Lesn4_Rjady

Глава III. Степенные ряды

Лекция 6

§3. Ряд Тейлора.

Разложение функции в ряд Тейлора

До сих пор мы в первую очередь рассматривали степенной ряд an (z z0 )n , а затем его сумму. Теперь будем рассматривать их в обратном порядке. Соответственно, изменится и терминология. Если степенной ряд an (z z0 )n сходится в области D к функции f(z), то будем говорить, что функция f(z) рас-

кладывается в области D в степенной ряд an (z z0 )n и

писать

f (z) an (z z0 )n .

ля каждого степенного ряда его сумма f(z) определяется однозначно. Возникает вопрос, а будет ли однозначным разложение функции в степенной ряд? Ответ на этот вопрос дает

Теорема 1. Если функция раскладывается в некотором круге в степенной ряд, то это разложение единственно.

Доказательство. Пусть функция f(z) раскладывается в некотором круге в степенной ряд

f (z) an (z z0 )n a0 a1 (z z0 ) ... an (z z0 )n ...

Функция аналитична в круге, поэтому имеет в нем производные любого порядка и ряд можно дифференцировать почленно. Вычислим первые n производных:

f (z) (1!)a1 (2!)a2 (z z0 ) ... nan (z z0 )n 1 ... ;

f (z) (2!)a2 (3!)a3(z z0 ) ... (n 1)nan (z z0 )n 2 ... ;

…

f (n) (z) (n!)an ((n 1)!)an 1(z z0 ) ...

Вычислим последнюю производную в точке z0 : f (n) (z0 ) (n!)an . Отсюда следует равенство

50

§3. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Из равенства следует, что все коэффициенты степенного ряда однозначно определяются значениями производных функции f(z). Теорема доказана. ►

Из доказательства теоремы следует, что если функция f(z) раскладывается в некоторой области в степенной ряд, то этот ряд

Если функция раскладывается в некотором круге в степенной ряд (являющийся для нее рядом Тейлора), то согласно теореме 2 из §2 она аналитична в данном круге. Оказывается, верно и обратное утверждение.

Теорема 2. (Тейлора).

Если функция f(z) аналитична в круге | z z0 | R , то она раскладывается в этом круге в ряд Тейлора:

в ряд Тейлора (2) тогда и только тогда, когда она аналитична в этом круге.

Тейлор, Брук (1685 – 1731), английский математик.

** Маклорен, Колин (1698 – 1746), шотландский математик.

51

Глава III. Степенные ряды

Определение 2. Открытый круг | z z0 | R максимального ра-

диуса R с центром в точке z0, в котором функция f(z) раскладывается в ряд Тейлора (2), называется кругом разложения функции в окрестности точки z0.

Следствие 2. Радиус R круга разложения функции в окрестности точки z0 равен расстоянию от точки z0 до ближайшей точки z*, в которой функция не аналитична:

так, мы получили достаточно простой критерий того, что функцию можно разложить в степенной ряд. Как же практически выполнить это разложение? Рассмотрим несколько способов.

1. Непосредственное разложение

Разложение функции в степенной ряд можно выполнить непосредственно по формулам (2) и (3). Сначала по формуле (3) находят коэффициенты ряда, а затем по формуле (2) записывают само разложение. Так получают, например, разложения некоторых из основных элементарных функций в ряд Маклорена. Наиболее важными из них являются следующие 6 разложений.

KR = C.

52

§3. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

ставляя z0 = 0 и найденные коэффициенты an в равенство (2), получаем разложение функции f (z) ez в ряд Маклорена. Оно имеет место во всех точках z комплексной плоскости, то есть KR = C.

Замечание. Ряды Маклорена для функций ln(1 x), sin x, cos x, arctgx в каждой точке из области сходимости являются рядами Лейбница.

2. Использование известных разложений

Суть этого метода заключается в следующем. Функцию f(z), которую предстоит разложить в степенной ряд, выражают через вспомогательные функции, для которых разложение уже известно или его можно легко получить. При этом в выражении для f(z) используют только такие операции над вспомогательными функциями, которые можно выполнять и для степенных рядов. Затем в полученное выражение для f(z) подставляют соответствующие степенные ряды и выполняют необходимые операции над рядами.

При использовании этого метода чаще всего используются арифметические операции, дифференцирование, интегрирование, подстановка вместо простой переменной z некоторой функции φ(z).

53

Глава III. Степенные ряды

Пример 2.

Используя разложение sinz в ряд Маклорена, получим разложение в ряд Маклорена cosz.

комплексной плоскости C . По теореме о почленном дифференцировании степенного ряда получаем:

Полученное разложение имеет место на всей комплексной плоскости.

Пример 3.

Разложим в ряд Маклорена функцию f(z) = sin z2.

венство имеет место для всякого t, удовлетворяющего условию | t2 | < + , которое равносильно неравенству |t | < + . Заменив теперь t на z, получим разложение функции f(z) = sin z2 в ряд Маклорена на всей комплексной плоскости:

Задание. Разложить функции shz, chz в окрестности точки z0 = 0.

54

§3. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

3. Разложение рациональных дробей

В основе разложения в степенной ряд рациональных дро-

аналитична на всей комплексной плоскости, кроме точки z* = 6. Согласно следствию 2 из теоремы Тейлора радиус R круга разложения равен R = |z* – z0| = |6 – 2| = 4. Функция будет раскладываться в круге |z

– 2| < 4.

Преобразуем функцию следующим образом

55

Глава III. Степенные ряды

Способы разложения, рассмотренные в примерах 2 и 4, позволяют разложить в ряд Тейлора любую рациональную дробь в окрестности любой точки z0, в которой эта дробь является аналитической функцией.

Перейдем к рассмотрению одного из приложений разложения функции в ряд Тейлора.

§4. Нули функции

гласно условию (2) оба нуля имеют кратность m = 3.

Теорема 1. Точка z0 является нулем кратности m функции f(z) тогда и только тогда, когда функция раскладывается в некоторой окрестности точки z0 в ряд Тейлора вида

f (z) an (z z0 )n , am 0. (3) n m

Доказательство. Пусть точка z0 является нулем кратности m функции f(z). Согласно определению это означает, что для некоторой функции (z), аналитической в точке z0, выполняется

56

§4. Нули функции.

венство (3). Здесь мы изменили индексацию и переобозначили коэффициенты. Так как am = c0 0, то условие (3) выполнено.

Если выполнено условие (3), то можем записать:

аналитична в окрестности точки z0. При этом (z0) = c0 = am 0.

Следствие. Точка z0 является нулем кратности m функции f(z), тогда и только тогда, когда выполняется условие

Доказательство вытекает непосредственно из теоремы и равен-

ства an f (n) ( z0 ) для коэффициентов ряда Тейлора. n!

Условия (4) используются при практическом нахождении порядка нуля функции.

Пример 2.

Рассмотрим функцию f(z) = sin z2 и точку z0 = 0.

57

Глава III. Степенные ряды

Точка z0 является нулем функции f(z). В примере 3 из §5 было получено разложение функции в окрестности точки z0

Согласно теореме 1 из него следует, что точка z0 = 0 является нулем кратности m = 2. Этот же результат мы получим, если воспользуемся следствием из теоремы. Предлагается проверить это самостоятельно.

Рассмотрим теперь, как решаются некоторые задачи математического анализа с использованием рядов Тейлора.

§5. Приложения рядов Тейлора

На практических занятиях будут рассмотрены следующие приложения:

1)Приближенное вычисление значения функции в точке f (z0 ) ;

2)Вычисление предела функции: lim f (z) ;

z0

3) Вычисление значения производной высокого порядка данной

функции: f (n) (z0 ) ;

4) Приближенное вычисление определенного интеграла:

b

f (x)dx ; a

5) Решение задачи Коши для дифференциальных уравнениний высшего порядка.

58

§1. Ряд Лорана. Основные понятия.

Лекция 7

Глава IV.

Ряды Лорана

В данной главе рассмотрим функциональные ряды более общего вида, чем степенные ряды.

§1. Ряд Лорана. Область сходимости ряда

Степенные ряды строятся из степенных функций с целыми неотрицательными показателями. При построении ряда Лорана используются дополнительно степенные функции с целыми отрицательными показателями. Посмотрим, как это делается.

Он сходится (абсолютно) в некотором круге |w| R1 к аналити-

сходится в соответствующих точках z, удовлетворяющих нера-

59