3. Расчет на динамические воздействия

Задача динамического расчета формулируется, как и в статическом случае, в виде вариационного равенства

(3.1)

u(0)=и⁰ , ∂u/∂t(0)=и¹, где

и_i = u (t)- точное решение;

b(u,v), c(u,v) -возможные работы инерционных и демпфирующих сил,

и⁰ ,и¹ -начальные значения перемещения и скорости.

Остальные обозначения те же, что и в статической задаче.

Реализован метод решения динамической задачи, заключающийся в сочетании МКЭ с разложением по формам собственных колебаний. Решение (2.1) ищем в виде

(3.2)

где: u_i (t)- скалярные функции;

 _i -базисные функции соответствующей статической задачи.

Подставив в (3.1) U_h вида (3.2) вместоUи_j ( j=1.......N)вместоV,получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(3.3)

где:х(t), x⁰ , x¹ - векторы с элементамиXi(t)=u_i(t), x_i ⁰ = L_iU ^u, x_i ¹=LiU¹,

M и С- матрицы масс и демпфирования с элементамит_i,j=b(_i , _j), c_i,j = c(_i , _j).

Матрица жесткости К и вектор нагрузокP(t)определяются, как и для статической задачи. Этот метод известен как полудискретная аппроксимация. Его погрешность (разность междуU и U_h)по потенциальной и кинетической энергии оценивается как в совместном, так и в несовместном случаях величиной, пропорциональнойh^ .

Систему (3.3) решаем методом разложения по формам собственных колебаний.

Пусть_i., _i <M _i , _i >=1решение задачи на собственные значения

К =M (3.4)

(Символом <,>обозначается скалярное произведение вR^N).

Задача на собственные значения (3.4) решается методом итерации подпространств.

Полагая в (3.3) из ортогональности функции_i получим (при определенных предположениях относительно матрицыС), что система (3.3) распадается на независимые уравнения относительноy_i (t):

(3.5)

где:

Решение уравнения (3.5) имеет вид:

где

Векторы инерционных сил S_i(t)вычисляются по формуле

В расчетах используются величины

1. Для ветровой нагрузки S_i,0 = w_н _i,

где w_н -нормативное значение ветровой нагрузки,

 _i -коэффициент динамичности, зависящий от _i ,  _iи скорости ветра.

2. Для сейсмической нагрузки

где А- относительная величина ускорения,

 _i - коэффициент динамичности, зависящий от _i и  _i .

3. Для импульсивной и ударной нагрузок

где _i, зависит от t_o ,  _i

t_o -время действия импульса;

 - учитывает периодичность действия нагрузки;

, где

m₀ , ₀ -масса и скорость ударяющего тела;

 -коэффициент восстановления формы соударяющихся тел.

Коэффициент  зависит от того, являются ли колебания установившимисяили неустановившимися, гдеn -число повторении импульсов.

4. Для гармонической нагрузкивычисляются суммарные по всем формам инерционные силыS₁иS₂ , соответствующие косинусоидальной (действительной) и синусоидальной (мнимой) составляющим:

где

.

Тогда

В перечисленных выше вариантах воздействий возможно точное вычислениеy_i (t). В остальных случаях решенияy_i (t)находим численно.

В частности, при расчете на сейсмическую нагрузку по акселерограмме в каждый момент времениt_kзадается векторP_k. =P(t_k). Тогда в (3.5) имеемP_i,k =P_i(t_k).

Далее уравнения (3.5) решаются методом конечных разностей по схеме Ньюмарка. Получаем значения перемещенийy_i,k = y_i(t_k)и инерционных силS_i,k = S_i (t_k),по которым вычисляется

При расчетах на сейсмические воздействия ПК ЛИРА позволяет применить метод спектра ответов. Расчет заключается в том, чтобы при заданной функции S₀(ω), обычно кусочно-линейной, вычислить линейной интерполяцией значенияS₀(ω_i). ФункцияS₀(ω)может быть представлена графиками спектров ускорений, скоростей или перемещений.

Реализованы следующие модули расчета на динамические воздействия:

Модуль 20 - сейсмическое воздействие по СНиП II-7-81;

Модуль 30 - сейсмическое воздействие по СНиП II-7-81*

с изменениями на 01.01.1996 года;

Модуль 35 - сейсмическое воздействие по СНиП II-7-81**

с изменениями на 01.01.2000 года;

Модуль 27 - сейсмическое воздействие по акселерограмме;

Модуль 32 - сейсмическое воздействие по СНРА II-2.02-94 (Армения);

Модуль 33 - сейсмическое воздействие по нормам

КМК 2.01.03-96 (Узбекистан);

Модуль 40 - сейсмическое воздействие по NFP06-013 (Франция);

Модуль 41 - сейсмическое воздействие по методу спектра ответов;

Модуль 42 - сейсмическое воздействие по IBC-2000 (США);

Модуль 21 – ветровое воздействие с учетом пульсации

по СНиП 2.01.07-85*;

Модуль 22 – импульсивное воздействие;

Модуль 23 – ударное воздействие;

Модуль 24 – гармонические колебания;

Модуль 28 – гармонические колебания с учетом частотных зон;

Модуль 100 – модальный анализ.