типовик по математике

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 3.

Вариант 3.

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

3x+5y+7z=-15

x+y+z=2

3x+5y+7z=-15

x+y+z=2

x+2y+3z=-6

x+2y+3z=0

x+2y+3z=-6

x+2y+3z=0

y+3z=-4

x+3y+6z=-3

y+3z=-4

x+3y+6z=-3

2.

Доказать, что векторы

p =(-1,1) и q =(5,-3) образуют базис пространства R2

2. Доказать, что векторы

p =(-1,1) и q =(5,-3) образуют базис пространства R2 и

и написать разложение по этому базису вектора a =(4,-2).

написать разложение по этому базису вектора a =(4,-2).

3.

Доказать, что векторы

a =(1,-1,0) , b =(4,2,-3), c =(-2,-3,3) образуют базис

3. Доказать, что векторы

a =(1,-1,0)

, b =(4,2,-3), c =(-2,-3,3) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(3,9,-9).

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(3,9,-9).

4.

Даны матрицы:

4. Даны матрицы:

3

2 1

1

1 1

0

3 2 1

1

1

1

0

4 1

1

1

A

2

5 3

, B

2

,C

.

A

2 5 3

, B

2

,C

4

1

.

3

4 2

2

2 1

2

3 4 2

2

2

1

2

g)

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

h)

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

i)

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(0,-1,3), B(2,-3,1),

5. Даны координаты вершин треугольника: A(0,-1,3), B(2,-3,1),

C(-5,0,-1). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(-5,0,-1). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(-3,4,9,x) был ортогональным

6. Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(-3,4,9,x) был ортогональным к

к вектору b =(0,1,0,1).

вектору b =(0,1,0,1).

7.

Упростить:

7. Упростить:

a)8i ( j k) j (i k) 4i (i j)

a)8i ( j k) j (i k) 4i (i j)

b)(5m n) ( p m) (2n p) (m n) .

b)(5m n) ( p m) (2n p) (m n) .

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках S(3,5,4), A(0,1,0),

8. Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках S(3,5,4), A(0,1,0), B(-

B(-2,4,2), C(1,1,-3). Найти:

2,4,2), C(1,1,-3). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

3x1-5x2+2x3-4x4=43

3x1-5x2+2x3-4x4=43

-3x1+4x2-5x3+3x4=-49

-3x1+4x2-5x3+3x4=-49

-5x1+7x2-7x3+5x4=-80

-5x1+7x2-7x3+5x4=-80

3x1-8x2+5x3-6x4=-136

3x1-8x2+5x3-6x4=-136

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 4.

Вариант 4.

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

-x+3y+3z=-2

5x+6y+3z=3

-x+3y+3z=-2

5x+6y+3z=3

-x+y=0

y=1

-x+y=0

y=1

3x-y+5z=-6

7x+4y+5z=-1

3x-y+5z=-6

7x+4y+5z=-1

2.

Доказать, что вжекторы

p =(4,0) и q =(-1,-1) образуют базис пространства

2. Доказать, что вжекторы

p =(4,0) и q =(-1,-1) образуют базис пространства R2

R2 и написать разложение по этому базису вектора a =(6,2).

и написать разложение по этому базису вектора a =(6,2).

3.

Доказать, что векторы

a =(1,0,1)

,

b =(5,-4,2), c =(-2,3,8) образуют базис

3. Доказать, что

векторы

a =(1,0,1)

,

b =(5,-4,2), c =(-2,3,8) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(-5,8,1).

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(-5,8,1).

4.

Даны матрицы:

4. Даны матрицы:

1

3 3

2

1

2 2

1 3

3

2

1

2 2

1

1 1

A

1 0

, B

0

,C

3

9 4

.

A

0

, B

0

,C

3

9 4

.

3

1 5

1

5 3

3 1

5

6

1

5 3

6

j)

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

k)

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

l)

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(6,-2,3), B(0,1,4),

5. Даны координаты вершин треугольника: A(6,-2,3), B(0,1,4),

C(-1,-3,2). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(-1,-3,2). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6.

Каким

должно

быть

число

x,

чтобы вектор c =(6,x,-1,10) был

6. Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(6,x,-1,10) был ортогональным

ортогональным к вектору b =(8,-3,1,5).

к вектору b =(8,-3,1,5).

7.

Доказать, что:

7.Доказать, что:

a)(a b)2 (a b)2 2(a2 b2 );

.

a)(a b)2 (a b)2 2(a2 b2 );

.

b)(a b) [(a c) b] abc.

b)(a b) [(a c) b] abc.

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

8. Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

S(0,-2,3), A(1,1,0), B(-2,-3,-4), C(5,3,4). Найти:

S(0,-2,3), A(1,1,0), B(-2,-3,-4), C(5,3,4). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

2x1+2x2-x3+x4=4

2x1+2x2-x3+x4=4

4x1+3x2-x3+2x4=6

4x1+3x2-x3+2x4=6

8x1+5x2-3x3+4x4=12

8x1+5x2-3x3+4x4=12

3x1+3x2-2x3+2x4=6

3x1+3x2-2x3+2x4=6

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 5.

Вариант 5.

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

4x+2y-z=-4

4x-3y+2z=-4

4x+2y-z=-4

4x-3y+2z=-4

5x+3y-2z=-4

6x-2y+3z=-1

5x+3y-2z=-4

6x-2y+3z=-1

3x+2y-z=-2

5x-3y+2z=-3

3x+2y-z=-2

5x-3y+2z=-3

2.

Доказать, что векторы p =(3,-1) и q =(4,4) образуют базис пространства R2

2.

Доказать, что векторы

p =(3,-1) и q =(4,4) образуют базис пространства R2 и

и написать разложение по этому базису вектора a =(-3,4).

написать разложение по этому базису вектора a =(-3,4).

3.

Доказать, что векторы

a =(1,1,0) ,

b =(-2,-1,1), c =(3,-1,-1) образуют базис

3.

Доказать,

что векторы

a =(1,1,0)

,

b =(-2,-1,1), c =(3,-1,-1) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(2,-3,7).

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(2,-3,7).

4.

Даны матрицы:

4.

Даны матрицы:

4

2 1

4

4

5 3

4 2

1

4

4

5 3

3 2

2

A

5

, B

4

,C

2

1 3 .

A

5 3

, B

4

,C

2

1 3 .

3

2 1

2

1

2

3 2

1

2

1

2

1

1

m)

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

n)

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

o)

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(9,-8,5), B(0,1,-2),

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(9,-8,5), B(0,1,-2),

C(4,5,-6). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(4,5,-6). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор с=(5,0,x,2) был ортогональным к

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор с=(5,0,x,2) был ортогональным к

вектору b =(4,-3,-2,2).

вектору b =(4,-3,-2,2).

7.

Доказать в п.a) и упростить в п.b):

7.

Доказать в п.a) и упростить в п.b):

a)(a b)(a b) aa bb;

a)(a b)(a b) aa bb;

b)(a b c) c (a b c) b (b c) a. .

b)(a b c) c (a b c) b (b c) a. .

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

S(0,4,-2), A(-1,3,6), B(9,-8,7), C(2,2,0). Найти:

S(0,4,-2), A(-1,3,6), B(9,-8,7), C(2,2,0). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

x1+x2+x3+x4=-4

x1+x2+x3+x4=-4

x1-x2+x3+x4=-1

x1-x2+x3+x4=-1

x1+x2-x3+x4=-4

x1+x2-x3+x4=-4

x1+x2+x3-x4=6

x1+x2+x3-x4=6

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 8.

Вариант 8.

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

-x-y+z=-1

3x-4y+5z=2

-x-y+z=-1

3x-4y+5z=2

5x+3y-2z=4

2x-3y+z=-1

5x+3y-2z=4

2x-3y+z=-1

-x=-4

3x-5y-z=-4

-x=-4

3x-5y-z=-4

2.

Доказать, что векторы

p =(-2,7) и q =(3,6) образуют базис пространства R2

2. Доказать, что векторы

p =(-2,7) и q =(3,6) образуют базис пространства R2 и

и написать разложение по этому базису вектора a =(-4,13).

написать разложение по этому базису вектора a =(-4,13).

3.

Доказать, что векторы

a =(17,8,-4) , b =(8,5,-2), c =(4,-2,1) образуют базис

3. Доказать, что векторы

a =(17,8,-4) , b =(8,5,-2), c =(4,-2,1) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора

d =(88,44,-21).

d =(88,44,-21).

4.

Даны матрицы:

4. Даны матрицы:

4

2

3

4

2 1 8

4

2

3

4

2 1 8

2

2

A

5

3 , B

5

,C

3 1 7

.

A

5

3 , B

5

,C

3 1 7

.

3

1

3

2 1 4

3

1

3

2 1 4

1

1

v)

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

w)

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

x)

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(1,2,-5), B(3,4,-1),

5. Даны координаты вершин треугольника: A(1,2,-5), B(3,4,-1),

C(1,6,-1). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(1,6,-1). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(5,х,2,1) был ортогональным к

6. Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(5,х,2,1) был ортогональным к

вектору b =(0,6,1,1).

вектору b =(0,6,1,1).

7.

Упростить:

7. Упростить:

a)(k j) i k (i j) (i j) k;

a)(k j) i k (i j) (i j) k;

b)(b a c) c (b c a) a (b a 2c) b..

b)(b a c) c (b c a) a (b a 2c) b..

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

8. Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

S(-2,2,1) A(-1,0.2), B(0,2,1), C(2,-5,3). Найти:

S(-2,2,1) A(-1,0.2), B(0,2,1), C(2,-5,3). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

x2+x3+x4=8

x2+x3+x4=8

x1+x3+x4=4

x1+x3+x4=4

x1+x2+x4=12

x1+x2+x4=12

x1+x2+x3=10

x1+x2+x3=10

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 9.

Вариант 9.

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

x+y+z=1

x+2y+5z=2

x+y+z=1

x+2y+5z=2

-3x+2y+3z=-8

3x-4y+7z=-2

-3x+2y+3z=-8

3x-4y+7z=-2

-x+2y+2z=-4

-3x+12y-15z=-6

-x+2y+2z=-4

-3x+12y-15z=-6

2.

Доказать, что векторы

p =(4,-3) и q =(3,-2) образуют базис пространства R2

2. Доказать, что векторы

p =(4,-3) и q =(3,-2) образуют базис пространства R2 и

и написать разложение по этому базису вектора a =(44,-31).

написать разложение по этому базису вектора a =(44,-31).

3.

Доказать,

что векторы

a =(2,3,1)

, b =(-1,2,-2), c =(1,2,1) образуют базис

3. Доказать, что векторы

a =(2,3,1)

, b =(-1,2,-2), c =(1,2,1) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(2,-2,1).

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(2,-2,1).

4.

Даны матрицы:

4. Даны матрицы:

3

4

1

1

3 1

0

3

4 1

1

3 1

0

2

4 1

2 3

2

4 1

A

2

3

, B

2

,C

1

.

A

2

, B

,C

1

.

1 4

2

2

2 1

2

1 4 2

2

2 1

2

y)

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

z)

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

aa) найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(2,-1,1), B(-1,3,6),

5. Даны координаты вершин треугольника: A(2,-1,1), B(-1,3,6),

C(5,-5,6). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(5,-5,6). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(9,x,-5,8) был ортогональным

6. Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(9,x,-5,8) был ортогональным к

к вектору b =(0,-1,-6,1).

вектору b =(0,-1,-6,1).

7.

Упростить:

7. Упростить:

a)k ( j i) i ( j k) i (i j k);

a)k ( j i) i ( j k) i (i j k);

b)(a b c) a (a b c) c (b a) c..

b)(a b c) a (a b c) c (b a) c..

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках S(3,1,2), A(4,6,6),

8. Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках S(3,1,2), A(4,6,6),

B(1,1,2), C(0,2,1). Найти:

B(1,1,2), C(0,2,1). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

2x1+5x2+4x3+x4=20

2x1+5x2+4x3+x4=20

x1+3x2+3x3+x4=11

x1+3x2+3x3+x4=11

2x1+10x2+9x3+7x4=40

2x1+10x2+9x3+7x4=40

3x1+8x2+9x3+2x4=37

3x1+8x2+9x3+2x4=37