типовик по математике

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 21

Вариант 21

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

5x+2y-3z=10

x+2y+3z=-2

5x+2y-3z=10

x+2y+3z=-2

2x+y-2z=5

2x+3y+4z=-2

2x+y-2z=5

2x+3y+4z=-2

-3x-y+2z=-6

4x+3y+4z=0

-3x-y+2z=-6

4x+3y+4z=0

2.

Доказать, что векторы

p =(2,5) и q =(3,-3) образуют базис пространства R2 и

2.

Доказать, что векторы

p =(2,5) и q =(3,-3) образуют базис пространства R2 и

написать разложение по этому базису вектора a =(2,26).

написать разложение по этому базису вектора a =(2,26).

3.

Доказать, что векторы a =(2,-3,1) ,

b =(-3,10,-3),

c =(1,-3,1) образуют базис

3.

Доказать,

что векторы

a =(2,-3,1) ,

b =(-3,10,-3),

c =(1,-3,1) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(-12,36,-11).

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(-12,36,-11).

4.

Даны матрицы:

4.

Даны матрицы:

5

2

3

10

1

3

0

5

2 3

10

1

3

0

2

1 2

A

2

1

, B

5

,C 10 2

7

.

A

2

, B

5

,C 10 2

7

.

3

1 2

6

8

3

1 2

6

8

5 7

5 7

iii) вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

jjj) вычислить

|A|,

|C|,

|A*C|,

|C*A|

и

проверить истинность равенства:

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

kkk) найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(2,4,-6), B(4,6,-2),

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(2,4,-6), B(4,6,-2),

C(2,8,-2). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(2,8,-2). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор с=(x,-3,1,3) был ортогональным к

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор с=(x,-3,1,3) был ортогональным к

вектору b =(-2,-6,1,14).

вектору b =(-2,-6,1,14).

7.

Упростить:

7.

Упростить:

a)4i ( j k) 4 j (i k) 2k (i j k); .

a)4i ( j k) 4 j (i k) 2k (i j k); .

b)(a b 2c) a (a 2b) 2c (a b) c.

b)(a b 2c) a (a 2b) 2c (a b) c.

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках S(1,0,1), A(2,6,2),

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках S(1,0,1), A(2,6,2),

B(1,2,-1), C(1,2,1). Найти:

B(1,2,-1), C(1,2,1). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

2x1+x2+4x3+8x4=55

2x1+x2+4x3+8x4=55

x1+3x2-6x3+2x4=-60

x1+3x2-6x3+2x4=-60

3x1-2x2+2x3-2x4=21

3x1-2x2+2x3-2x4=21

2x1-x2+2x3=22

2x1-x2+2x3=22

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 22

Вариант 22

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

4x-2y+3z=4

2x-4y+3z=1

4x-2y+3z=4

2x-4y+3z=1

5x-2y+3z=5

x-2y+4z=3

5x-2y+3z=5

x-2y+4z=3

3x-y+z=3

3x-y-z=0

3x-y+z=3

3x-y-z=0

2. Доказать, что векторы

p =(-2,-2) и q =(1,3) образуют базис пространства R2 и

2.

Доказать, что векторы

p =(-2,-2) и q =(1,3) образуют базис пространства R2 и

написать разложение по этому базису вектора a =(10,10).

написать разложение по этому базису вектора a =(10,10).

3. Доказать, что векторы

a =(2,-1,-3) , b =(-9,10,7), c =(2,-4,-8) образуют базис

3.

Доказать, что векторы

a =(2,-1,-3) , b =(-9,10,7), c =(2,-4,-8) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(2,-4,-8).

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(2,-4,-8).

4. Даны матрицы:

4.

Даны матрицы:

4

2

3

4

2 1 8

4

2

3

4

2 1 8

2

2

A

5

3 , B

5

,C

3 1 7

.

A

5

3 , B

5

,C

3 1 7

.

3

1

3

2 1 4

3

1

3

2 1 4

1

1

lll) вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

mmm)

вычислить |A|,

|C|, |A*C|,

|C*A| и

проверить истинность равенства:

вычислить |A|, |C|, |A*C|, |C*A| и проверить истинность равенства:

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

nnn) найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5. Даны координаты вершин треугольника: A(12,-9,5), B(3,0,-1),

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(12,-9,5), B(3,0,-1),

C(4,-10,0). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(4,-10,0). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6. Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(x,4,1,20) был ортогональным к

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(x,4,1,20) был ортогональным к

вектору b =(1,2,4,-3).

вектору b =(1,2,4,-3).

7. Упростить:

7.

Упростить:

a)(k j) i k (i j) (i j) k;

a)(k j) i k (i j) (i j) k;

b)(b a c) c (b c a) a (b a 2c) b..

b)(b a c) c (b c a) a (b a 2c) b..

8. Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

S(-3,5,-5), A(14,10,3), B(-3,-8,0), C(2,-5,3). Найти:

S(-3,5,-5), A(14,10,3), B(-3,-8,0), C(2,-5,3). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

x2+x3+x4=8

x2+x3+x4=8

x1+x3+x4=4

x1+x3+x4=4

x1+x2+x4=12

x1+x2+x4=12

x1+x2+x3=10

x1+x2+x3=10

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 23

Вариант 23

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

-x-y+z=-1

3x-4y+5z=2

-x-y+z=-1

3x-4y+5z=2

5x+3y-2z=4

2x-3y+z=-1

5x+3y-2z=4

2x-3y+z=-1

-x=-4

3x-5y-z=-4

-x=-4

3x-5y-z=-4

2.

Доказать, что векторы

p =(-2,7) и q =(3,6) образуют базис пространства R2 и

2. Доказать, что векторы

p =(-2,7) и q =(3,6) образуют базис пространства R2 и

написать разложение по этому базису вектора a =(-4,13).

написать разложение по этому базису вектора a =(-4,13).

3.

Доказать, что векторы

a =(17,8,-4) , b =(8,5,-2), c =(4,-2,1) образуют базис

3. Доказать, что векторы

a =(17,8,-4) ,

b =(8,5,-2), c =(4,-2,1) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора

d =(88,44,-21).

d =(88,44,-21).

4.

Даны матрицы:

4. Даны матрицы:

4

2

3

4

2 1 8

4

2

3

4

2 1 8

2

2

A

5

3 , B

5

,C

3 1 7

.

A

5

3 , B

5

,C

3 1

7

.

3

1

3

2 1 4

3

1

3

2 1

4

1

1

ooo) вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

qqq)

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(1,2,-5), B(3,4,-1),

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(1,2,-5), B(3,4,-1),

C(1,6,-1). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(1,6,-1). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(5,х,2,1) был ортогональным к

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(5,х,2,1) был ортогональным к

вектору b =(0,6,1,1).

вектору b =(0,6,1,1).

7.

Упростить:

7.

Упростить:

a)(k j) i k (i j) (i j) k;

a)(k j) i k (i j) (i j) k;

b)(b a c) c (b c a) a (b a 2c) b..

b)(b a c) c (b c a) a (b a 2c) b..

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

S(-2,2,1) A(-1,0.2), B(0,2,1), C(2,-5,3). Найти:

S(-2,2,1) A(-1,0.2), B(0,2,1), C(2,-5,3). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

x2+x3+x4=8

x2+x3+x4=8

x1+x3+x4=4

x1+x3+x4=4

x1+x2+x4=12

x1+x2+x4=12

x1+x2+x3=10

x1+x2+x3=10

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 25

Вариант 25

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

x-3y-2z=2

x+5y+25z=2

x-3y-2z=2

x+5y+25z=2

x+y+z=-1

x+7y+49z=4

x+y+z=-1

x+7y+49z=4

3x+4y+2z=1

x+8y+64z=5

3x+4y+2z=1

x+8y+64z=5

2.

Доказать, что векторы

p =(0,-2) и q =(5,1) образуют базис пространства R2 и

2. Доказать, что векторы

p =(0,-2) и q =(5,1) образуют базис пространства R2 и

написать разложение по этому базису вектора a =(5,-4).

написать разложение по этому базису вектора a =(5,-4).

3.

Доказать, что векторы

a =(1,0,-1) ,

b =(7,8,-9), c =(4,-3,5) образуют базис

3. Доказать, что векторы

a =(1,0,-1) ,

b =(7,8,-9), c =(4,-3,5) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(5,0,-5).

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(5,0,-5).

4.

Даны матрицы:

4. Даны матрицы:

1

4

2

2

1 2

2

1

4

2

2

1 2

2

1 5

4 2

1 5

4 2

A

3

, B

1 ,C

1 .

A

3

, B

1 ,C

1 .

3

1

2

1 5

3

1

2

1 5

1

1

1

1

uuu) вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

www) найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(-2,5,3), B(0,-6,1),

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(-2,5,3), B(0,-6,1),

C(-1,3,2). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(-1,3,2). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(9,-18,x,1) был ортогональным

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(9,-18,x,1) был ортогональным

к вектору b =(3,6,-2,12).

к вектору b =(3,6,-2,12).

7.

Доказать в п.a) и упростить в п.b):

7.

Доказать в п.a) и упростить в п.b):

a)(a 2b c) [(a b) (a b c)] 3abc; .

a)(a 2b c) [(a b) (a b c)] 3abc; .

b)2i ( j k) 3 j (i k) 4k (i j).

b)2i ( j k) 3 j (i k) 4k (i j).

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

S(5,-4,2), A(-3,0,3), B(1,-1,4), C(2,2,0). Найти:

S(5,-4,2), A(-3,0,3), B(1,-1,4), C(2,2,0). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

7x1+9x2+4x3+x4=2

7x1+9x2+4x3+x4=2

2x1-2x2+x3+x4=6

2x1-2x2+x3+x4=6

5x1+6x2+3x3+x4=3

5x1+6x2+3x3+x4=3

2x1+3x2+x3+x4=0

2x1+3x2+x3+x4=0

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 26

Вариант 26

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

3x+5y+7z=-15

x+y+z=2

3x+5y+7z=-15

x+y+z=2

x+2y+3z=-6

x+2y+3z=0

x+2y+3z=-6

x+2y+3z=0

y+3z=-4

x+3y+6z=-3

y+3z=-4

x+3y+6z=-3

2.

Доказать, что векторы

p =(-1,1) и q =(5,-3) образуют базис пространства R2 и

2. Доказать, что векторы

p =(-1,1) и q =(5,-3) образуют базис пространства R2 и

написать разложение по этому базису вектора a =(4,-2).

написать разложение по этому базису вектора a =(4,-2).

3.

Доказать, что векторы

a =(1,-1,0)

, b =(4,2,-3), c =(-2,-3,3) образуют базис

3. Доказать, что векторы

a =(1,-1,0)

, b =(4,2,-3), c =(-2,-3,3) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(3,9,-9).

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(3,9,-9).

4.

Даны матрицы:

4. Даны матрицы:

3 2 1

1

1

1

0

3 2 1

1

1

1

0

1

1

1

1

A

2 5 3

, B

2

,C

4

.

A

2 5 3

, B

2

,C

4

.

3 4 2

2

2

1 2

3 4 2

2

2

1 2

xxx) вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

zzz) найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5. Даны координаты вершин треугольника: A(0,-1,3), B(2,-3,1),

5. Даны координаты вершин треугольника: A(0,-1,3), B(2,-3,1),

C(-5,0,-1). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(-5,0,-1). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6. Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(-3,4,9,x) был ортогональным к

6. Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(-3,4,9,x) был ортогональным к

вектору b =(0,1,0,1).

вектору b =(0,1,0,1).

7. Упростить:

7. Упростить:

a)8i ( j k) j (i k) 4i (i j)

a)8i ( j k) j (i k) 4i (i j)

b)(5m n) ( p m) (2n p) (m n) .

b)(5m n) ( p m) (2n p) (m n) .

8. Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках S(3,5,4), A(0,1,0), B(-

8. Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках S(3,5,4), A(0,1,0), B(-

2,4,2), C(1,1,-3). Найти:

2,4,2), C(1,1,-3). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

3x1-5x2+2x3-4x4=43

3x1-5x2+2x3-4x4=43

-3x1+4x2-5x3+3x4=-49

-3x1+4x2-5x3+3x4=-49

-5x1+7x2-7x3+5x4=-80

-5x1+7x2-7x3+5x4=-80

3x1-8x2+5x3-6x4=-136

3x1-8x2+5x3-6x4=-136

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 27

Вариант 27

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

-x+3y+3z=-2

5x+6y+3z=3

-x+3y+3z=-2

5x+6y+3z=3

-x+y=0

y=1

-x+y=0

y=1

3x-y+5z=-6

7x+4y+5z=-1

3x-y+5z=-6

7x+4y+5z=-1

2. Доказать, что векторы

p =(4,0) и q =(-1,-1) образуют базис пространства R2 и

2. Доказать, что вжекторы

p =(4,0) и q =(-1,-1) образуют базис пространства R2

написать разложение по этому базису вектора a =(6,2).

и написать разложение по этому базису вектора a =(6,2).

3. Доказать, что

векторы

a =(1,0,1)

,

b =(5,-4,2), c =(-2,3,8) образуют базис

3. Доказать, что

векторы

a =(1,0,1)

,

b =(5,-4,2), c =(-2,3,8) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(-5,8,1).

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(-5,8,1).

4. Даны матрицы:

4. Даны матрицы:

1 3

3

2

1

2 2

1 3

3

2

1

2 2

1 1

1 1

A

0

, B

0

,C

3

9 4

.

A

0

, B

0

,C

3

9 4

.

3 1

5

6

1

5 3

3 1

5

6

1

5 3

aaaa) вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

cccc) найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5. Даны координаты вершин треугольника: A(6,-2,3), B(0,1,4),

5. Даны координаты вершин треугольника: A(6,-2,3), B(0,1,4),

C(-1,-3,2). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(-1,-3,2). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6. Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(6,x,-1,10) был ортогональным

6. Каким должно быть число x, чтобы вектор c =(6,x,-1,10) был ортогональным

к вектору b =(8,-3,1,5).

к вектору b =(8,-3,1,5).

7. Доказать, что:

7.Доказать, что:

a)(a b)2 (a b)2 2(a2 b2 );

.

a)(a b)2 (a b)2 2(a2 b2 );

.

b)(a b) [(a c) b] abc.

b)(a b) [(a c) b] abc.

8. Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

8. Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

S(0,-2,3), A(1,1,0), B(-2,-3,-4), C(5,3,4). Найти:

S(0,-2,3), A(1,1,0), B(-2,-3,-4), C(5,3,4). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

2x1+2x2-x3+x4=4

2x1+2x2-x3+x4=4

4x1+3x2-x3+2x4=6

4x1+3x2-x3+2x4=6

8x1+5x2-3x3+4x4=12

8x1+5x2-3x3+4x4=12

3x1+3x2-2x3+2x4=6

3x1+3x2-2x3+2x4=6

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 28

Вариант 28

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

4x+2y-z=-4

4x-3y+2z=-4

4x+2y-z=-4

4x-3y+2z=-4

5x+3y-2z=-4

6x-2y+3z=-1

5x+3y-2z=-4

6x-2y+3z=-1

3x+2y-z=-2

5x-3y+2z=-3

3x+2y-z=-2

5x-3y+2z=-3

2.

Доказать, что векторы

p =(3,-1) и q =(4,4) образуют базис пространства R2 и

2. Доказать, что векторы

p =(3,-1) и q =(4,4) образуют базис пространства R2 и

написать разложение по этому базису вектора a =(-3,4).

написать разложение по этому базису вектора a =(-3,4).

3.

Доказать,

что векторы

a =(1,1,0)

,

b =(-2,-1,1), c =(3,-1,-1) образуют базис

3. Доказать, что векторы

a =(1,1,0)

,

b =(-2,-1,1), c =(3,-1,-1) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(2,-3,7).

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(2,-3,7).

4.

Даны матрицы:

4. Даны матрицы:

4 2

1

4

4

5 3

4 2

1

4

4

5 3

2

4

2

4

A

5 3

, B

,C

2

1 3 .

A

5 3

, B

,C

2

1 3 .

3 2

1

2

1

2

3 2

1

2

1

2

1

1

dddd) вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

ffff) найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(9,-8,5), B(0,1,-2),

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(9,-8,5), B(0,1,-2),

C(4,5,-6). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(4,5,-6). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор с=(5,0,x,2) был ортогональным к

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор с=(5,0,x,2) был ортогональным к

вектору b =(4,-3,-2,2).

вектору b =(4,-3,-2,2).

7.

Доказать в п.a) и упростить в п.b):

7.

Доказать в п.a) и упростить в п.b):

a)(a b)(a b) aa bb;

a)(a b)(a b) aa bb;

b)(a b c) c (a b c) b (b c) a. .

b)(a b c) c (a b c) b (b c) a. .

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

S(0,4,-2), A(-1,3,6), B(9,-8,7), C(2,2,0). Найти:

S(0,4,-2), A(-1,3,6), B(9,-8,7), C(2,2,0). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

x1+x2+x3+x4=-4

x1+x2+x3+x4=-4

x1-x2+x3+x4=-1

x1-x2+x3+x4=-1

x1+x2-x3+x4=-4

x1+x2-x3+x4=-4

x1+x2+x3-x4=6

x1+x2+x3-x4=6

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

Типовой расчет по высшей математике №1 для 1 курса

«Линейная и векторная алгебра»

«Линейная и векторная алгебра»

Вариант 30

Вариант 30

1.

Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

1. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера:

4x+2y-z=-4

4x-3y+2z=-4

4x+2y-z=-4

4x-3y+2z=-4

5x+3y-2z=-4

6x-2y+3z=-1

5x+3y-2z=-4

6x-2y+3z=-1

3x+2y-z=-2

5x-3y+2z=-3

3x+2y-z=-2

5x-3y+2z=-3

2.

Доказать, что векторы

p =(3,-1) и q =(4,4) образуют базис пространства R2 и

2. Доказать, что векторы

p =(3,-1) и q =(4,4) образуют базис пространства R2 и

написать разложение по этому базису вектора a =(-3,4).

написать разложение по этому базису вектора a =(-3,4).

3.

Доказать,

что векторы

a =(1,1,0)

,

b =(-2,-1,1), c =(3,-1,-1) образуют базис

3. Доказать, что векторы

a =(1,1,0)

,

b =(-2,-1,1), c =(3,-1,-1) образуют базис

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(2,-3,7).

пространства R3 и написать разложение по этому базису вектора d =(2,-3,7).

4.

Даны матрицы:

4. Даны матрицы:

4 2

1

4

4

5 3

4 2

1

4

4

5 3

2

4

2

4

A

5 3

, B

,C

2

1 3 .

A

5 3

, B

,C

2

1 3 .

3 2

1

2

1

2

3 2

1

2

1

2

1

1

jjjj) вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

вычислить A*C, C*A, A*B, BT*C;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

|A*C|=|C*A|=|A|*|C|;

llll) найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

найти A-1 и решить уравнение AX=B матричным методом.

5. Даны координаты вершин треугольника: A(9,-8,5), B(0,1,-2),

5.

Даны координаты вершин треугольника: A(9,-8,5), B(0,1,-2),

C(4,5,-6). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

C(4,5,-6). Найти длины всех его сторон и величины внутренних углов.

6. Каким должно быть число x, чтобы вектор с=(5,0,x,2) был ортогональным к

6.

Каким должно быть число x, чтобы вектор с=(5,0,x,2) был ортогональным к

вектору b =(4,-3,-2,2).

вектору b =(4,-3,-2,2).

7. Доказать в п.a) и упростить в п.b):

7.

Доказать в п.a) и упростить в п.b):

a)(a b)(a b) aa bb;

a)(a b)(a b) aa bb;

b)(a b c) c (a b c) b (b c) a. .

b)(a b c) c (a b c) b (b c) a. .

8.Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

8.

Дана треугольная пирамида SABC с вершинами в точках

S(0,4,-2), A(-1,3,6), B(9,-8,7), C(2,2,0). Найти:

S(0,4,-2), A(-1,3,6), B(9,-8,7), C(2,2,0). Найти:

а) площади всех ее граней;

а) площади всех ее граней;

б) объем пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

в) длину высоты, опущенной из вершины S.

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

9*. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

x1+x2+x3+x4=-4

x1+x2+x3+x4=-4

x1-x2+x3+x4=-1

x1-x2+x3+x4=-1

x1+x2-x3+x4=-4

x1+x2-x3+x4=-4

x1+x2+x3-x4=6

x1+x2+x3-x4=6