Lesn3_Integraly1

Глава I. Неопределенный интеграл

Квадратный трехчлен ax2 bx c после выделения полного квадрата и соответствующих обозначений (см. например, раздел 3 из §5) представúм в виде ax2 bx c u2 2 , > 0.

Следовательно, достаточно рассмотреть вычисление интегралов вида R(x, x2 a2 )dx . Так как выражение x2 a2 стоит

под знаком квадратного корня, то возможны только три сочетания знаков. Рассмотрим их.

30

§7. Интегрирование иррациональных функций

В третьем случае результат замены дает:

4. Интегрирование биномиального дифференциала

Биномиальным дифференциалом называется выражение

31

Подведем итоги наших исследований.

§8. Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях

Методы интегрирования оказались ограниченными. Рассмотренные классы функций слишком малы. Причины? Интегрирование - более сложная операция, чем дифференцирование. Она настолько сложна, что для некоторых функций результат интегрирования невозможно выразить через элементарные функции.

Другими словами, при интегрировании элементарных функций могут возникать функции, которые не являются эле-

ментарными.

Примеры таких интегралов:

Так как эти интегралы часто используются при решении прикладных задач, они задаются таблично.

Остается заметить, что на практике используются также таблицы неопределенных интегралов (cм. например [*]).

32

§1. Понятие определенного интеграла

Лекция 4

Глава II.

Определенный интеграл

§1. Понятие определенного интеграла

1.Задача о площади криволинейной трапеции

Чтобы представить, как возникает понятие определенного интеграла, решим одну геометрическую задачу.

Определение 1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Плоская область, ограниченная линиями

называется криволинейной трапецией функции f(x).

Задача

Вычислить площадь криволинейной трапеции функции f(x), неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b].

Решение. Предположим сначала, что на отрезке [a; b] функция является константой f(x) = c. Тогда площадь S ее криволинейной трапеции есть площадь прямоугольника: S = (b a)c.

Пусть теперь f(x) не является константой. Постараемся решение задачи свести к решению предыдущей задачи. Заметим, что если длина отрезка достаточно мала, то в силу непрерывно-

33

Глава II. Определенный интеграл

сти функции f(x) малому приращению аргумента на этом отрезке соответствует малое приращение функции. То есть функция на отрезке мало отличается от константы, а ее криволинейная трапеция – от прямоугольника. Проделаем следующие операции.

сумме площадей малых трапе-

ций.

2. Выберем на каждом малом отрезке [xi-1, xi] произвольную точку ti (назовем ее отмеченной). Вычислим значение f(ti) функции в этой точке. Рассмотрим прямоугольник с основанием [xi-1, xi] и высотой f(ti). Его площадь f(ti) xi приближенно равна площади криволинейной трапеции с основанием [xi-1, xi].

Равенство (*) будет тем точнее, чем меньше будет длина малых отрезков xi = xi xi-1. Обозначим через d максимальную длину среди всех длин xi (назовем ее диаметром разбиения отрезка [a; b]).

4. Будем последовательно разбивать отрезок [a; b] так, чтобы диаметр разбиения d уменьшался, стремясь к нулю.

34

§1. Понятие определенного интеграла

Переходя в равенстве (*) к пределу при d 0, получим точное значение площади S криволинейной трапеции функции f(x) на отрезке [a; b]:

Итак, задача решена с помощью предельного перехода. ►

Пределы вида (**) возникают в огромном количестве прикладных задач. Перейдем к изучению их свойств, отвлекаясь от конкретного содержания соответствующих задач.

2. Понятие определенного интеграла

усть на отрезке [a; b] задана функция f(x). Постараемся получить некоторую числовую характеристику функции на этом отрезке. Будем предполагать, что числа a и b могут удовлетворять любому из трех условий: a < b; a > b; a = b.

Проделаем следующие операции.

1. Разобьем отрезок [a; b] на n произвольных малых отрезков точками a = x0, x1, x2 , … , xn 1, xn = b. Точки занумерованы в направлении от a к b. Обозначим через xi приращение аргумента xi = xi xi-1 на малом отрезке [xi-1, xi].

2. Выберем на каждом отрезке [xi-1, xi] произвольную отмеченную точку ti и вычислим значение функции в ней f(ti).

3. Составим сумму

n

Sn f (ti ) xi .

i 1

Определение 2. Сумма Sn называется интегральной суммой Римана для функции f(x) на отрезке [a; b].

Заметим, что интегральная сумма еще не дает характери-

Риман Георг Фридрих Бернхард (1826 – 1866), немецкий математик.

35

Глава II. Определенный интеграл

стики функции на отрезке [a; b]. Сумма зависит от выбора точек разбиения отрезка и от выбора отмеченных точек. Поэтому для функции f(x) на данном отрезке существует бесконечное число различных интегральных сумм.

Чтобы избавиться от зависимости интегральной суммы от выбора точек разбиения и отмеченных точек, осуществим предельный переход в этой сумме.

4. Будем последовательно разбивать отрезок [a; b] так, чтобы диаметр d его разбиения уменьшался, стремясь к нулю. Получим последовательность интегральных сумм {Sn}.

Отметим, что предел интегральных сумм отличается от предела функции, но обладает его основными свойствами.

Замечание. Из определения 3 следует, что предел I интегральных сумм, если он существует, не зависит от способа разбиения отрезка и от выбора отмеченных точек. Поэтому число I полностью определяется функцией и отрезком.

Определение 4. Предел интегральных сумм функции f(x) на отрезке [a; b], если он существует и конечен, называется

определенным интегралом Римана от функции на дан-

ном отрезке. Функция в этом случае называется инте-

грируемой на отрезке.

Обозначение:

b

f (x)dx .

a

Числа a и b называются соответственно нижним и

36

§1. Понятие определенного интеграла

верхним пределами интегрирования;

отрезок [a; b] промежутком интегрирования.

Используя введенные обозначения, можно кратко записать определение интеграла:

ассмотрим условия, при которых функция интегрируема на отрезке.

Теорема 1. (Необходимое условие интегрируемости).

Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.

Доказательство опускаем.

Теорема 2. (Достаточное условие интегрируемости).

Если функция непрерывна на отрезке или имеет на нем конечное число точек разрыва, и только I рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство опускаем.

Замечание. (Геометрический смысл определенного интеграла).

Определенный интеграл от функции f(x), непрерывной и неотрицательной на отрезке [a; b], равен площади S криволинейной трапеции данной функции на этом отрезке:

Существование интеграла вытекает из теоремы 2, а равенство (3) из решения геометрической задачи.

Вычисление определенного интеграла непосредственно по определению весьма сложно. Поэтому постараемся получить более простые способы вычисления. Но для этого необходимо сначала исследовать свойства определенного интеграла.

37

Глава II. Определенный интеграл

§2. Свойства определенного интеграла

При исследовании свойств определенного интеграла будем предполагать, что все рассматриваемые интегралы существуют.

Свойство 1. При перестановке пределов интегрирования меняется только знак определенного интеграла:

Действительно, интегральные суммы сравниваемых интегралов отличаются только знаками приращений xi = xi xi-1.

В дальнейшем всегда предполагается, что в интеграле

b

f (x)dx

a

нижняя граница интегрирования меньше верхней, то есть a < b. В случае необходимости рассмотрения других ситуаций, a > b или a = b, делается прямая оговорка.

Свойство 2. Определенный интеграл от единичной функции равен длине промежутка интегрирования:

Из равенства (2) предыдущего параграфа непосредственно вытекают еще два свойства определенного интеграла.

38

§2. Свойства определенного интеграла

Свойство 3. Определенный интеграл от суммы функций равен сумме определенных интегралов в тех же пределах от слагаемых функций:

Свойство 4. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за знак определенного интеграла:

равенства дают площади двух малых криволинейных трапе-

ций, составляющих вместе большую трапецию.

Свойство 6 (монотонности). Если на отрезке [a; b] выполняется неравенство f(x) g(x), то большей функции соответствует больший интеграл по этому отрезку:

39