6. Расчет на устойчивость

Реализованный вариант расчета на устойчивость предполагает, что распределение силN_о известно из линейного расчета. Требуется найти значение числового параметра_отакое, чтобы при силах(_о * N_о)произошла потеря устойчивости.

Задача определения критических сил и соответствующих им форм потери устойчивости допускает следующую вариационную формулировку: найти перемещениеи  0и число_отакие, что при всех допустимых перемещенияхv справедливо равенство:

(6.1)

гдеd(u,v )- возможная работа сил при заданном их распределенииN_o.

Пользуясь выражением (1.3) и обозначив Dматрицу с элементами, получим из (6.1) задачу на собственные значения для матриц

(6.2)

Погрешность МКЭ в задаче устойчивости для критических сил и соответствующих им форм потери устойчивости пропорциональнаh^ .

Решение производится методом половинного деления. Этот метод основан на том, что матрицаположительно определена лишь при<₀. Отсутствие положительной определенности матрицы соответствует наличию отрицательных чисел на главной диагонали после исключений по методу Гаусса.

После определения с заданной точностью параметра₀форма потери устойчивости находится как собственный вектор матрицыK(λ₀)методом итерации подпространств, изложенным в п.3.

Расчет реализуется в упругой стадии. Значения сжимающих сил и напряжений в элементах схемы уже вычислены с помощью линейного процессора. При выполнении расчета на устойчивость предполагается, что эти значения выражены через критический параметр нагрузки:

где

i- номер загружения;

j- номер элемента в схеме;

P_i- суммарная нагрузка вi-том загружении;

- критическая нагрузка вi-том загружении;

- продольное усилие или напряжение вj-том элементе вi-том загружении;

- критическое продольное усилие вj-том элементе вi-том загружении;

_i- параметр нагрузки (коэффициент запаса устойчивости).

В процессе счета для каждого загружения определяются первая форма потери устойчивости и соответствующий ей коэффициент запаса.

Допускается также производить проверку устойчивости по линейным комбинациям загружений (РСН).

Если в расчете схемы присутствуют динамические загружения, то проверка устойчивости схемы для них может быть произведена только через комбинации загружений (РСН). Это связано с тем, что разложенные по формам колебаний результаты расчета на динамическое воздействие необходимо преобразовать в суммарные.

В процессе расчета общей устойчивости итерационным методом определяется значение  такое, при котором хотя бы один элемент диагонали матрицы жесткости обращается в ноль. Еслиi 1, то считается, что схема устойчива в данном загружении или при данной комбинации загружений.

В качестве исходных данных задаются начальный масштабный множитель к продольным силамN_i( по умолчанию=2), а также точность вычислений (по умолчанию равна 0.01). Предполагается, что приi> система абсолютно устойчива.

В результате вычисляются коэффициенты запаса устойчивости _i, первая форма потери устойчивости и коэффициенты свободной длины для стержневых элементов, исходя из общей устойчивости, по следующим формулам:

(6.3)

, где:

y_ij, z_ij – коэффициенты свободной длиныj-того стержня

соответственно в плоскостях X1oZ1,X1oY1

для i-того загружения;

EJ_yj, EJ_zj– изгибные жесткостиj-того стержня соответственно в

плоскостях соответственно X1oZ1,X1oY1;

Nкр_ij = i*N_ij - критическое продольное усилие сжатия вj-том стержне

для i-того загружения;

_i – коэффициент запаса устойчивости дляi-того загружения;

l_j - длинаj-того стержня.