mehanika

являются равновесными, а, следовательно, цикл обратимый. Тогда, согласно второму закону термодинамики (51.1), изменение энтропии замкнутой термодинамической системы, состоящей из нагревателя, охладителя и рабочего тела, равно нулю, т.е. S = 0. Изменение энтропии системы складывается из изменений энтропий тел, входящих в неё. Поскольку рабочее тело возвращается в исходное состояние, то его энтропия не изменяется. Поэтому

где S нагр и S охл — изменение энтропии нагревателя и охладителя. Согласно (49.3), запишем, что S нагр = –Q1 / T1, так как нагреватель отдаёт энергию, и

S охл = Q2 / T2. Учитывая это, из (54.1) получаем: –Q1 / T1 + Q2 / T2 = 0. Отсюда следует, что

К.п.д. идеального теплового двигателя равен η = 1 – Q2 / Q1 (см. (52.3)). Подставляя (54.2) в это выражение, находим:

Получили важный результат: к.п.д. идеального теплового двигателя, работающего по обратимому циклу Карно, зависит только от температуры нагревателя

иохладителя.

Влюбом реальном тепловом двигателе существуют всевозможные потери энергии, к тому же процессы, происходящие в нём, необратимые. Поэтому к.п.д. реального теплового двигателя всегда меньше к.п.д. двигателя Карно, работающего в том же температурном интервале. Необходимо отметить, что, совершенствуя тепловые двигатели, можно лишь приблизить их к.п.д. к к.п.д. двигателя Карно, который является максимально возможным для тепловых двигателей.

теляможно создатьпотокэнергииотнагревателя кохладителюиприэтомчастьэтой энергии превратить в работу. Это справедливо не только для цикла Карно, но и

139

для любых тепловых двигателей. Таким образом, невозможно полностью превратить теплоту в механическую работу при циклическом процессе, в то время как обратный процесс — превращение работы в теплоту — возможен.

Следует отметить, что всё сказанное отражено во втором законе термодинамики в формулировке Томсона — Планка, здесь лишь раскрыто его содержание в применении к тепловым двигателям.

§55. ОБРАТНЫЙ ЦИКЛ КАРНО

Цикл Карно можно провести в обратном направлении. Пусть рабочее тело (идеальный газ), состояние которого на рис. 55.1 изображено точкой 1, адиабатно расширяется до состояния 2. Такое расширение, согласно (40.20), сопровождается охлаждением, температура газа понижается и становится равной температуре T2 охладителя. Далее рабочее тело изотермически расширяется до состояния 3, поглощая от охладителя некоторое количество теплоты Q2, так как

для изотермического расширения надо подводить энергию (§40, п. 6). Из состояния 3 адиабатным сжатием газ переходит в состояние 4, и его температура повышается до температуры нагревателя T1. Наконец, путём изотермического сжатия газ возвращается в исходное состояние 1. При этом он передаёт нагревателю количество теплоты Q1. Итак, в результате данного цикла некоторое количество теплоты переходит от холодного тела к телу с более высокой температурой.

На первый взгляд может показаться, что это противоречит формулировке второго закона термодинамики, данное Клаузиусом (см. §51). Однако это не так, поскольку в данном случае происходит не только передача теплоты от холодно-

го тела к горячему, сопровождающаяся уменьшением энтропии замкнутой термодинамической системы нагреватель — охладитель — рабочее тело, но и превращение механической энергии рабочего тела во внутреннюю энергию нагревателя, что ведёт к возрастанию его энтропии. Этот процесс возрастания энтропии и компенсирует убыль энтропии при переходе теплоты от охладителя к нагревателю.

Обратный цикл Карно является идеализацией реальных обратных циклических процессов, при которых также от холодного тела к более нагретому передаётся определённоеколичествотеплоты.

§56. ХОЛОДИЛЬНИКИ И ТЕПЛОВЫЕ НАСОСЫ

1. Холодильники предназначены для поддержания в холодильной камере температуры, которая ниже температуры окружающей среды. Это осуществляется с помощью установки, работающей по обратному циклу. Рабочим телом в холодильной установке обычно служат пары жидкостей с низкими температурами ки-

140

пения — фреон, аммиак и другие. Работа холодильника осуществляется за счёт энергии, подводимой извне, обычно от электрической сети.

Эффективность холодильников оценивается по холодильному коэффициенту ηх, равному отношению количества теплоты Q2, отобранной от холодильной камеры, к затраченной на это механической работе A, т.е.

Найдём холодильный коэффициент холодильника, работающего по обратному циклу Карно. Поскольку цикл обратимый, то для данного цикла применимы соотношения A = Q1 – Q2 и Q2 / Q1 = T2 / T1 (см. (52.1) и (54.2)).

Подставляя их в (56.1), получаем:

Оценим холодильный коэффициент домашнего холодильника. Температура T2 его морозильной камеры порядка 250 К (–23 °С). Нагревателем служит комнатный воздух, температура которого в окрестности теплообменника T1 ≈ 310 К. Тогда по формуле (56.2) имеем ηх = 4,17. Это означает, что на каждый джоуль энергии, затраченный на работу компрессора, приходится количество теплоты 4,17 Дж, отнятого от холодильной камеры, при условии, что используется самый эффективный обратный цикл Карно. В реальных холодильниках холодильный коэффициент значительно ниже.

2. Тепловой насос — это устройство, используемое для отопительных целей. По сути дела это тот же холодильник, в котором нагревателем служит отапливаемое помещение, а морозильной камерой — наружная атмосфера. Поместив холодильник на улице, и отбирая от наружного воздуха некоторое количество теплоты Q2, можно передавать определённое количество теплоты Q1 внутрь дома, обогревая его. Эффективность теплового насоса определяется коэффициентом ηтн передачи теплоты, равным отношению количества теплоты Q1, полученным отапливаемым помещением, к затраченной на это механической работе A:

Повторяя рассуждения, используемые при выводе холодильного коэффициента холодильника, работающего по обратному циклу Карно, можно найти коэффициент передачи теплоты теплового насоса, работающего по тому же циклу. (Проделать самостоятельно). Он равен

Предположим, что температура воздуха снаружи — 253 К (–20 °С), а внутри дома — 295 К. Тогдаηтн = 295/(295 – 253) ≈7. Этоозначает, чтоприпередачевдом7 Джколичества теплоты расходуется только 1 Дж механической энергии для приведения

141

теплового насоса в действие. В действительности эффективность бытовых тепловых насосов не достигает и половины этого значения. Тем не менее, отапливаемое помещение получает больше количества теплоты, чем его выделилось бы при непосредственном сгорании топлива.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Тепловыми двигателями называются устройства, преобразующие внутреннюю энергию вещества (топлива) в механическую работу. Работа этих двигателей основана на циклических процессах, т.е. таких процессах, в результате которых термодинамическая система возвращается в исходное состояние. Тепловой двигатель состоит из нагревателя (источника энергии), рабочего тела (вещество, подвергающееся расширению и сжатию) и охладителя (тело, имеющее температуру ниже нагревателя). Коэффициент полезного действия (к.п.д.)

η теплового двигателя рассчитывается по формуле: η= Q1 − Q2 , где Q1 — ко-

Q1

личество теплоты, полученное от нагревателя, Q2 — количество теплоты, отданное охладителю.

2. Бензиновые автомобильные двигатели работают по циклу Отто, состоящему из двух изохор и двух адиабат (рис. 53.1). К.п.д. такогодвигателянаходится поформуле

γ−1

η= 1 − V2 . Здесь V1 и V2 — начальный и конечный объём рабочей смеси, соот-

V1

ветственно, γ — отношениетеплоёмкостейприпостоянномдавлениииобъёме.

3. Идеализированным циклом теплового двигателя является цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат (рис. 54.1). Его к.п.д. рассчитывается

из соотношения: ηк = T1 −T2 , где T1 и T2 — температура нагревателя и охлади-

T1

теля, соответственно. Совершенствуя реальные тепловые двигатели, можно приблизить их к.п.д. к к.п.д. цикла Карно, который является максимально возможным для тепловых двигателей.

Цикл Карно можно провести в обратном направлении, в результате чего от охладителя передаётся некоторое количество теплоты нагревателю. Обратный цикл Карно является идеализацией реальных обратных циклических процессов, при которых от холодного тела к более нагретому передаётся некоторое количество теплоты.

4. Холодильники предназначены для поддержания в холодильной камере температуры ниже температуры окружающей среды. Эффективность холо-

дильников оценивается по холодильному коэффициенту ηх, равному ηх = QA2 .

Здесь Q2 — количество теплоты, отобранной от холодильной камеры, А — механическая работа, затраченная на это. Холодильный коэффициент холодиль-

142

температура воздуха вблизи холодильника и в морозильной камере, соответственно.

5. Тепловой насос — устройство, используемое для отопительных целей. По сути дела, это тот же холодильник, в котором нагревателем служит отапливаемое помещение, а морозильной камерой — наружный воздух, от которого и отбирается определённое количество теплоты, в результате чего отапливаемому помещению отдаётся количество теплоты, большее, чем отобрано у наружного

воздуха. Коэффициент передачи теплоты ηтн теплового насоса равен: ηтн = QA1 ,

где Q1 — количество теплоты, переданное внутрь помещения, A — работа, затраченная на это. Коэффициент передачи теплоты теплового насоса, работаю-

щего по обратному циклу Карно, рассчитывается по формуле ηтн = T1 .

T1 −T2

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое тепловые двигатели и каков принцип их действия?

2.Что представляет собой цикл Карно и как рассчитывается его коэффициент полезного действия?

3.Выведите формулу холодильного коэффициента холодильника, работающего по циклу Карно.

4.Что такое тепловой насос? Каковкоэффициент передачи теплотытепловогонасоса, работающего по циклуКарно?

ЗАДАЧИ

12.1.Идеальный тепловой двигатель, работающий по циклу Карно, совершает за цикл работу 2,94 кДж и отдаёт охладителю количество теплоты 13,4 кДж. Найти к.п.д. цикла.

12.2.Идеальный тепловой двигатель работает по циклу Карно. При этом 80% количества теплоты, получаемого от нагревателя, передаётся холодильнику. Количествo теплоты, полученное от нагревателя, 6,28 кДж. Найти к.п.д. цикла и работу, совершаемую за цикл.

12.3.Холодильник, работающий по обратному циклу Карно, совершает за цикл работу 37 кДж. При этом он отбирает тепло от тела с температурой –10 °С и передаёт тепло телу с температурой 17 °С. Найти холодильный коэффициент холодильника и количество теплоты, отнятое у холодного тела, за цикл.

12.4.Для приготовления льда домашний холодильник должен извлечь из морозильной камеры с температурой –13 °С 210 кДж теплоты. В комнате температура 27 °С. Чему равна минимальная механическая работа, необходимая для получения льда. Считать, что холодильник работает по обратному циклу Карно.

12.5.Помещение отапливается тепловым насосом, работающим по обратному циклу Карно. Во сколько раз количество теплоты, полученное при непосредственном сгорании дров и пошедшее на нагревание помещения, меньше количества теплоты, переданного тепловым насосом, который приводится в действие тепловым двигателем, потребляющим

то же количество дров? Тепловой двигатель работает по циклу Карно между температурами 100 °С и 0 °С. В помещении необходимо поддерживать температуру 17 °С. Температура окружающего воздуха — –10 °С.

143

12.6.Электродвигатель мощностью 100 Вт приводит в действие тепловой насос. Температура внутрипомещения— 27 °С, аснаружи— 0 °С. Определитьколичествотеплоты, ежесекундно передаваемоепомещению, еслитепловойнасосработаетпообратномуциклуКарно.

12.7.Идеальный холодильник, работающий по обратному циклу Карно, передаёт теплоту от

холодильника с водой при температуре 0 °С кипятильнику с водой при температуре 100 °С. Какую массу воды нужно заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар 1 кг воды в кипятильнике? Удельная теплота плавления льда — 335 кДж/К, удельная теплота парообразования воды — 2,26 МДж/кг.

12.8.Один киломоль идеального газа совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. При этом объём газа изменяется от 25 до 50 м3 и давление изменяется от 100 до 200 кПа. Во сколько раз работа, совершаемая при таком цикле, меньше работы, совершаемой в цикле Карно, изотермы которого соответствуют наибольшей и наименьшей температурам рассматриваемого цикла, если при изотермическом расширении объём увеличился в 2 раза?

12.9.Идеальный тепловой двигатель, работающий по циклу Карно, совершает за один цикл

работу 73,5 кДж. Температура нагревателя — 100 °С, а охладителя — 0 °С. Найти к.п.д. цикла, количество теплоты, получаемое за один цикл от нагревателя, и количество теплоты, отдаваемое за один цикл охладителю.

ГЛАВА 13. РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ

§57. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА

До сих пор, при рассмотрении вопросов, связанных с физикой газов, предполагалось, что газ является идеальным. Такой подход во многих случаях оправдан, так как при обычных условиях (невысоких давлениях и температурах, близких к комнатной температуре) газ хорошо описывается законами идеального газа. Однако при высоких давлениях газы уже нельзя рассматривать, как идеальные, и, вследствие этого, их принято называть реальными. В реальных газах молекулы испытывают взаимное притяжение и к тому же нельзя пренебрегать их размерами. Оценим собственный объём молекул, содержащихся в одном моле газа при нормальных условиях (давле-

ние P = 1,013 105 Па, температура T = 273,15 К).

–10

V = 22,4 10–3 м3. Следовательно, собственный объём молекул составляет примерно 0,001 от объёма, занимаемого газом (Vс /V ≈ 0,001). Поэтому при небольших давлениях и достаточно высоких температурах, зависящих от газа,

144

можно пренебречь размерами и притяжением молекул, и состояние газа будет хорошо описываться уравнением Менделеева — Клапейрона (см. (35.8)). При высоких же давлениях и низких температурах расстояния между молекулами становятся настолько малыми, что силы межмолекулярного притяжения играют уже заметную роль и собственный объём молекул становится соизмеримым с объёмом, занимаемым газом. В силу этого, поведения газов не удаётся предсказать, исходя из уравнения Менделеева — Клапейрона. В этом можно убедиться из табл. 57.1, в которой приведены экспериментальные данные по изотермическому сжатию одного моля азота при температуре 273,15 К (0 °С). Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона, для одного моля газа α = PV/(RT) должно равняться единице. Однако же при больших давлениях оно заметно отличается отэтойвеличины(табл. 57.1, колон. 2).

Поведение реальных газов значительно лучше описывается уравнением, которое получается из уравнения Менделеева — Клапейрона путём введения в

него поправок, учитывающих притяжение и размер молекул. Это уравнение было названо уравнением Ван-дер-Ваальса в честь учёного, впервые получившего его. Очевидно, что наличие сил притяжения должно привести к увеличению давления газа, а собственный объём молекул — к уменьшению свободного объёма, доступного для других молекул. Поэтому для одного моля газа уравнение Ван-дер-Ваальса записывается в виде:

— дополнительное давление, обусловленное взаимным притяжением молекул, b — поправка на объём, определяющая ту часть объёма, которая недоступна для движения молекул вследствие их конечных размеров. Поправки a и b, называемые поправками Ван-дер-Ваальса, определяются из опыта.

Согласно(57.1), отношениеβ = (P + a/V 2)(V – b)/(RT) = 1. Изтабл. 57.1 (колонка3) видно, что данное отношение меньше отличается от единицы, чем в случае уравнения Менделеева — Клапейрона. Поэтому действительно уравнение (57.1) хорошо описывает поведение реальных газов вплоть до высоких давлений.

§58. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИЗОТЕРМЫ РЕАЛЬНОГО ГАЗА

1. После несложных алгебраических преобразований уравнение (57.1) можно

ни (кубическое уравнение) относительно объёма V, коэффициенты которого

145

зависят от давления P и температуры T. Известно, что такое уравнение имеет три корня. Эти корни могут быть либо все действительными, либо один действительным и два мнимыми. Это зависит от значений коэффициентов при переменной и свободного члена, т.е. в данном случае — от параметров P и T.

Графики зависимости давления от объёма при неизменной температуре, т.е. семейство теоретических изотерм реального газа, приведены на рис. 58.1. Эти изотермы час-

то называют изотермами Ван-дер-

Ваальса. В отличие от монотонно изменяющихся изотерм идеального газа (см. рис. 35.1), изотермы Ван-дер-Ваальса при температурах ниже температуры Tк,

называемой критической, изображаются сложными кривыми. В этом случае одному значению давления P соответствуют три значения объёма, которые может иметь вещество. С повышением температуры эти значения объёма сближаются и при критической температуре сливаются в одну точку. Эта точка К является точкой перегиба изотермы Ван-дер-Ваальса, соответствующей температуре Tк. Такое состояние газа называют критическим. Оно возникает при определённых значениях давления Pк, объёма Vк и температуры Tк, зависящих от природы газа.

С целью выяснения физического смысла состояний, описываемых изотермами Ван-дер-Ваальса, сравним их с экспериментальными изотермами реального газа.

2. Для получения экспериментальных изотерм газ помещают в цилиндрический сосуд с плотно пригнанным поршнем (рис. 58.2). В сосуде поддерживается постоянная температура. Медленно сжимая газ, измеряют давление с помощью манометра М и объём газа. Результаты такого опыта приведены на рис. 58.3. На участке 1 – 2 происходит сжатие газа. Начиная с объёма V2, наблюдается конденсация газа в жидкость. Образуется двухфазная система жидкость — насыщенный

Р4

146

пар. Давление насыщенных паров не зависит от объёма и определяется только температурой (см. §64, п. 4). Поэтому участок 2 — 3 — горизонтальный. При объёме газа, равном V3, газ полностью превращается в жидкость. Вследствие этого, дальнейшее, даже очень незначительное уменьшение объёма жидкости возможно лишь при значительном давлении, оказываемом на жидкость. В силу этого участок 3 — 4 идёт очень круто. Следует отметить, что на участках 1 — 2 и 3 — 4 зависимость P от V подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса, т.е. это уравнение описывает поведение вещества в газообразном и жидком состояниях.

Приведём опытные изотермы реального газа при различных температурах (рис. 58.4). Из этого рисунка видно, что с повышением температуры горизонтальный участок сокращается, стягиваясь в точку при критической температуре. В критическом состоянии исчезает всякое различие между жидкостью и газом. Далее следует, что при температурах выше критической температуры газ при сжатии не может быть превращён в жидкость. Проведём линию через крайние точки горизонтальных участков изотерм (пунктирная линия). Получается колоколообразная кривая, ограничивающая области агрегатных состояний вещества (рис. 58.5). Кривые ЕК и МК ограничивают область (Ж) жидкого состояния вещества, кривая МКН — область пар — жидкость (Ж — П), кривая EKН — область газа (Г). Условно область (П) состояний газа при температурах ниже критической называется

паром.

3. Пересыщенный пар и перегретая жидкость. Изотермы Ван-дер-Ваальса от-

личаются от экспериментальных изотерм лишь в области, где вещество одновременно находится в жидком и газообразном состояниях. Вместо изгибов на теоретической изотерме опытная изотерма имеет горизонтальный участок (см. рис. 58.1 и 58.4). Однако тщательное опытное изучение изотерм реального газа показывает, что кривые Ван-дер-Ваальса воспроизводятся в более широкой области. Если газ очистить от пылинок и других примесей и сжимать его изотермически при температуре ниже критической, то при достижении давления насыщенных паров при данной температуре (состояние 2, рис. 58.6), образование двухфазной системы жидкость-пар не происходит. Пар продолжает существовать и при давлениях, бóльших давления насыщенных паров (кривая 2-3, рис. 58.6). Такие пары называют пересыщенными. Проведём теперь опыт с жидкостью, очищенной от растворённых в ней газов, находящейся под давлением. Будем увеличи-

147

вать её объём, уменьшая её давление, при постоянной температуре. Когда давление достигает давления насыщенных паров при данной температуре (точка 5 на рис. 58.6), то также не происходит образования двухфазной системы. Вещество продолжает существовать в одной фазе и при дальнейшем уменьшении давления. Таким образом, изотерма воспроизводится не только на участке 4 - 5, но и на кривой 5 - 6. Жидкость, существующая при давлениях, меньших давления насыщенных паров этой жидкости при данной температуре, назы-

ваетсяперегретой.

Итак, не реализуется только небольшая часть изотермы Ван-дер-Ваальса (участок 3 - 6), где сжатие вещества сопровождается уменьшением давления, в то время как для любого вещества

происходит обратное. Эта часть теоретической Рис. 58.6 изотермы соответствует совсем неустойчивым состояниям вещества.

§59. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ РЕАЛЬНОГО ГАЗА

В идеальном газе притяжение между молекулами отсутствует, и потенциальная энергия их взаимодействия равна нулю. Как было показано (см. §37), внутренняя энергия Uμ′ , равная кинетической энергии Wк молекул одного моля иде-

где CμV — молярная изохорная теплоёмкость газа.

В реальных газах притяжение молекул играет заметную роль. Поэтому его внутренняя энергия складывается из кинетической и потенциальной энергии взаимодействия его молекул. Внутренняя энергия Uμ одного моля такого газа равна

Найдём потенциальную энергию Wp взаимодействия молекул газа. При расширении газ совершает работу по преодолению сил межмолекулярного притяжения. Эти силы называют Ван-дер-Ваальсовыми. Силы Ван-дер-Ваальса обусловлены электрическим взаимодействием молекул, поскольку они состоят из разноимённо заряженных частиц (атомных ядер и электронов). Силы же электрического взаимодействия являются потенциальными. Поэтому и Ван-дер- Ваальсовы силы также потенциальные. Элементарная работа dA потенциальных сил равна элементарному изменению dWp потенциальной энергии системы, взятому с обратным знаком (см. (16.6)), т.е. dA = –dWp. В данном случае dA = –PвнdV = –a dV/V2, так как, согласно (57.2), Pвн = a/V2. Работа отрицатель-

148