Этот закон записывается в виде:

где N — общее число молекул, dN — число молекул, скорости которых находятся в интервале от υ до υ + dυ, m — масса молекулы, k = 1,38·10–23 Дж/К — постоян-

зависящий от массы молекулы и температуры газа. Из этой формулы видно, что

Соотношение (33.2) называется распределением Максвелла, а f (υ) — функцией распределения. Используя функцию распределения, можно найти долю молекул dN из общего числа молекул N, скорости которых находятся в интервале от υ до

υ + dυ, поскольку из (33.1) следует dNN = f (υ)dυ.. Распределение Максвелла графически изображено на рис. 33.1. Из графика видно:

1)доля молекул, обладающих очень малыми и очень большими скоростями, мала; (f (υ) → 0 при υ → 0 и υ → ∞).

2)имеется одно значение скорости, с которой движется наибольшее число

молекул ( dNN максимально). Эту скорость называют наивероятнейшей и обо-

значают υн. Её находят из условия экстремума функции f(υ) (найти производ-

Отсюда следует, что с повышением температуры наиболее вероятная скорость возрастает (рис. 33.2). Кроме того, из этого рисунка видно, что с повышением

86

температуры газа доля молекул, обладающих малыми скоростями, уменьшается, а доля молекул с большими скоростями увеличивается, а также распределение скоростей становится более широким.

Используя распределение (33.1), вычислим среднюю скорость движения молекул. Разобьём молекулы на группы, в которых молекулы имеют практически одинаковые скорости. Пусть i-ая группа состоит из Ni молекул со скоростями υi. Найдём сумму скоростей всех молекул. Она равна ∑υi Ni , где суммиро-

i

вание производится по всем группам молекул. Для нахождения средней скорости <υ> молекул надо эту сумму разделить на общее число молекул N ,т.е.

Аналогичным образом для среднего значения квадрата скорости <υ2> получа-

T1

T2

87

Квадратный корень из <υ2> называют средней квадратичной скоростью υкв. Поэтому

Таким образом, существуют три скорости, характеризующие состояние газа: наивероятнейшая, средняя и средняя квадратичная (см., соответственно, формулы (33.3), (33.5) и (33.7)). Введение этих скоростей обусловлено тем, что физические величины, рассматриваемые в молекулярной физике, связаны с разными скоростями. Так, например, средняя кинетическая энергия молекул термодинамической системы определяется средней квадратичной скоростью, а средняя длина свободного пробега молекул в газе средней скоростью.

2. Распределение Больцмана

Распределение Максвелла можно рассматривать как распределение по кинетическим энергиям, так как в показателе функции f(υ) содержится кинетическая

распределение справедливо для газа, не подверженного никаким внешним воздействиям. Однако в силу определённых причин молекулы могут обладать разными потенциальными энергиями. В этом случае можно говорить о распределении молекул по их потенциальным энергиям. Пусть имеется z газ, который находится в некотором потенциальном поле, например, гравитационном. Считаем, что он находится в равновес-

dz ном состоянии, т.е. силы, действующие на молекулы, скомпен-

fсированы. В таком поле молекулы обладают потенциальной энергией. Например, потенциальная энергия молекулы массой m

на высоте h в гравитационном поле равна mgh. Однако оказывается, что в газе не все молекулы имеют данное значение энергии, а только некоторая часть. Иначе говоря, имеется опреде-

лённое распределение молекул по энергии. Выясним, каков вид этого распределения? Мысленно выделим в газе некоторый элементарный объём dV = dS dz

(рис. 33.3). В потенциальном поле на молекулу действует сила fl = − dWdlp , где fl

— проекция силы на заданное направление l (см. (16.14)). Пусть сила направлена вдоль координатной оси z, перпендикулярно к площадке dS. Тогда f = − dWdzp .

Найдём силу dF, действующую на данную площадку. Она равна силе f, действующей на молекулу, умноженной на число dN молекул, находящихся в элементарном объёме, т.е. dF = f dN = f n dV = fn dS dz, где n — число молекул в единице объёма. Используя это выражение, определим давление, оказываемое газом на

88

площадку dS. Это давление очень мало (элементарное), поскольку высота dz элементарного объёма мала. Поэтому элементарное давление dP, оказываемое газом на данную площадку, равно:

С другой стороны, давление P газа обусловлено тепловым движением молекул. Оно равно P = nkT, где n — число молекул в единице объёма, k — постоянная Больцмана, T — температура газа (см. (35.2)). Возьмём дифференциал от этого выражения, считая, что температура газа постоянна:

поскольку n меняется, так как газ находится в силовом поле. Этот дифференциал давления можно рассматривать как элементарное давление на площадку dS. Поскольку газ находится в равновесии, то левые части уравнений (33.8) и (33.9) одинаковы. Поэтому –n dWp = kT dn или dnn = − dWkTp

ми величинами обращаются как с дифференциалами. Из математики известно, что дифференциал от любой функции известен только с точностью до произвольной постоянной. С учётом этого, последнее уравнение перепишем в виде:

Соотношение (33.10) называется распределением Больцмана. Оно показывает, сколько молекул в единице объёма обладают определённым значением потенциальной энергии при данной температуре. Из этой формулы следует, что число молекул с большей потенциальной энергией меньше числа молекул с меньшей энергией. Распределение Больцмана справедливо для любых потенциальных полей.

Соотношение (33.10) характеризует распределение молекул по потенциальным энергиям. Однако и кинетические энергии теплового движения молекул различны, что следует из распределения Максвелла (33.2). Поэтому различны полные механические энергии молекул, равные сумме кинетической и потенциальной энергии. Можно показать, что распределение молекул по полным механическим энергиям даётся соотношением, аналогичным выражению (33.10):

89