Lesn4_Rjady

Лекции

по высшей математике

А.И. ТЕРРЕ

Основы теории рядов Операционное исчисление

2011

0

А.И. Терре

ЛЕКЦИИ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Основы теории рядов Операционное исчисление

Томск - 2011

УДК

Терре А. И.

Лекции по высшей математике. Основы теории рядов. Операционное исчисление.

Весь курс разбит на 7 глав. Первая из них посвящена числовым рядам. …

ISBN

Оглавление

Глава I. Числовые ряды

Глава II. Функциональные ряды

§1. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимости…………………………………………... 33

§2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды….. 38

Глава III. Степенные ряды

Глава IV. Ряды Лорана

Глава V. Ряды Фурье

функций……………………………………………… 104

3

Предисловие

Курс лекций предназначен для студентов второго курса высших технических учебных заведений.

5

Глава I. Числовые ряды

Лекция 1

Глава I.

Числовые ряды

§1. Комплексные числовые ряды. Основные понятия и простейшие свойства

усть дана последовательность комплексных чисел a1, a2 , ..., an , ...

Определение 1. Выражение вида

an a1 a2 ... an ... (1) n 1

называется комплексным числовым рядом.

Если все числа an являются вещественными, то и ряд называется вещественным числовым рядом.

Числа an называются слагаемыми (членами) ряда. Слагаемое an, для которого указана функциональная зависимость от номера n, называется общим членом ряда.

Запись общего члена ряда: an = f(n).

Пример 1.

Понятие ряда является обобщением понятия суммы на случай бесконечного числа слагаемых. В этом случае под суммой естественно понимать число, к которому стремится сумма

6

§1. Комплексные числовые ряды …

первых слагаемых ряда, когда количество этих слагаемых неограниченно возрастает. Точнее, сумма ряда определяется следующим образом.

Определение 2. Сумма первых n слагаемых ряда

последовательности {Sn} частичных сумм при n , если он существует и конечен, называется суммой ряда. Ряд в этом случае называется сходящимся рядом. Если же предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 3.

Пусть a 0, q 0. Рассмотрим ряд

В теории числовых рядов этот ряд играет роль своеобразного эталона. Как и в вещественном случае, он называется геометрической прогрессией со знаменателем q. Исследуем его на сходимость.

Предположим сначала, что q = 1. Тогда частичные суммы имеют

Глава I. Числовые ряды

2. | q | > 1. В данном случае lim |qn | lim |q| n . Тогда, как легко

n n

видеть, предел частичных сумм существует, но является бесконечным. 3. | q | = 1. Учитывая, что q 1, получаем: = arg q > 0. Отсюда

следует, что Arg qn = n. Тогда предел lim Sn не существует.

n

Таким образом, при | q | = 1, q 1 ряд расходится.

асто при исследовании рядов приходится отбрасывать первые слагаемые ряда. Выясним, как влияет такая процедура на сходимость ряда.

Определение 3. Ряд

n k 1

получаемый из ряда an удалением первых k слагае-

n 1

мых, называется k-м остатком ряда.

Теорема 1. Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится любой его остаток.

Если S сумма ряда, а rk – сумма его k-го остатка, то

с произвольным номером k. Возьмем частичную сумму ряда Sn, n > k, и частичную сумму n-k остатка ряда. Для них имеет место равенство Sn = Sk + n-k. Перейдем в нем к пределу:

Из данного равенства вытекает, что конечный предел

lim Sn существует тогда и только тогда, когда существует ко-

n

8

§1. Комплексные числовые ряды …

Доказательство. Перейдем в равенстве (6) к пределу при k :

Нахождение точного значения суммы ряда является во многих случаях достаточно сложной задачей. Как найти приближенное значение суммы?

Пусть ряд an сходится. Заменим его сумму S на n-ую

n 1

частичную сумму Sn. Погрешность приближенного равенства S Sn согласно (6) равна rn: S Sn = rn. Но ряд сходится, поэтому в силу равенства (7) имеем nlim rn 0 . Это означает, что, взяв

n достаточно большим, можно сделать rn как угодно малым. Другими словами, для сходящегося ряда погрешность приближенного равенства S Sn можно сделать как угодно малой.

Таким образом,

сумму сходящегося ряда можно с любой степенью точности представить подходящей частичной суммой этого ряда.

дальнейшем исследование любого числового ряда будет начинаться с исследования на сходимость. Для этого нужно знать признаки сходимости ряда.

Договоримся далее, при стандартной индексации слагае-

мых ряда an , использовать упрощенную запись ряда: an .

n 1

Рассмотрим сначала один из необходимых признаков схо-

9