1. Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)

A

Рис.14.6.

На горизонтальную балку АВ приложим статически силу Р₁. Балка прогнется и займет положение пунктирной линии, сила Р₁ совершит работу А₁₁ = Р₁Δ₁₁/2. Далее приложим статически силу Р₂, балка еще прогнется (сплошная линия), сила Р₂ совершит работу А₂₂ = Р₂Δ₂₂/2. При этом сила , постоянная на перемещении, совершит работу . Суммарная работа А при этом будет

А = А₁₁ + А₁₂ + А₂₂ = Р₁Δ₁₁/2 + Р₁Δ₁₂ + Р₂Δ₂₂/2 (14.3)

Здесь: Δ₁₁- перемещение по направлению Р₁ от Р₁;

Δ₁₂ – перемещение по направлению Р₁ от Р₂;

Δ₂₁ – перемещение по направлению Р₂ от Р₁;

Δ₂₂ – перемещение по направлению Р₂ от Р₂

По принципу независимости действия сил, суммарную деформацию балки (сплошная линия), можно получить одновременно статически прикладывая Р₁ и Р₂. При этом получим ту же работу А

А = Р₁(Δ₁₁+Δ₁₂)/2 + Р₂(Δ₂₁+ Δ₂₂)/2 (14.4)

Приравнивая (14.3) и (14.4) получим

Р₁Δ₁₂ = Р₂ Δ₂₁ или А₁₂ = А₂₁ (14.5)

Итак: Работа Р₁ по ее направлению на перемещении (Δ₁₂), вызванном Р₂ , равна работе Р₂ по ее направлению на перемещении (Δ₂₁), вызванном Р₁. Это и есть теорема Бетти. Эта теорема справедлива и в случае, когда под Р₁ и Р₂ подразумеваются системы нагрузок.

II. Теорема о взаимности перемещений (принцип Максвелла)

Пусть на балку (рис. 14.6) приложены силы Р₁ = Р₂ = 1 (единичные силы). Для удобства перемещения от этих единичных сил будем обозначать . С учетом (14.5) можно записать

, т.к. Р₁ = Р₂ = 1 получим

(14.6)

Это и есть принцип Максвелла: для двух единичных нагружений упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванной первой силой.

Ш. Формула перемещений (Мора)

В разделе 3, формула (3.18) показано, что потенциальная энергия деформации при растяжении (сжатии) стержня силой равна

(14.7)

В разделе 5, формула (5.21) показано, что при изгибе стержня энергия .

В общем случае можно записать, допуская, что изгиб М может быть и относительно оси х () и относительно оси у()

(14.8)

Полагаем, что деформации стержней малы, материал их подчиняется закону Гука, потерь энергии нет и работы определенные выше, переходят в потенциальные энергии , т.е. , где i = 1,2 и j = 1,2.

От нагрузки Р₁ в каждом стержне конструкции появляются N = N₁ и М = М₁. С учетом (14.7) и (14.8) и т.к. получим

(а)

Здесь интегрирования надо вести по длине каждого стержня, а потом суммировать по всем стержням конструкции.

От нагрузки Р₂ в каждом стержне появляется N = N₂ и М = М₂ и тогда

(в)

При одновременном действии нагрузок Р₁ и Р₂ в каждом стержне появятся N = N₁ + N₂ и М = М₁ + М₂ и тогда работа, совершаемая этими силами

(с)

Из формулы (14.3) найдем

.

Подставляя сюда формулы (а), (в) и (с) получим

После простых преобразований найдем:

(d)

Полагаем: 1) Р₁ = 1 (единичная нагрузка), от нее возникают N₁ и М₁ во всех стержнях;

2) Р₂ = Р_Р – внешняя нагрузка, от нее в каждом стержне возникают N₂ = N_P, М₂ = М_Р, а т.к. А₁₂ = Р₁Δ₁₂ = 1∙ Δ₁₂ = Δ₁₂ = Δ_1Р.

Подставляя все вышесказанное в (d) получим

(14.9)

Эта формула называется формула Мора, она определяет перемещение в направлении «единичной силы» от внешней нагрузки.

Порядок вычислений по формуле Мора

1. От внешней нагрузки для каждого стержня конструкции находятся формулы для вычислений и построения эпюр N_Р и M_P;

2. в искомом сечении по направлению искомого перемещения прикладывается «единичная нагрузка» (для линейного перемещения – сосредоточенная сила Р₁=1, для угла поворота сечения – сосредоточенный момент m₁=1) и от этого нагрузки во всех стержнях определяются формулы для N₁ и М₁, по которым строятся эпюры и ;

3. искомое перемещение определяется по формуле Мора (14.9), что на практике сводится к перемножению эпюр: N₁ на N_P и эпюр: М₁ на М_Р для каждого стержня и суммированием результатов;

4. если в результате вычислений получиться Δ_1Р > 0, то искомое перемещение совпадает с направлением «единичной нагрузки».

В формуле (14.9): Е – модуль упругости материала стержней, А и J – площади и моменты инерции относительно оси изгиба сечений каждого стержня.

На практике в формуле (14.9) используются лишь одно слагаемое:

В фермах, где стержни работают в основном на растяжение-сжатие оставляют обычно только первое слагаемое. А т.к. эпюры и постоянны по длине стержней, то

(14.10)

Здесь n – число стержней в ферме.

В рамах (балках) используются обычно стержни большой изгибной жесткости EI и они работают в основном на изгиб. Поэтому, с достаточной точностью в (14.9) можно оставить только второе слагаемое

(14.11)

Перемножение эпюр можно проводить способом Верещагина: произведение эпюр равно площади одной эпюры, умноженной на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Умножение вести с учетом знаков.

Например:

1)
2)	Трапецию надо разбить на 2 фигуры: треугольник и прямоугольник

3)	Верхнюю эпюру с переменными знаками представляют в виде суммы двух треугольников (пунктир) с разными знаками
4)	Эпюры ограничены параболой n-ой степени. Эти эпюры лучше принимать за первые и для них определять А и A1= A2=

Рис.14.7.

Определение перемещений в статически определимых конструкциях методом сил