Lesn4_Rjady_I
.pdfЛекции
по высшей математике
А.И. ТЕРРЕ
Основы теории рядов Операционное исчисление
2011
0
А.И. Терре
ЛЕКЦИИ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Основы теории рядов Операционное исчисление
Томск - 2011
УДК
Терре А. И.
Лекции по высшей математике. Основы теории рядов. Операционное исчисление.
Весь курс разбит на 7 глав. Первая из них посвящена числовым рядам. …
ISBN
Оглавление
Глава I. Числовые ряды
§1. Комплексные числовые ряды. Основные понятия и |
|
простейшие свойства………………………………... |
6 |
§2. Вещественные положительные ряды………………. |
14 |
§3. Вещественные знакопеременные ряды…………...... |
24 |
§4. Комплексные числовые ряды. Абсолютная и |
|
условная сходимости рядов………………………… |
31 |
Глава II. Функциональные ряды
§1. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимости…………………………………………... 33
§2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды….. 38
Глава III. Степенные ряды
§1. Степенной ряд. Область сходимости………………. |
41 |
§2. Свойства суммы степенного ряда………………….. |
42 |
§3. Ряды Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора. |
45 |
§4. Нули функции……………………………………….. |
50 |
§5. Приложения рядов Тейлора………………………… |
51 |
Глава IV. Ряды Лорана
§1. Ряд Лорана. Основные понятия…………………….. |
53 |
§2. Разложение функции в ряд Лорана………………… |
55 |
§3. Особые точки функции……………………………... |
58 |
§4. Вычеты функции…………………………………….. |
67 |
§5. Приложение вычетов к вычислению интегралов…. |
76 |
Глава V. Ряды Фурье
§1. Ряд Фурье по ортогональной системе функций…... |
79 |
§2. Тригонометрический ряд Фурье…………………… |
82 |
§3. Разложение функции в ряд Фурье………………….. |
85 |
§4. Различные формы ряда Фурье……………………… |
91 |
§5. Свойства ряда Фурье по ортогональной системе |
|
функций……………………………………………… |
96 |
3
Глава VI. Интегралы Фурье
§1. Интегралы, зависящие от параметра……………... |
102 |
§2. Интеграл Фурье……………………………………. |
104 |
§3. Различные формы записи интеграла Фурье……… |
107 |
§4. Спектральный анализ непериодического сигнала.. |
111 |
§5. Преобразование Фурье…………………………….. |
115 |
Глава VII. Элементы операционного исчисления
§1. Понятия оригинала и изображения……………….. |
121 |
§2. Изображения простейших оригиналов…………… |
126 |
§3. Свойства преобразования Лапласа……………….. |
127 |
§4. Нахождение оригинала по его изображению…….. |
135 |
§5. Приложения операционного исчисления………… |
140 |
|
150 |
4
Предисловие
Курс лекций предназначен для студентов второго курса высших технических учебных заведений.
5
Глава I. Числовые ряды
Лекция 1
Глава I.
Числовые ряды
§1. Комплексные числовые ряды. Основные понятия и простейшие свойства
усть дана последовательность комплексных чисел a1, a2 , ..., an , ...
Определение 1. Выражение вида
an a1 a2 ... an ... (1) n 1
называется комплексным числовым рядом.
Если все числа an являются вещественными, то и ряд называется вещественным числовым рядом.
Числа an называются слагаемыми (членами) ряда. Слагаемое an, для которого указана функциональная зависимость от номера n, называется общим членом ряда.
Запись общего члена ряда: an = f(n).
Пример 1.
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
|
1 |
i ln n . Комплексный, общий член ряда |
an |
1 |
i ln n . |
n |
n |
|||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
( 1)n 1 . Вещественный, общий член ряда an ( 1)n 1 . |
|||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
Понятие ряда является обобщением понятия суммы на случай бесконечного числа слагаемых. В этом случае под суммой естественно понимать число, к которому стремится сумма
6
§1. Комплексные числовые ряды …
первых слагаемых ряда, когда количество этих слагаемых неограниченно возрастает. Точнее, сумма ряда определяется следующим образом.
Определение 2. Сумма первых n слагаемых ряда
Sn a1 a2 ... an |
(2) |
|
называется n-ой частичной суммой ряда. |
|
|
Предел |
|
|
S lim S |
n |
(3) |
n |
|
последовательности {Sn} частичных сумм при n , если он существует и конечен, называется суммой ряда. Ряд в этом случае называется сходящимся рядом. Если же предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.
Пример 3.
Пусть a 0, q 0. Рассмотрим ряд
|
|
|
|
aqn 1 |
a aq aq2 |
... aqn 1 ... |
(4) |
n 1 |
|
|
|
В теории числовых рядов этот ряд играет роль своеобразного эталона. Как и в вещественном случае, он называется геометрической прогрессией со знаменателем q. Исследуем его на сходимость.
Предположим сначала, что q = 1. Тогда частичные суммы имеют
вид Sn = an. Отсюда вытекает, что предел lim Sn является беско- |
||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
нечным. Следовательно, ряд в этом случае расходится. |
|
|
|
|||||||
Пусть теперь q 1. Тогда, как и в вещественном случае, доказы- |
||||||||||
вается, что сумма Sn первых n слагаемых равна Sn |
a(1 qn ) |
. |
|
|||||||
|
|
1 q |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим следующие три случая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. | q | < 1. В этом случае |
lim |qn | lim |q| n |
0 |
|
и, следовательно, |
||||||
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim qn 0 . Для суммы S ряда получаем равенство |
S lim Sn |
|
a |
. |
||||||
|
||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
|
1 q |
||
Таким образом, при | q | < 1 |
ряд сходится и |
S |
|
a |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 q |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Глава I. Числовые ряды
2. | q | > 1. В данном случае lim |qn | lim |q| n . Тогда, как легко
n n
видеть, предел частичных сумм существует, но является бесконечным. 3. | q | = 1. Учитывая, что q 1, получаем: = arg q > 0. Отсюда
следует, что Arg qn = n . Тогда предел lim Sn не существует.
n
Таким образом, при | q | = 1, q 1 ряд расходится.
|
|
|
Итак, ряд aqn 1 сходится |
| q | < 1. |
► |
n 1 |
|
|
асто при исследовании рядов приходится отбрасывать первые слагаемые ряда. Выясним, как влияет такая процедура на сходимость ряда.
Определение 3. Ряд
|
|
|
|
an ak 1 |
ak 2 |
... , |
(5) |
n k 1
получаемый из ряда an удалением первых k слагае-
n 1
мых, называется k-м остатком ряда.
Теорема 1. Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится любой его остаток.
Если S сумма ряда, а rk – сумма его k-го остатка, то
S = Sk + rk. |
|
(6) |
|
|
|
|
|
Доказательство. Рассмотрим ряд an |
и его остаток |
a |
n |
n 1 |
|
n k 1 |
с произвольным номером k. Возьмем частичную сумму ряда Sn, n > k, и частичную сумму n-k остатка ряда. Для них имеет место равенство Sn = Sk + n-k. Перейдем в нем к пределу:
lim Sn Sk lim n k . |
|
n |
n |
Из данного равенства вытекает, что конечный предел
lim Sn существует тогда и только тогда, когда существует ко-
n
8
§1. Комплексные числовые ряды …
нечный предел lim n k . Из этого же равенства вытекает ра- |
|
n |
|
венство (6). |
► |
Следствие. Сумма k-го остатка сходящегося ряда |
rk удовлетво- |
ряет условию |
|
lim r 0 . |
(7) |
k k |
|
Доказательство. Перейдем в равенстве (6) к пределу при k :
lim S lim S |
|
lim r . Так как ряд сходится, |
то |
||
k |
k |
|
k |
k k |
|
S S lim r |
. Отсюда и вытекает равенство (7). |
► |
|||
|
k k |
|
|
|
|
Нахождение точного значения суммы ряда является во многих случаях достаточно сложной задачей. Как найти приближенное значение суммы?
Пусть ряд an сходится. Заменим его сумму S на n-ую
n 1
частичную сумму Sn. Погрешность приближенного равенства S Sn согласно (6) равна rn: S Sn = rn. Но ряд сходится, поэтому в силу равенства (7) имеем nlim rn 0 . Это означает, что, взяв
n достаточно большим, можно сделать rn как угодно малым. Другими словами, для сходящегося ряда погрешность приближенного равенства S Sn можно сделать как угодно малой.
Таким образом,
сумму сходящегося ряда можно с любой степенью точности представить подходящей частичной суммой этого ряда.
дальнейшем исследование любого числового ряда будет начинаться с исследования на сходимость. Для этого нужно знать признаки сходимости ряда.
Договоримся далее, при стандартной индексации слагае-
мых ряда an , использовать упрощенную запись ряда: an .
n 1
Рассмотрим сначала один из необходимых признаков схо-
9