Lesn3_Integraly1

4

§1. Понятие неопределенного интеграла

Лекция 1

Глава I.

Неопределенный интеграл

§1. Понятие неопределенного интеграла

предыдущих главах мы занимались задачей дифференцирования функции, другими словами, по данной функции f(x) находили ее производную f (x) . Теперь будем решать обратную

задачу по известной производной f (x) восстанавливать саму функцию f(x). Соответственно, изменится и терминология.

Определение 1. Функция F(x), производная которой на интервале (a; b) равна данной функции f(x), называется первообразной функции f(x) на этом интервале.

Поставленная выше задача теперь формулируется так:

по данной функции f(x) найти ее первообразную F(x). Эта зада-

ча, как следует из примера, решается неоднозначно.

Теорема 1. Любые две первообразные данной функции на интервале (a; b) могут отличаться друг от друга на этом интервале только на постоянное слагаемое.

7

Глава I. Неопределенный интеграл

числим ее производную на рассматриваемом интервале: u (x) F1(x) F (x) f (x) f (x) 0. Согласно критерию посто-

усть F(x) одна из первообразных функции f(x) на интервале (a; b). Тогда множество всех первообразных функции f(x) на этом интервале совпадает со множеством всех функций вида F(x) + С, где С некоторая константа. Каждая первообразная полностью определяется функцией F(x) и числом С (значением параметра С), поэтому можно говорить об однопараметрическом семействе {F(x) + С} первообразных функции f(x).

x переменная интегрирования; f(x) подынтегральная функция;

f(x)dx подынтегральное выражение. Прочтение: интеграл от f(x) по dx.

В дальнейшем дифференциал независимой переменной в подынтегральном выражении будем считать множителем.

Итак, если F(x) любая первообразная функции f(x), то

Пример 2.

(3x2 2x)dx x3 x2 C .

Если первообразная функции, то есть ее неопределенный интеграл, на данном интервале существует, то функция называется интегрируемой на этом интервале. Процесс вычисления неопределенного интеграла функции называется интегрированием этой функции.

8

§1. Понятие неопределенного интеграла

Замечание. Из определения интеграла вытекает эквивалентность равенств (1) и (2). Это означает, что проверку равенства

(2) можно свести к проверке равенства (1), то есть к про-

верке того, что при дифференцировании функции из правой части равенства получается подынтегральная функция интеграла из левой части равенства.

ервый вопрос, который возникает при исследовании неопределенных интегралов, это вопрос о классе интегрируемых функций. Ограничимся рассмотрением одного из достаточных условий интегрируемости функции.

Теорема 2. Если функция непрерывна на интервале или имеет на нем конечное число точек разрыва I рода, то она интегрируема на этом интервале.

Доказательство первой части утверждения будет получено позже при исследовании свойств определенного интеграла.

Обратимся к вопросу об интегрировании элементарных функций. Рассмотрим сначала интегрирование основных эле-

ментарных функций.

9