Высшая математика

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения

Варианты контрольной работы

Киров 2010

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Основные определения и теоремы 4

Вопросы для самоконтроля 8

Список рекомендуемой литературы 9

Задачи для практических занятий 9

Требования к оформлению контрольной работы 11

Разбор варианта контрольной работы 12

Варианты контрольной работы 15

Введение

Методические рекомендации предназначены для студентов за­очного отделения всех специальностей Русского университета инно­ваций и имеют своей целью помочь студентам в освоении курса «Тео­рия вероятностей».

Методы теории вероятностей используются при изучении мас­совых явлений, обработке результатов наблюдения и выявлении ста­тистических закономерностей, в теории надежности, теории массово­го обслуживания. Теория вероятностей является теоретической базой статистических дисциплин, изучаемых студентами на старших курсах. Поэтому теория вероятностей занимает важное место во всем курсе высшей математики.

Между экономическими явлениями действуют многосторонние связи, и на их изменения оказывает влияние множество факторов, действующих по-разному в различные моменты времени, то есть из­менения носят случайный характер. Поэтому определение общих за­кономерностей из наблюдаемых случайных явлений становится осо­бенно важным. В достижении этой цели большую роль играет теория вероятностей, методы которой позволяют выделить общие законо­мерности, охарактеризовать процессы и явления «в среднем», «с дан­ной степенью достоверности».

Основная трудность в изучении этого курса состоит в том, что для успешного его освоения надо научиться переводить жизненные ситуации на теоретико-вероятностный язык, пользуясь абстрактно-логическими рассуждениями. Для преодоления этих трудностей надо решить достаточно много задач.

В настоящем пособии приведены основные понятия комбинато­рики и теории вероятностей, дан список задач для практических заня­тий, основные вопросы, которые обычно бывают включены в экзаме­национные билеты, приведены решения основных типов задач, даны варианты контрольной работы и список рекомендуемой литературы.

Основные понятия комбинаторики и теории вероятностей

Решение комбинаторных задач заключается в подсчете числа тех или иных выборок из конечных множеств. Сформулируем два ос­новных правила комбинаторики.

Правило произведения: Если объект А можно выделить из совокупности объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (А,В) в ука­занном порядке может быть выбрана т • п способами.

Правило суммы: Если объект А можно выбрать из совокупно­сти объектов т способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А, либо В можно п+т способами.

Отметим, что в первом случае мы выбираем А и В, а во втором А либо В. То есть, если нужно выбрать и тот и другой объект, то это можно сделать nm, а если выбирается только один из объектов, не важно какой, то это можно сделать n+т способами.

Наблюдаемые нами события можно подразделить на три вида.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена некоторая совокупность условий.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена некоторая совокупность условий.

Случайным называют событие, которое при осуществлении некоторой совокупности условий, может либо произойти, либо не произойти.

Под событием в теории вероятности понимают результат испытания.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Р(А) = m/n

т - число элементарных исходов, благоприятствующих А;

п - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Заметим, что вероятность события - неотрицательное число, меньше или равное единице.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактиче­ски произведенных испытаний.

т W(А) = ­­­

п

т — число появлений события;

п — общее число испытаний.

Подчеркнем разницу между вероятностью и относительной час­тотой события. Первая величина вычисляется эмпирически, а вторая получается при эксперименте.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А или события В или обоих этих событий.

Произведением двух событий А и В называют событие А•В, со­стоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Сумма двух событий соответствует событию «А или В». Произ­ведение - событию «А и В».

Условной вероятностью Р_А (В) называют вероятность события

В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Событие В называют независимым от события А, если появле­ние события А не изменяет вероятности события В, то есть

Р_А(В) = Р(В).

Теорема 1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероят­ность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(А•В) = Р(А)•Р_А(В).

Теорема 2. Вероятность появления хотя бы одного из двух со­бытий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А • В).

Заметим, что если события несовместны, то они не могут про­изойти одновременно, то есть вероятность их совместного появления равна нулю. Тогда формула примет вид:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Теорема 3. Сумма вероятностей несовместных событий А₁,А₂,...,А_п, образующих полную группу, равна 1:

Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_п) = 1.

Теорема 4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Р(А) + Р(А) =1.

Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁,А₂,...,А_п, независимых в совокупности, равна разности между

единицей и произведением вероятностей противоположных событий А₁,А₂,...,А_п :

А - вероятность появления одного из событий А₁, А₂,...,А_п, Р(А) = 1-Р(А₁) •Р(А₂)•...•Р(А_п).

Теорема 6. (Формула полной вероятности) Вероятность со­бытия А, которая может наступить лишь при условии появления од­ного из несовместных событий В₁,В₂,...,В_п, образующих полную

группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих со­бытий на соответствующую условную вероятность события А :

Р(А) = Р(В₁)• Р_В1 (А) + Р(В₂)• Р_Вn (А) +... + Р(В_п)• Р_Вп (А).

Пусть событие А может наступить при условии появления одно­го из несовместных событий В₁,В₂ ,...,В_п, образующих полную груп­пу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А опреде­ляется по формуле полной вероятности.

Допустим, что произведено испытание в результате которого, появилось событие А. Поставим своей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Дру­гими словами Р_А(В₁),Р_А(В₂),...,Р_А(В_п). На этот вопрос отвечают формулы Бейеса:

Р(В_i) • Р_В1 (А)

Р_А(В_i)= ,

Р(А)

где Р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть уч­тены.

Дискретной (непрерывной) называют случайную величину, ко­торая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Законом распределения конечной дискретной величины назы­вают таблицу, в которой занесены все возможные значения этой вели­чины, с указанием вероятностей, с которыми эти значения могут при­ниматься.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их ве­роятности.

М(Х) = х₁• р₁+х₂• р₂+... + х_п • р_п

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание произведения двух независимыхслучайных величин равно произведению их математических ожида­-ний:

М(Х•У) = М(Х)•М(У).

2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин рав­-но сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х + У) = М(Х) + М(У).

Способ задания дискретной случайной величины, перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей, не является общим. Он не применим для непрерывных случайных величин. Чтобы получить бо­лее общий способ задания случайных величин вводят функции рас­пределения.

Функцией распределения называют функцию F(х), определяю­щую вероятность того, что случайная величина X в результате испы­тания примет значение, меньшее х, т.е.

F(х) = Р(Х<х).

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Свойства функции распределения

1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0, 1]:

О ≤ F(х) ≤ 1.

2. Р(х) - неубывающая функция, т. е.

F(х₂) ≥F(х₁), если х₂ > х₁.

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, за­-ключенное в интервале (а,b), равна приращению функции распре­деления на этом интервале:

Р(а ≤ Х ≤ b) = F(b) - F(а).

4. Если возможные значения случайной величины принадлежат ин­-тервалу (а,b), то 1) F(х) = 0, при х ≤ а; 2) F(х) = 1, при х ≥ b.