Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

типовой функан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

345.33 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Тульский государственный университет»

Кафедра прикладной математики и информатики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

по дисциплине

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Направление подготовки: 010400 «Прикладная математика и информатика»

Программы: 010400 02 «Математическое моделирование», 010400 12 «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности»

Форма обучения: очная

Тула 2013 г.

Методические указания к самостоятельной работе студентов составлены зав. каф. В.И. Ивановым и обсуждены на заседании кафедры ПМиИ механико-математического факультета, протокол № 1 от 02 сентября 2013 г.

Зав. кафедрой ПМиИ

____________________ В.И. Иванов

Функциональный	анализ – дисциплина вузовской компоненты цикла
математических и естественно - научных дисциплин.
Функциональный	анализ	возник в результате взаимодействия и

последующего обобщения на бесконечномерный случай идей и методов математического анализа, геометрии и линейной алгебры. Современная математика немыслима без функционального анализа. Идеи, концепции, методы, терминология, обозначения и стиль функционального анализа пронизывают все области математики, объединяя ее в единое целое. Построенные в функциональном анализе общие теории с успехом применяются для решения конкретных задач, в том числе, прикладных. Знание основ функционального анализа – важный элемент математической культуры.

В результате изучения функционального анализа магистр должен знать и уметь использовать: теорию метрических, топологических, линейных нормированных пространств и теорию линейных операторов, теорию вполне непрерывных операторов, решать и исследовать линейные уравнения второго рода.

Содержание дисциплины

1Метрические пространства

1.1Понятие метрического пространства. Основные примеры.

1.2Сходимость. Плотные подмножества. Открытые и замкнутые множества.

1.3Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. Пополнение пространства.

1.4Принцип сжимающих отображений. Его применения.

2Топологические пространства

2.1Определение топологического пространства. Примеры. Сравнение топологий.

2.2Системы окрестностей. База. Аксиомы счетности. Сходящиеся последовательности.

2.3Непрерывные отображения топологических пространств.

2.4Аксиома отделимости. Метризуемость.

2.5Линейные топологические пространства. Примеры. Локально выпуклые пространства.

3Компактность

3.1Компактные топологические пространства. Критерий компактности. Свойства компактных пространств. Предкомпактные множества.

3.2Непрерывные отображения компактных пространств. Непрерывные и полунепрерывные функции на компактных пространствах.

3.3Счетная компактность.

3.4Компактность в метрическом пространстве. Полная ограниченность. Критерий Хаусдорфа.

4Нормированные пространства

4.1Определение нормированного пространства. Банаховы пространства. Примеры.

4.2Пространство C[a, b]. Теорема Арцела о предкомпактности множества

вC[a, b]. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в C[a, b].

4.3Пространства Lp [a, b] . Описание предкомпактных множеств, линейных непрерывных функционалов в Lp [a, b] .

4.4Некомпактность единичного шара в бесконечномерном нормированном пространстве. Рефлексивные нормированные пространства. Примеры. Слабая компактность шара в рефлексивном пространстве.

4.5Пространство основных функций. Обобщенные функции. Основные операции над обобщенными функциями.

5Линейные операторы

5.1Непрерывность и ограниченность линейного оператора. Норма линейного оператора.

5.2Пространство линейных операторов. Равномерная и сильная сходимости последовательности линейных операторов. Теорема Банаха-Штейнгауза.

5.3Обратные операторы. Теорема Банаха. Обратимость оператора Е-А.

5.4Сопряженные и самосопряженные операторы. Норма самосопряженного оператора. Примеры.

5.5Вполне непрерывные операторы. Их свойства. Вполне непрерывные интегральные операторы.

5.6Теория Рисса-Шаудера для линейных уравнений 2-го рода.

5.7Нетеровы и Фредгольмовы операторы. Теорема С.М. Никольского.

5.8Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывных операторов.

5.9Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта.

5.10Спектр и резольвента линейного оператора. Примеры.

Самостоятельная работа направлена на самостоятельное изучение теоретического материала (36 часов) и выполнение типового расчета (51 час, 16 задач).

Предполагается cамостоятельное изучение следующих разделов дисциплины:

№	Наименование раздела	Кол-во час.
1.1	Понятие метрического пространства. Основные	4
	примеры.
1.2	Сходимость. Плотные подмножества. Открытые и	4
	замкнутые множества.

1.3	Полные метрические пространства. Теорема о			4
	вложенных шарах. Теорема Бэра. Пополнение
	пространства.
1.4	Принцип сжимающих отображений. Его применения.			4
2.1	Определение топологического пространства. Примеры.			4
	Сравнение топологий.
2.2	Системы окрестностей. База. Аксиомы счетности.			4
	Сходящиеся последовательности.
2.3	Непрерывные	отображения	топологических	4
	пространств.
2.4	Аксиома отделимости. Метризуемость.			4
2.5	Линейные топологические пространства. Примеры.			4
	Локально выпуклые пространства.

Типовой расчет

Задача 1. Является ли отображение f нормой в нормированном пространстве X .

1.1. X C2 0,1		,	f

1.2. X C2	0,1	,	f

1.3. X C2	0,1	,	f

x x 0 x 1 x '' t dt .

x x 0 x 1 x '' .

C 0,1

x x 0 x ' 1 x '' .

C 0,1

1.4. X C2 0,1

f x

x 1

x ''

C 0,1

x 0

1.5.

X C2 0,1

f x

x '' t

C 0,1

1.6.

X C1 0,1

f x

x t

x '

dt .

1.7.

X C1 0,1

f x

x t

x ' t

C 0,1

1.8.

X C1 0,1

f x

x 1

x ' t

C 0,1

x 1 x 0

1.9.

X C1 0,1

f x

x ' t

C 0,1

1.10.

X C1 0,1

f x

x ' t

C 0,1

приближения функции x2

Задача 2. Найти

величину

наилучшего

линейными функциями x в пространстве C a,b .

2.1. a 4,

b 2 .

2.2.a 3, b 2 .

2.3.a 1, b 3.

2.4.a 1, b 2 .

2.5.a 1, b 3.

2.6.a 1, b 2 .

2.7.a 2, b 0 .

2.8.a 1, b 0 .

2.9.a 0, b 4 .

2.10.a 0, b 3.

Задача 3. Найти квадрат величины наилучшего приближения и элемент наилучшего приближения функции x2 линейными функциями x в


пространстве L2 a,b .
3.1. a 0,		b 3.
3.2. a 0,		b 4 .
3.3. a 1,		b 0 .
3.4. a 2,		b 0 .
3.5. a 1,		b 2 .
3.6. a 1,		b 3.
3.7. a 1,	b 2 .
3.8. a 1,	b 3.
3.9. a 3,		b 2 .
3.10. a 4, b 2 .
Задача 4. Найти величину			наилучшего приближения и элемент
наилучшего приближения функции			x2 линейными функциями x	в

пространстве L a,b .
4.1. a 0,		b 3.
4.2. a 0,		b 4 .
4.3. a 1,		b 0 .
4.4. a 2,		b 0 .
4.5. a 1,		b 2 .
4.6. a 1,		b 3.
4.7. a 1,	b 2 .
4.8. a 1,	b 3.
4.9. a 3,		b 2 .
4.10. a 4, b 2 .
Задача 5.	Вычислить норму		линейного функционала f : X	и

указать элемент или последовательность элементов, на которых она достигается.

		x
5.1. X c0,	f x	k	.
		k
	k 1	2

5.2. X l2,			f x x1 2x2 .
													xk .
5.3. X l1,			f x 2								1		xk .
						k 1					k
								x
5.4. X l1,			f x					k	.
5.4. X l1,			f x						.
						k 1		k					t
						f x				1		x	t
5.5. X L		0,1 ,												dt .
5.5. X L		0,1 ,												dt .
2												4 t
2
										0
5.6. X L		1,1 ,				f x					1		t2		1		x t dt .
1															2
											1				2
5.7. X C			1,1		,	1	x t dt x 0 .

						1
5.8. X C			1,1		,	2	0	x t dt 31 x								t dt .

							1								0
5.9. X C	0,1 ,				x t x 1 .

							1	t2 x t dt .

5.10. X C				1,1		,
						1

Задача 6. Найти общие решения уравнений в обобщенных функциях

6.1.x3 y ' 0

6.2.y '' 9y 2 x

6.3.xy ''' 0

6.4.y '' 4y 3 x

6.5.x2 y ''' 0

6.6.y '' y ' 2y 2 x

6.7.x3 y '' 0

6.8.y '' y ' 2y 3 x

6.9.x4 y ' 0

6.10. y '' 5y ' 6y x

Задача 7. Вычислить норму линейного оператора

A: X Y и указать

элемент или последовательность элементов, на которых она достигается.

7.1. Ax

x t

, 0 t 1/ 2

: L

0,1

0,1 .

1/ 2 t 1

7.2. Ax t t 1

x t : C 0,1

C 0,1 .

	1		3			1
7.3. Ax		x1,	4	x2	,..., 1		xn

2						2n

,...	: l	l .
	2	2

		3	2	1
7.4.	A	2	0	2	: l3	l3 .
					1	1
		1	3	0

7.5. Ax t 2x t 3x						t	: C	0,1	C 0,1 .

						2
						2
		1	1	1
7.6.	A	2	3	0	: l3 l3 .
							1
		0	4	2

7.7. Ax t		t 1		x t : L			0,1 L			0,1 .
			2			2			2
			2
	2		1	4
7.8. A	0		1	3	: l3	l3 .

	1		2	1

7.9. Ax t x t x 1 t 2x								1	: C	0,1	C
								2
		0	2	3
7.10. A		1	1	2	: l3	l3 .
					1
		2	0	1

0,1 .

Задача 8. Для последовательности линейных непрерывных операторов An : X X указать предельный оператор и характер сходимости к нему

(равномерная, сильная).

8.1.

A x t x t : C 0,2 C 0,2 . Здесь

пространство непрерывных 2 -периодических функций.

8.2. A x

,...

: l

l .

8.3.

A x t x

tn 1

: C 0,1

C 0,1 .

8.4. An x 0,0,..., xn 1, xn 2 ,... : l2

l2 .

8.5.

: X X .

Здесь

X – банахово

k 0

A L X ,

8.6. A x t x

: C

0,1

C 0,1 .

n t

C 0,2 –

пространство,

8.7.

An 1 k Ak : X X .

Здесь

X – банахово пространство,

A L X ,

k 0

nt 1 t n

8.8. A x t x

: C 0,1 C 0,1 .

8.9.

An 1 k

: X

X . Здесь

X – банахово пространство,

k 0

A L X ,

8.10. A x t x

t 1 n

: C 0,1 C 0,1 .

Задача 9. Для линейного оператора A: X X найти его сопряженный

оператор и проверить его самосопряженность.

Ax t x d .

9.1. A: L2 0,1

L2 0,1

Ax t tx s ds .

9.2. A: L2 0,1

L2 0,1

Ax t sx s ds .

9.3. A: L2 0,1

L2 0,1

9.4.A: l2 l2, Ax t 0, x1, x2,... .

9.5.A: l2 l2, Ax t x2, x3,... .

9.6. A: L	0,1	L	0,1		,		Ax t tx t .
2		2
							1
		L2			,		Ax t e	t s		x s ds .
9.7. A: L2 0,1		L2	0,1		,		Ax t e			x s ds .
							0
							1
		L2			,		Ax t (2t 3s)x s ds .
9.8. A: L2 0,1		L2	0,1		,		Ax t (2t 3s)x s ds .
							0
							1
		L2			,			2		3
9.9. A: L2 0,1		L2	0,1		,		Ax t (t		s 2s t)x s ds
							0
							1
						,	Ax t (t 2s cost)x s ds
9.10. A: L2 0,1 L2				0,1		,	Ax t (t 2s cost)x s ds
							0

Задача 10. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора A: X X с областью определения D A .

10.1.A: C

10.2.A:C

Ax t

sin s t x s ds .

C 0,

Ax t

sin s t x s ds .

C ,

Ax t

cos s t x s ds .

10.3. A: C , C , ,

10.4. A:C

Ax t cos s t x s ds .

C 0,

10.5. A:C

C 0,

Ax t x'' t ,

D A

| x

x 0 .

10.6. A:C

C 0,

Ax t x'' t ,

D A

| x ' 0 x ' 0 .

10.7. A:C

C 0,

Ax t x'' t ,

D A

| x

x , x ' 0

x ' .

10.8. A:C

C 0,

Ax t x'' t ,

D A x C

| x

0 x ' 0 .

10.9. A:C 0,

Ax t x'' t ,

D A x C

| x ' 0 x 0 .

10.10. A:C

C 0,

Ax t x'' t ,

D A

| x ' 0 x , x 0

x ' .

Задача

11.

Найти

спектр

A , спектральный радиус

r A и

резольвенту R A

линейного оператора A: X X с областью определения

D A .

11.1. A: C

0,1

Ax t tx t .

11.2. A: C

0,2 C 0,2

Ax t eit x t .

11.3. A:C

Ax t x d .

0,1

11.4. A:C

Ax t x' t ,

0,1

x C1

0,1 | x

0 .

11.5. A:C

Ax t x' t ,

0,1

0,1 | x '

0 .

11.6. A: l2 l2,

Ax 0, x1, x2,... .

11.7. A:l2 l2

Ax x2 , x3,... .

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.2015181.1 Кб18ТиБВР_ЛР№6.pdf
#
10.05.2015347.87 Кб41типовик по математике.pdf
#
10.05.2015762.37 Кб69Типовой расчет Ефремов.doc
#
19.07.20191.12 Mб7Типовой расчет по озз (2).docx
#
10.05.2015733.36 Кб134типовой расчет по озз 2008-2012 нский р-н..docx
#
16.03.2016345.33 Кб13типовой функан.pdf
#
19.09.20193.16 Mб8ткм.docx
#
23.11.20191.59 Mб5ткм.Список тестов_студентам_экзамен_испр.doc
#
10.05.20152.16 Mб64ТММ.doc
#
14.11.2019152.58 Кб4Токсикология.doc
#
10.05.2015239.1 Кб224ТООП.doc